книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

определяются условиями (7.116) и записываются следующим образом

В этих обозначениях уравнения продолжения (7.119) принимают вид

Здесь L(z,p) и M(z,p) — матрица и вектор, компоненты которых для нелинейной вектор-функции F(zfp) правых частей уравнений (7.115) определяются следующими соотношениями

£54 = ( 1 + 2cn)fc - cp, L56 = (1 + cn)n, £ б5 = 1 + cn, Ms = 1 + cn.

Для проведения конкретных расчетов в качестве основного метода интегрирования уравнений продолжения (7.123) был принят алгоритм модифицированного метода Эйлера (7.94)—(7.104), поскольку простой метод Эйлера, как известно, приводит к существенному накоплению ошибки. Для устранения накопления ошибки модифицированного ме­ тода Эйлера он комбинировался с методом дискретного продолжения, для которого применялся алгоритм в форме (7.106)—(7.114) с выбором

коэффициента а® по выражению (7.110). В уравнениях для квазилине­ аризации (7.21) для упрощения записи прописными буквами обозначим

При практической реализации э.их алгоритмов [65] для интегри­ рования линейных уравнений (7.120), (7.129), (7.130) с целью получе­ ния их фундаментальных решений на прямом и обратном ходах про­ гонки использовался метод Рунге-Кутта. При этом пробные расчеты показали, что достаточная точность обеспечивается при разбиении арки при PQ = 22,5° на 30 участков, а при ро = 90° — на 100 участков. Оказалось также, что достаточно пяти промежуточных ортогонализаций.

При отработке алгоритма программы проводился целый ряд проб­ ных расчетов с целью выявления влияния шага по Л на накопление ошибки и эффективность комбинирования непрерывного и дискретного продолжения. На рис. 7.2 приведена зависимость параметра давления р от относительного вертикального смешения W = w/R средней точ­ ки (Р = 0) арки при ее симметричном деформировании. Расчеты прово­

дились для арки с параметром с = 10_4 и углом р = 45°.

Штриховая кривая 1 на рис. 7.2 соответствует интегрированию урав­ нения продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом дЛ по параметру Л, который на начальном участке деформирования при ма­ лых р соответствовал приращению относительного прогиба W = 0,005. Штрихпунктирная кривая 2 соответствует тому же методу, но с шагом при W = 0,0025. Сплошная кривая 3 получена при комбинировании двух шагов с W = 0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом по неявной схеме дискретного продолжения. Эта кривая практически соответствует точному решению задачи. Как видно из рис. 7.2, моди­ фицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно суще­ ственное в тех областях изменения параметра, где решение претерпевает значительные изменения. В то же время расход машинного времени

194 Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных уравнений

0,2

0,4

1 - у

0,2

0,4

при получении кривых 2 и 3 был практически одинаков (для кривой 3 он был даже несколько меньше). Это позволяет рекомендовать при расчетах комбинировать непрерывное и дискретное продолжения.

На рис. 7.3 показаны полученные с использованием такого алго­ ритма кривые деформирования p{W) для арки с р = 45°. При этом рассмотрены как симметричные, так и несимметричные формы дефор­ мирования, которые возникают в результате потери устойчивости арки.

Д ля того, чтобы получить закритические формы деформирования, вблизи точек бифуркации вводились возмущения на нагрузку. Так, для симметричных форм нагрузка принимается в виде

а для несимметричных форм

Р(Р)=Р [l +0,01 cos ( ff~~2]g~"~ ) ] •

Введение таких возмущений позволило обойти точки бифуркации по возмущенным решениям.

Другие примеры использования приведенных алгоритмов даны в гла­ ве 4 книги [17].

Глава 8

Продолжение решения в особых точках

Развитые в главе 1 методы продолжения решения, реализующие равноправие неизвестных и параметра, имеют единый алгоритм продол­ жения решения в регулярных и предельных точках множества решений нелинейных систем уравнений. Поэтому с точки зрения этих форм алго­ ритма продолжения нет необходимости во введении понятия предельной точки. Продолжая начатое в главе 1 обсуждение, здесь мы основное вни­ мание уделим анализу поведения решения в окрестности существенно особых точек, т. е. точек, в которых вырождается расширенная матрица Якоби J . В качестве основного метода исследования будет принят метод разложения в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Он позволяет построить уравнение разветвления, анализируя которое, можно найти все ветви решения. Причем сложность анализа будет зависеть от степе­ ни вырождения матрицы Якоби J . Будет рассмотрен наиболее важный для практических приложений случай однократного вырождения матри­ цы J(rank(J) = п - I), а также более сложный случай ее двукратного вырождения (rank(J) = п - 2).

8.1. Классификация особых точек

Как и в главе 1, задачу продолжения решения системы уравне­ ний (1.1) будем рассматривать в (п + 1)-мерном евклидовом простран­

стве Rn+l, в котором введен вектор х = (х \, .. , , х п, х п + \ = р)т. Тогда задача сводится к продолжению решения системы-уравнений

Пусть функции Fi(x) являются аналитическими, тогда компоненты вектора х могут быть рассмотрены как функции параметра продолже­ ния Л

Пусть в некоторой точке, для которой будем считать параметр А равным нулю, известно решение ж(0) = *(0). Тогда поведение решения

198 Глава 8. Продолжение решения в особых точках

характеризующие изменение направления вектора х'^ , должны быть ортогональны к нему и потому должны принадлежать подпростран­ ству Р ", которое является ортогональным дополнением подпростран­

ренциалом длины кривой К множества решений системы (8.1) в Rn+l.

означает, что среди п строк матрицы J° = J ( x ^ ) линейно независимы только г. Для определенности будем считать, что линейно независимы

первые г строк матрицы J 0. Любой другой случай всегда можно свести к таковому очевидной перенумерацией уравнений в системе (8.1).

которой исследуется поведение решений, т.е. ®(0) = ®- Этого всегда можно добиться введением вместо х новой неизвестной у такой, что у = х - ®(о). Таким образом, будем считать, что

j — 1, п). Она имеет г строк и n + 1 столбцов. По построению ее строки в точке £(о) = 0 линейно независимы, и поэтому ее ранг в этой точке равен г:

ные базисы в Р г и Ad соответственно. В дальнейшем будем принимать

в качестве р® базис, построенный из строк матрицы J r° с помощью процесса Грама—Шмидта (см. раздел 7.2). По построению для введенных таким образом базисов имеют место соотношения

Здесь Sij — символ Кронекера. В совокупности базисы р ^ и

образуют базис в Rn+l, и поэтому ясно, что каждый вектор х € Rn+1

ет взаимно однозначное соответствие между компонентами вектора х и коэффициентами его разложения c t j . Это позволяет в уравнениях (8.13), (8.14) произвести замену переменных с помощью (8.22). Тогда эти

мощью процесса Грама—Шмидта представим в виде произведения ма­ трицы ортогонализации S I порядка г и ортогональной матрицы Р

Если, учитывая это представление, домножить систему (8.25) слева на матрицу П-1, то она примет вид

Здесь Ег — квадратная единичная матрица порядка г.

Полученный результат позволяет сделать два вывода. Во-первых, Рк = 0, (к = Т~г), что еще раз подтверждает тот факт, что ненулевые

решения х' уравнения (8.16) принадлежат подпространству Ad. Во-вто­ рых, определитель системы (8.28) равен 1 и с точностью до неравного нулю постоянного множителя det(fi-1) совпадает с якобианом уравне­ ний (8.23) по переменным р* (к = 177). Тогда по теореме о неявных функциях в малой окрестности рассматриваемой точки х = 0 перемен­ ные рк (к = 1,г) могут быть на основании уравнений (8.23) получены как функции переменных а{ (I = 1, d)