книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

62 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений

для которого предельным является ранее полученное выражение для раз­ маха спектра.

Из анализа полученных соотношений следует, что А-преобразова- ние улучшает спектральные характеристики системы уравнений, так как при этом уменьшаются собственные значения, размах спектра матрицы системы и, вообще говоря, спектральное число обусловленности.

Более наглядно этот результат можно продемонстрировать, восполь­

71=1

№

В нашем случае это означает, что характеристические числа Г|, Г2 матрицы системы (2.22) должны лежать в кругах

|?<ц(1 + /2т/2т) —1*11^ 9l®2/lm/2mli

|? ® 2 0 "И f l m f l m ) — **21 ^ 9l® l/2 m /lm l*

На рис. 2.5 показана ситуация, которая может иметь место в слу­ чае действительных характеристических корней. Фигурными скобками отмечены области локализации г\ и r j.

Рис. 2.5.

Покажем, что и для системы уравнений (2.19) А-преобразова- ние имеет смысл, так как мы можем прийти из начальной точ­ ки ^о(УЮ) У20>*о) интегральной кривой задачи в конечную точку В (см. рис. 2.6) за меньшее число шагов, двигаясь по аргументу А, чем при движении по аргументу t. Другими словами, покажем, что в любой точке интегральной кривой справедливо неравенство

Здесь 0 — угол между касательной к интегральной кривой и осью t, Я* и Яд — наименьшие шаги интегрирования по переменным i и А

Это соотношение доказывает неравенство (2.23), а значит, и эффек­ тивность Л-преобразования для системы ОДУ (2.19), т.е. для двумерного случая.

Выясним как связаны погрешности явного метода Эйлера при обыч­ ном подходе и после применения Л-преобразования при решении задачи Коши для одного уравнения

dv

Полагаем, что решение этой задачи является достаточно гладким. Согласно методу Эйлера, значение функции у на ( т + 1)-ом шаге

находится по формуле

Ут+l ~ Ут+ Й</(Ут> tm)i т ~ 0, 1, 2,. . . ,

где hi — шаг интегрирования по переменной t, ут — численное решение найденное на m -ом шаге.

Ошибка аппроксимации [37] этой формулы в точке t = tm+i будет равна

At = y{im+\) ~ y(tm) ~ htf(y(tm), tm) = y(tm+1) - y(tm) - fhdy^ \

где y(tm+1) — точное решение в точке t = £m+| .

Принимая во внимание представление функции y(t) по формуле Тейлора в окрестности точки t = tm, получаем

Л h2t d2y(r)

tm ** Т < im+1)

А‘ ~ Т

где справа от знака равенства стоит остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

После применения Л-преобразования задача (2.26) принимает вид

группы. Первая группа — методы дискретного продолжения, в осно­ ве которых лежит итерационный процесс, описываемый, как правило, формулой Ньютона—Рафсона. Вторая группа — методы непрерывно­ го продолжения. Как правило, это метод Эйлера и его модификации

иметод Рунге—Кутта, при помощи которых осуществляется численное интегрирование задачи Коши для ОДУ. В [17] обсуждались преимущества

инедостатки этих двух подходов. Там же была высказана мысль о том, что, по-видимому, наиболее рационально использовать оба подхода совместно. В п. 1.1 показано, что оба этих подхода сводятся в интегри­ рованию задачи Коши по параметру с помощью явных и неявных схем.

Поэтому, при разработке программ численного интегрирования за­ дачи Коши для ОДУ остановимся на методах типа прогноза и коррекции, сочетающих в себе достоинства явных и неявных схем, тем более, что это самые подходящие методы интегрирования жестких систем ОДУ, которые будут рассмотрены позже.

Прогноз будем осуществлять при помощи явных формул, а коррек­ цию — по неявным, что даст возможность образовать итерационный процесс по неявной схеме и использовать все преимущества дискретного продолжения, основанные на вычислительном процессе, описываемом неявными соотношениями.

Воснову простейшего алгоритма такого подхода можно положить метод Эйлера. Тогда при решении задачи (2.1) первый прогноз будем получать согласно формуле

Последующие вычисления проводятся по формуле (2.29) как процесс простой итерации, в котором полученное на данном к-ои шаге итерации

В качестве ошибки 6 на (га+ 1)-ом шаге интегрирования задачи (2.1) рассматривается величина

ше заданной точности е, то шаг интегрирования А делится попо­ лам, и вычислительный процесс повторяется от точки (ут, tm) с но­ вым шагом. В противном случае интегрирование продолжается с точ­ ки (ym+i, tm+\ = tm + А). Если же заданная точность вычислений е превосходит величину погрешности 6 более чем в 100 раз, а итераци­ онный процесс, описываемый формулой (2.30), сошелся на первой же итерации, то шаг интегрирования удваивается. Предпочтительность тако­ го подхода при решении жестких систем отмечается, в частности, в [93].

Согласно вышеописанному алгоритму была разработана на алгорит­ мическом языке ФОРТРАН для ПЭВМ типа IBM программа РС1

SUBROUTINE РС1(п, d, h, е, f c t , t , у, k , m),

где формальными параметрами являются следующие величины: п — размерность интегрируемой системы ОДУ;

у— массив искомых функций у,-, i —1, п;

к— число удвоений начального шага интегрирования А;

ш — число делений пополам начального шага интегрирования А;

f c t — подпрограмма вычисления правых частей /,-, i = 1,п систе­ мы ОДУ. Она имеет вид SUBROUTINE f c t ( t , у, f ), где

f — массив правых частей ft системы ОДУ.

Отметим, что как задачу (2.1), так и задачу (2.7) можно решить не только при помощи разработанной программы РС1, но и с ис­ пользованием любого численного метода интегрирования задачи Коши для ОДУ.

Изучим эффективность применения A-преобразования к дифферен­ циальным уравнениям, правые части которых могут в некоторых точках обращаться в бесконечность. Очевидно, что решение таких уравнений при помощи обычных подходов может привести к непреодолимым вы­ числительным трудностям.

Пример 2.1. Кубическая парабола. Исследуем решение задачи Коши

которая допускает точное решение v = у/й.

Эта задача примечательна тем, что ее интегральная кривая содержит точку (0, 0) в которой правая часть уравнения обращается в бесконеч­ ность. Эта точка лежит внутри отрезка [-1,1], на котором мы будем отыскивать решение задачи. Для проведения параметрического анализа

(2.32)

Q(x, у) = Л(х, у) cos а + sin а, Л(х, у) = 3(у cos а + х sin а)2.

Точное решение этой задачи будет даваться формулрй

Понятно, что в предельном случае, когда а — > 0, задача (2.32) переходит в задачу (2.31), а решение (2.33) в решение у = -Ух.

После применения Л-преобразования задача (2.32) принимает вид

Z(x, y) = \JP 2(X, y) + Q2(x,y).

Обозначим через Л величину

Л = |j/* cos а + х* sin а - у/х ' cos а - у* sin а |,

где х*, у* — величины х, у, полученные в результате численного решения задач (2.32) или (2.34), т. е. это модуль невязки уравнения (2.33).

Задачи (2.32) и (2.34) интегрировались на IBM PC AT 286/287 при помощи программы РС1 и метода Рунге—Кутта 4-го порядка. Ниже приводятся результаты, полученные с использованием метода Рунге— Кутта, которые имели более высокую точность. На рис. 2.8 приводится зависимость величины А от угла а для одинакового времени t = to интегрирования задач на отрезке х 6 [ - sin о - cos a, sin а + cos в]. Это время соответствует шагу интегрирования А, - 0,25/40 для задачи (2.32) и шагу Ад = 0,25/20 для задачи (2.34). Кривые 1 и 2 были получены как решения задач (2.32) и (2.34) соответственно.

На рис. 2.9 величина А дана как функция безразмерного времени счета t/to для угла о = 1/1024. Кривые 1 и 2 также соответствуют заоачам (2.32) и (2.34).

Из анализа результатов следует:

—при применении Л-преобразования ошибка А не зависит от угла о (кривая 2, рис. 2.8), тогда как точность при использовании исходного уравнения существенно зависит от а (кривая 1, рис. 2.8);

—в зависимости от шага интегрирования, что, в свою очередь, опре­ деляет время счета t, ошибка интегрирования задачи (2.32) носит существенно немонотонный характер (кривая 1, рис. 2.9). Это,

по-видимому, объясняется тем, что при некоторых значениях шага интегрирования происходит попадание в малую окрестность начала координат, где правая часть уравнения принимает большие значе­ ния. Ошибка же решения преобразованной задачи (2.34) (кривая 2,

рис. 2.9) вначале убывает до 0,18 • 1(Г6 при Ад = 0,25/4, а затем монотонно растет, по-видимому, из-за того, что начинают играть существенную роль ошибки округления; для исходной задачи (2.32) полная ошибка А ни при каких шагах

разбиения Л, не может быть меньше 10~4, тогда как для пре­ образованной задачи (2.34) ошибка достигает наименьшего значе­

ния 0,18* 10-в, а на рис. 2.8 для кривой 2 А = 0,3* 10~6 соответствует времени счета f = <о-

Кроме того, для решения данной задачи была исполь­ зована последняя версия про­ грамм серии Гир для интегри­ рования жестких систем ОДУ из пакета программ ODEPAK, собранного Хиндмаршем [100].

Интегрирование уравнения (2.32) при помощи программы DLSODE, настроенной на ра­ боту с жесткими ОДУ, привело к тому, что при малой задан­ ной точности расчетов (еабс = 1(Г4) задача считается. Это объ­ ясняется тем, что такой точ­ ности соответствует достаточ­ но большой шаг интегрирова­ ния, и программа успешно про­ скакивает особую точку зада-

чи (2.31). При увеличении точности вычислений появляются сбои

и при еабс = Ю 8 происходит переполнение памяти ЭВМ. Решение же задачи (2.34) при принятых точностях вычислений завершается успешно.

Пример 2.2. Брахистохрона. Задача о брахистохроне (кривой наискорей­ шего спуска) была впервые рассмотрена Иоганном Бернулли в 1696 г. Задача заключается в решении дифференциального уравнения

dy

(2.35)

dx

где L — некоторая положительная постоянная.