книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Функции pit являются однозначными, непрерывными и дифферен­ цируемыми. Подстановка выражений (8.29) в уравнения (8.24) приводит к уравнениям разветвления

■f>(/»l(«b. • •, a«f), • • • , Рг(«ь • • •, ad), a j , . . . , ad) = О,

(8.30)

3 = r + l,n.

Эти уравнения определяют как число ветвей решения, так и их поведение в окрестности исследуемой точки.

Поскольку уравнения разветвления (8.30) построены так, что их якобиан равен нулю, то они могут иметь не единственное решение. Для каждого решения этих уравнений как функции параметра Л

из уравнений (8.30) или, что одно и то же, из уравнений (8.24) получаем

И тогда можно построить одну из ветвей решения х^(А), по­ ведение которой в малой окрестности исследуемой точки определится разложением (8.22).

Следует заметить, что процесс построения уравнений разветвления достаточно сложен, и в явном виде они могут быть выписаны только в исключительных случаях. А их решение в явной аналитической фор­ ме может быть найдено еще в более редких случаях. Поэтому особое значение приобретают методы, не использующие уравнения разветвле­ ния в форме (8.30), а решающие задачу на основе более простых соотношений.

8.2. Простейшая форма уравнений разветвления

Преобразуем систему (8.1) так, чтобы ее линейная часть приня­ ла простейший вид. Для дальнейшего удобно использовать следующие обозначения для матрицы Якоби (см., например, [61]):

ше, рассматривать как векторы в пространстве Rn+i и обозначим их через /W . Тогда

сти точки х = 0, и в этой точке rank(J°) = г < п. Индекс нуль у какой-

Введем также в подпространстве Ал ортонормированный базис а(г)

Преобразуем исходную систему уравнений (8.1) следующим образом.

Уравнение (8.13) помножим слева на матрицу SI '. Получим систему уравнений

. а д . Щх)

В силу линейности преобразования и невырожденности матри­ цы П-1 уравнения (8.13) и (8.43) эквивалентны в том смысле, что все решения х уравнений (8.13) являются решениями (8.43) и наоборот, т.е. множества решений уравнений (8.13) и (8.43) совпадают. Но матрицей Якоби системы (8.43) при * = 0 является ортогональная матрица Р. Действительно, из (8.43) и (8.40) следует

Матрица Якоби этой системы при х = 0 обращается в нуль. Дей­ ствительно, из (8.46) в силу (8.38) получим

Нетрудно видеть, что множества решений систем (8.1) и (8.43), (8.46) совпадают. Мы, конечно, исключаем здесь случай, когда хотя бы одна из функций Ц (i = l , d - 1) тождественно равна нулю. Этот случай попросту сводится к уменьшению числа уравнений в системе (8.1).

лу (8.39) вместе образуют ортонормированный базис в Rn+1. Поэтому можно представить искомое решение в виде разложения по этим ортонормированным базисам

как векторы в евклидовых пространствах V и A d размерности г и d со­ ответственно и таких, что имеется их взаимно однозначное соответствие с подпространствами Р г и Ad, обусловленное соотношением (8.51).

Перейдем в уравнениях (8.48), (8.49) от неизвестной х к неизвест­ ным р и а. Получим

Произведение РРТ равно единичной матрице Е порядка г, так как Р — ортогональная матрица; а РАТ = 0 в силу (8.21).

Таким образом, в результате преобразований (8.43), (8.45) и (8.51) мы перешли от системы (8.1) с неизвестным х к системе (8.54) с неиз­ вестными р, а. Причем преобразования таковы, что между множествами

Эти уравнения совместно с системой (8.62) позволяют последо­ вательно определить векторы а |0^, р '^ , а' ^ , . . . и, таким образом,

определить в силу разложения (8.58) вектор х в окрестности особой точ­ ки. Причем уравнения (8.64) могут иметь несколько решений, и каждое из таких решений определит свою ветвь множества решений исход­ ной системы (8.1). Вообще говоря, уравнения (8.62), (8.64) содержат ту же информацию о поведении решения в окрестности особой точки, что и уравнения (8.52), (8.53). Но они позволяют часто решать задачу о ветвлении не на основе уравнения разветвления (8.57), а используя его приближенные (и более простые) представления. Ниже рассмотрим некоторые простые случаи.

8.3. Простейший случай ветвления (rank(J °) = п — 1)

Пусть гапк(7°) = п - 1. В этом случае размерность d активного подпространства Ad равна 2. После преобразований (8.43), (8.45) и (8.51) с использованием ортонормированных базисов подпространств Р"_| и А2 исходная система уравнений (8.1) в особой точке сведется к виду

с множеством решений К (со всеми его ветвями, проходящими через

и является однородной квадратичной формой. Здесь возможны следую­ щие случаи.

1. Квадратичная форма (8.67) знакоопределена. В этом случае он имеет единственное действительное тривиальное решение a't = a'2 = 0.

А это означает, что в малой окрестности особой точки больше нет

Для численной реализации продолжения решения в существенно особой точке анализ уравнений (8.62), (8.64) представляется неудоб­ ным. Здесь можно пойти по пути численного установления количества

и характера решений ветвей в ок­ рестности особой точки в плоско­ сти А2. В рассматриваемом случае кратного корня поиск этих ветвей облегчается тем, что в окрестно­ сти особой точки они должны быть близки к направлению, задаваемо­ му касательной

t = dxx2/da{ = -V°l2/V$2. (8.73)

радиусом £. Поиск решения можно облегчить переходом к полярным координатам, как это рекомендовано в [61].

4. Квадратичная форма (8.67) тождественно равна нулю (VJJ

V®2 = V%2 = 0). Здесь в первом приближении поведение решения определяется вторым уравнением (8.64), левая часть которого с учетом первого уравнения (8.62) приводится к однородной кубической форме

Тогда, рассуждая так же, как при анализе уравнения (8.67), приходим к выводу, что в особой точке могут пересекаться три ветви решения.

Как только что отмечалось, анализ уравнения разветвления с учетом высших производных мало пригоден. Выявление ветвей решения удобнее также свести к поиску нулей на е-окружности в плоскости А2 : (ai, aj) С Mn+1 (рис. 8.2).

8.4. Случай ветвления, когда rank(J °) = п — 2

Для того, чтобы подчеркнуть проблемы, возникающие при анализе ветвления решения в более сложных случаях рассмотрим ситуацию, когда г = rank(J°) = п - 2. Здесь размерность d активного пространства Ad равна 3. Уравнения разветвления с точностью до второго порядка разложения в ряд Тейлора определяются первым уравнением в (8.64). Эти уравнения при d = 3 примут следующий вид:

V^a'ja'b = 0, = 0, j,k = 1,2,3. (8.75)

Левые части этих уравнений представляют собой однородные ква­ дратичные формы, матрицы которых обозначим следующим образом:

Тогда уравнения (8.75) в матричной форме можно записать в виде

Ясно, что если хотя бы одна из этих квадратичных форм является знакоопределенной, то особая точка будет изолированной, поскольку в таком случае система уравнений (8.77) не имеет действительных ре­ шений, кроме тривиального а ' = 0. Но изолированная особая точка не может быть достигнута в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм (8.77) свидетельствует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решений К.