книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда квадратичные фор­ мы (8.77) не являются знакоопределенными. В этих случаях каждому

из уравнений (8.77) в пространстве Л3 соответствует некоторое дей­ ствительное множество решений. И вопрос о решении системы (8.77) сводится к отысканию пересечения этих множеств.

Обозначим через А ^,А ^,А ^ собственные значения матриц yW,

ственных значений.

1.Случай А^ > О, А^ > О, А^ < 0, г = 1, 2. Здесь квадратичны

формы (8.77) знакопеременны, и их матрицы имеют по два положи­ тельных собственных значения и по одному отрицательному. Перейдем

с вершиной в начале координат. Ось конуса направлена вдоль собствен­

ного вектора Точно так же можно показать, что второе уравнение

(2) определяет также эллиптический конус с осью вдоль вектора «3 .

Таким образом, вопрос о действительных решениях системы урав­ нений (8.77) геометрически сводится к определению общих образующих двух эллиптических конусов с обшей вершиной в особой точке. Для ре­ шения этого вопроса применим к уравнению (8.77) преобразование

212 Глава 8. Продолжение решения в особых точках

(8.78). Тогда они примут вид

Тогда первое из уравнений (8.80) примет простейший вид

А структура второго уравнения принципиально не изменится, и оно примет форму

В результате проделанных преобразований первый из рассматривае­ мых конусов стал круговым (8.83), и его ось в пространстве 0 >1,]>2>Рз} совпадает с осью р3.

Второй конус теперь определяется уравнением (8.84). Он в общем случае остается эллиптическим и определится собственными значениями матрицы Р . В частности, его ось будет направлена вдоль того собствен­ ного вектора, который соответствует отрицательному собственному зна­ чению. Проделанные преобразования таковы, что число положительных

и отрицательных собственных значений матриц V® и Р совпадает. Рассечем теперь конусы плоскостью р3 = 1. Тогда линия пересече­

ния этой плоскости с конусом (8.83) будет окружностью, а с конусом (8.84) — эллипсом или гиперболой в зависимости от взаимного распо­ ложения конусов. Таким образом, задача определения действительных корней уравнений (8.77) свелась к нахождению общих точек единичной

окружности и эллипса или гиперболы на плоскости Щ = 1. Аналитичес­ кого решения этой задачи в общем случае, по-видимому, не существует. Возможные случаи взаимного расположения окружности и эллипса пред­ ставлены на рис. 8.3.

Из него видно, что чи­ сло действительных ре­ шений уравнений (8.77) может изменяться от О до 4. В частности, мож­ но отметить тот факт, что сама по себе знакопеременность квадра­ тичных форм, имеющих матрицы уО) и у(2)> не гарантирует сущест­ вования действитель­ ных решений уравне­ ний (8.77). Такое поло­ жение имеет место для случаев, показанных на рис. 8.3, а, б, в.

Окончательно о ве­ твлении можно судить только в случаях, приве­ денных на рис. 8.3, к,л. В первом из них в точке

ветвления пересекаются две ветви решения. При этом они касаются двух общих образующих конусов (8.83), (8.84) (рис. 8.4). Поэтому продолже­ ние решения из особой точки в этом случае возможно вдоль четырех направ­

лений, как это показано на рис. 8.S.

В случае «л» в особой точке пе­ ресекаются четыре ветви решения, ка­ сающиеся четырех общих образующих конусов (8.83), (8.84). Здесь ветви уже не лежат в одной плоскости, и продол­ жение решения из особой точки воз­ можно в восьми направлениях.

В случаях «г»—«и» (рис. 8.3) име­ ют место касания конусов. Соответ­ ствующая общая образующая конусов здесь может оказаться касательной двух и более касающихся в особой точке

решений. Для нахождения этих решений необходимо рассматривать урав­ нения разветвления с учетом высших слагаемых в разложении Тейлора, причем в плоскости, касающейся обоих конусов по общей образующей. Последнее обстоятельство упрощает исследование, так как число пере­ менных уменьшается и становится равным двум. Иными словами, в про­ странстве активных переменных для каждой образующей, по которой конусы (8.83) и (8.84) касаются, выделяется двумерное подпространствоплоскость, касающаяся обоих конусов по общей образующей. В этом подпространстве и нужно исследовать уравнения разветвления.

Если решения уравнений (8.80) разыскиваются численно, то можно использовать следующее представление вектора р = (риР2>Рз)Т

(8.85)

Нетрудно видеть, что такой вектор р(<р) удовлетворяет первому уравнению (8.80) при любых <р. Такое представление реализует простую геометрическую идею: при изменении tp в пределах от 0 до я- вектор p(tp) обегает первый конус так, что его конец находится на эллипсе, по кото­

рому этот конус пересекается с плоскостью рз = Ij Очевидно,

что второе уравнение будет удовлетворено тогда и только тогда, когда вектор р(<р) совпадет с линиями пересечения конусов. Таким образом, задача нахождения действительных корней уравнений (8.80) сводится к определению корней тригонометрического уравнения

не более четырех. Корни, соответствующие пересечению и касанию конусов, легко разделить. При пересечении конусов прохождение корня при изменении <р сопровождается изменением знака функции f (<p),

апри касании знак не меняется.

2.Случай а5° > 0, А^0 > 0, AJ0 < 0, а|2) > 0, А^2) > 0, AJ2) < 0. Преобразованием (8.78) задача (8.77) сводится к следующей системе уравнений:

Эти уравнения снова являются уравнениями конусов, только в отли­ чии от случая 1 ось первого из конусов направлена вдоль оси p i, а не р2- Поэтому этот случай может быть сведен к случаю 1 соответствующей перенумерацией переменных.

Так же, как случай 2, сводится к случаю 1 перенумерацией переменных. Кроме рассмотренных, возможны также такие ситуации, когда ма­

трицы у (‘) и у(2) имеют нулевые собственные значения. Тогда множе­ ства в Л3, на которых лежат решения уравнений (8.77), вырождаются либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных решений системы уравнений (8.77). При этом возможно большое число различных комбинаций. Рассмотрим в качестве примера одну из них.

Множество решений второго уравнения в пространстве {рьР2)Рз} по-прежнему образует конус. А решения первого уравнения образуют две плоскости

Подстановка каждого из этих соотношений во второе уравнение (8.88) сводит задачу к однородному квадратичному уравнению относи­ тельно р2 и рз вида

Таким образом, в каждой из плоскостей (8.89) в Л3 задача устано­ вления ветвей решения сводится к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе.

В заключении отметим, что, как следует из изложенного, когда размерность пространства активных переменных d > 2, для установле­ ния ветвей решения в особой точке необходимо рассматривать большое количество различных ситуаций. Это делает задачу анализа решений в особой точке громоздкой и весьма трудоемкой при практической реа­ лизации. Общая теория этого вопроса, как нам кажется, далека от своего завершения. Для более детального ознакомления можно рекомендовать монографии [9, 28]. На практике часто и эффективно используют возму­ щенные решения. Примером такого подхода является численное решения о поведении трехстержневой системы, приведенное нами в п. 1.4.

Литература

1.Алберг Дж., Нильсон Э., Улан Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

2.АлександровА.Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругос­ ти. М.: Наука, 1978.

3.Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференци­ руемых многообразий. М.: Наука, 1982.

4.Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений на ФОРТРАНЕ. М.: МГУ, 1990.

5.Бахвалов Н. С. Численные методы. Т. 1. М.: Наука, 1973.

6. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

7.Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Пономарев А. Т., Рысев О.В. Исследова­ ние парашютов и дельтапланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987.

8. Бояринцев Ю .Е., Данилов В.А., Логинов А. А., Чистяков В.Ф. Численные

С.352-355.

11.Васильева А. Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений син­ гулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

12.Воеводин В. В., Арушанян О. Б. Численный анализ на фортране. М.: МГУ, 1979.

13.Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные ана­ логи итеративных методов / / Изв. вузов. Математика. 1958. № 5. С. 18-31.

14.Герасимов Б. П., Кульчицкая И.A. ST IFSP — пакет программ интегрирования дифференциально-алгебраических систем большой размерности / / Ин-т прикладной математики. Препринт. N9103. М.: 1984.

15.Гершгорин С.A. Uber die Abgrenzung der Eigenweite einer Matrix / / Изв. AH

СССР. Сер. физ.-матем. 1931. C. 749-754.

16.Годунов C.K. О численном решении краевых задач для систем линейных

обыкновенных дифференциальных уравнений / / Успехи мат. наук. 1962.

Т. 16. № 6. С. 171-174.

17.Григалюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

18.Григоренко Я. М„ Мукоед А. П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983.

19.Гуляев В. И., Баженов В. А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механи­ ческих систем. Львов: Виша школа, 1982.

20.ДавиденкоД. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нели­ нейных уравнений / / ДАН СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 601-602.

41.Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.

42. Морозов Н. Ф. К нелинейной теории тонких пластин / / ДАН СССР. 1957.

Т. 114. № 5. С. 968-971.

43.Морозов Н. Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин / / Вестник ЛГУ. 1958. № 19. С. 100-124.

44.Морозов Н. Ф. единственность симметричного решения //ДАН СССР. 1958. Т.123. №3. С. 417-419.

45.Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения / / Изв. вузов. Математика. 1961. №2. С. 126-129.

46.Морозов N. Ф. К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями сим­ метрии / / Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. промышленности. 1962. Вып.11. С. 206-208.

47.Назаренко И.А. О приближении плоских кривых параметрическими эрми­ товыми сплайнами / / Укр. матем. журн. 1979. Т. 31. №2. С. 201-205.

48.Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990.

49.Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференци­ альных уравнений. М.: Наука, 1986.

в инженерной геометрии. Вычислительные системы. Ин-т математ. СО АН

СССР. 1981. Вып.86. С. 44-59.

51.Петров В. В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / / Научн. докл. высшей школы. Строительство. 1959. №1. С. 27-35.

52.Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

53.Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

54.Ридель В. В., Гулин Б. В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990.

55.Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

56.Сендов Б. Хаусдорфовые приближения. София: Болгарская АН. 1979.

57.Современные численные методы решения обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений. Ред. Дж. Халл, Дж. Уатт. М.: Мир, 1979.

58. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

59.Федоренко Р. П. О регулярных жестких системах обыкновенных дифферен­ циальных уравнений //Докл. АН СССР. 1983. Т.273. № 6. С. 1318-1322.

60.Федоренко Р. 77. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных урав­ нений и их численное интегрирование / / Вычислительные процессы и си­ стемы. 1991. Вып.8. С. 328-380.

61.Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1969.

62.Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1982.

63.Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений. М.: Мир, 1990.

64.Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1972.