книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике
..pdf4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения |
131 |
|
Задача решалась с точностью |
10-5 и с начальным шагом интегри |
|
рования по аргументу Л, равном |
10-2, для а = 1, Ь = 1,5 при помощи |
|
программы DA1ILN. Вся интегральная кривая была построена за 160с. |
В конце ее обхода ошибки, подсчитанные по формулам (4.66), были равны Д[ = 0,036, Дг = -0,042.
Система уравнений (4.51) имела вид |
|
|
' (2Р - b2)yY(*> - [ЬЧ - P(2t - |
а)]Т(*> = |
0, |
' 4уУ(*> + х Х ® + *Т(*> = 0, |
|
(4.67) |
y(*-l)y(i) Jf |
_ |
| |
Начальное значение вектора Z принималось в виде У^=(1,1,1)/л/3. Задача также решалась при помощи программы DA1IN. Время счета
составило 255 с., а ошибки Д | = -0,012, Дг = -0,037. Система уравнений (4.54) имела вид
’ (2Р - Ь2)уУ' - \ЬЧ - P(2t ~ а)]Т' =
= - [IP1у + (2Р - b2)Y]Y + \Ь2Т - P'(2t - а) - 2РТ]Т, 4yY' + хХ' + tT' = -4У 2 - X 2 - Т2,
, YY' + Х Х ' + ТТ 1 = 0,
где Р>= - 2 хХ - 6yY - аТ.
Система дифференциальных уравнений (4.18), (4.55) интегрирова
лась при начальных условиях |
|
|
|
у(0) = Ь, |
х(0) = 2>/4 - Ь2, |
«(0) = О, |
|
a J 4 - |
Ь2 |
2аЬ |
Ь |
Y (0) = ~ Q -----> |
= |
Г(0) = т - . |
Q = у/4(а2 + Ь2) + Зо2Ь2 - Ь4,
в которых значения функций Y , X, Т найдены из решения системы уравнений (4.67) при условиях (4.61).
Результаты данного раздела подтверждают выводы, сделанные в пре дыдущем разделе. Как и предполагалось, при увеличении размерности решаемой задачи время счета ее при помощи программы DA1IN зна чительно возрастает, хотя по точности вычислений программы DA1IN и DA1ILN близки.
Следует обратить внимание на использование при интегрировании задач, нелинейно зависящих от производных у,-, программы DA1EXP, которая при несколько большем по сравнению с программой DA1ILN
132 |
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения |
времени счета приводит к результатам практически той же точности. Но в данном случае линеаризация уравнений не требуется. Поэтому, если перевод задачи в расширенное пространство решений, о котором говорилось выше, не приводит к недоразумениям, по-видимому, разумно использовать программу DA1EXP.
Обратим внимание еще на один момент. В [77] показано, что ошибка из-за плохой обусловленности концентрируется в алгебраической пере менной и ее нет в дифференцируемой переменной. Это предлагается использовать для контроля точности вычислений. Анализ численных ре зультатов, полученных в данном исследовании, показывает, что отмечен ные ошибки близки. Это может указывать на хорошую обусловленность вычислительного процесса.
В качестве более сложной рассмотрим модельную задачу о раскрытии купола осесимметричного парашюта под действием заданного перепада давлений р. Аэродинамическое влияние строп не учитывается. Материал стропы и ленты радиального каркаса подчиняется при растяжении закону Гука
{О,
где N — усилие; Е — модуль упругости, имеющий размерность силы; dS и da — длина элемента дуги соответственно в деформированном и недеформированном состояниях.
Если обозначить через т о и тп массы единицы длины стропы или ленты радиального каркаса с прилегающей к ней тканью вме сте с кольцевым каркасом соответственно в недеформированном и де формированном состоянии, то с учетом диссипативных сил уравнения движения осесимметричного парашюта примут вид [54, 7]
(4.68)
М2 d s \ l d s
Здесь х, г — оси неподвижной системы координат (рис. 4.3) с началом в куполе парашюта; t — время; е — коэффициент диссипации; М — число строп парашюта; параметр S = 1 для ленты радиального каркаса и S = 0 для стропы.
4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения |
133 |
где те — масса единицы длины стропы; Le — длина стропы; До — раскройный радиус купола парашюта.
С учетом введенных обозначений система уравнений (4.68) запишется в виде
д2х |
тс |
f \ |
д1 дх |
/' |
1 \ |
а2®\ |
|
дх |
дг |
гб |
|
|
дт2 |
то0 |
J ^ d s d s + \ ' |
V |
дз2) |
- e l — |
|
|
|||||
|
дт ~ р ¥з |
|
|
|||||||||
д2г |
тпс |
“ |
|
/ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ 1 |
Ы дг |
л |
&2Л |
- |
дг |
дх |
гб |
(4.69) |
||||
2 |
т |
0 |
* |
д з д з + |
\ |
V |
вз2) |
el- |
|
|
||
дт |
|
|
|
дт |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ дх \ 2 |
|
( дг\ 2 |
|
|
|
|
|
Вэтих уравнениях звездочка при безразмерных величинах опушена;
v— Ее/Е, если I > 1, v = 0, если / < 1, Ес — модуль упругости материала стропы.
134 |
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения |
|||
|
Начальные условия для системы (4.69) принимаем в виде |
|
||
|
®(0, s) = x0(s), |
r(0, s) = ro(s), |
|
|
|
0*(M ) It ,_ч |
dr(0,s) |
/ ч |
(4.70) |
|
|
В силу симметрии рассматриваем только половину парашюта, по этому граничные условия будут иметь вид
х(т, 0) = 0 , |
г(т, 0) = 0 , |
|
|
„ |
. |
дх(т,Ьс+ 1) |
(4.71) |
г(т, 1гс + |
1) = О, |
-ds-- - -V-- |
= 0 , |
вг(т, Lc+ 1)
1(т, £„ + !) =
ds
Для решения задачи (4.69)-(4.71) применялся метод прямых по ко ординате в, согласно которому безразмерная начальная длина ленты парг плотной системы Lc+ 1 делилась на (п - 1) равную часть с шагом h — (Lc+ l)/(n - I). Производные по координате 8 аппроксимирова лись центральными разностями, имеющими второй порядок точности, которые, записанные для функции Z(s) в fc-ой точке (1 < к <п), будут иметь вид
9Z _ |
Zk+1 - |
^it-i |
d2Z _ |
Zk+i - 2Zk + Zk+i |
(4.72) |
|
ds ~ |
2h |
’ |
ds2 ~ |
ft2 |
||
|
Значения производных, входящих в граничные условия, опреде лялись из следующих соображений. Запишем в окрестности начала координат (Z = Zi) представление функции Z(s) по формуле Тейлора, ограничившись членами второго порядка относительно h (здесь Z(s) это функция Xi(s) или r*(s))
dZ t f d t z |
„ |
„ |
^ d Z Ah2 d2Z |
|
Z2 = Z l + h te + 2 d s * ’ |
Z^ z x + |
2h — + — j ^ . |
||
|
|
|
||
Решая эту систему относительно производных, получаем, что в на |
||||
чале координат |
AZ2 - |
|
3Z x- Z2 |
|
dZ |
|
|
||
ds |
~ |
2ft |
|
В центре купола с учетом того, что dx/ds = 0, получаем выражение для хп = (4®„_| - ®„-2) /3.
4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения |
135 |
С учетом разностных аппроксимаций задача (4.69)—(4.71) преобра зуется к задаче Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений, которую можно представить в виде
dxi = Х { |
dXi |
dti |
dRj |
dr |
dr ~ U" |
d r ~ Ri ’ |
dr ~ Д . > |
(4.73)
Здесь f x,, f Ti — правые части первых двух уравнений системы (4.69), записанные в »-й точке с учетом формул (4.72).
Сформулируем задачу Коши для системы (4.73) относительно наи лучшего аргумента Л. После дифференцирования по этому аргументу алгебраических соотношений систему (4.73) можно преобразовать к виду
dXi |
. fa |
dXi |
dr |
dTi _ |
dr |
dRi _ |
d r |
||
dX |
U x 1 |
1 х ~ 1г dX’ |
dX ~ ^ d A ’ |
~ d X ~ ' r‘dX' |
|||||
<Щ |
1 |
( *«+1~ * i-i |
X i+1- x i - , |
|
|
|
|||
dX |
li |
V |
2h |
|
2 ft |
+ |
|
|
|
|
|
|
dr |
dr |
|||||
|
|
|
г,-И - г<_1 R i +1t - RД i.-- Л |
||||||
|
|
|
+ |
2h |
|
2ft |
) |
dX = flidX’ |
|
|
|
|
|
|
Эти уравнения с учетом смысла наилучшего аргумента, удовлетво ряющего равенству
dxi dxi |
dXi dX{ dr,- dt{ dRi dRi |
/ dr \ 2 _ |
Ж Ж + Ж Ж + ы1х+Ж Ж +\1х) ~ ’
могут быть аналитически разрешены относительно производных и пред ставлены в виде
dX{ X,
~dX= ~Z’ dRj_ _ f r L dX ~ Z '
dXi |
fxi |
dv{ |
Ri |
|
~dX= ~Z’ |
~dX= ~Z’ |
U 7 ) |
||
dU = |
Д |
f a _ i |
' ' |
|
d X ~ |
Z ' |
d \ ~ |
Z' |
|
где Z = (1+ Х {Х {+ f aJ a. + RiRi + Д Д . + Д Д ) 1/2, i = ? H .
Пусть в момент т = 0 купол парашюта исходной формы начи нает наполняться. Считаем, что ненаполненная часть купола задается в виде усеченного конуса малого угла раствора, образующая которого является продолжением стропы, а выполненная — частью сопряженной с этим конусом сферы (рис. 4.3, штриховая кривая). Такое представление начальной фазы этапа раскрытия осесимметричного парашюта хорошо
136 |
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения |
согласуется с экспериментальными данными [7]. Таким образом, началь ная форма парашюта может быть полностью описана, например, через радиус его входного отверстия R» (рис. 4.3), R, = 0,15Ло [7]. Скорость точек парашютной системы в начальный момент полагается равной ну лю. Отсчитывая аргумент Л от начальной точки задачи (4.69)—(4.71), начальные условия примем в форме
*»(0) — !ОД> |
*,(0) — 0 |
г,(0) — од, Д,(0) —О, |
/,(0) = |
1, т(0) = |
(4.75) |
0, < = 2,11-1, |
где величины х ^, од описывают контур, показанный на рис. 4.3 штриховой линией.
Задача (4.74), (4.7S) интегрировалась с помощью программы РС1
при
Задача интегрировалась с начальным шагом Ад = 0,05 и точностью КГ4. На рис. 4.3 приводится конфигурация парашюта для пяти моментов безразмерного времени то = 0, т\ = 2,5, тг = 5,0, тз = 7,5, Г4 = 10,0. На рис. 4.4 для тех же моментов времени показано изменение усилий вдоль стропы и ленты купола парашюта. На рисунках звездочкой обозначено начало купола парашюта. Увеличение числа разбиений вдоль координаты S к существенным изменениям ситуации не привело.
Заметим, что при решении задачи (4.74), (4.75) без применения Л-преобразования выяснилось, что вычислительный процесс зависит от выбора начального шага интегрирования Лщ. Так, при А*о ^ 1 про исходил останов из-за переполнения памяти ЭВМ. Это, по-видимому, объясняется тем, что при поиске подходящего шага интегрирования А* получаются большие значения правых частей дифференциальных урав нений. При решении же А-преобразованной системы таких ситуаций не возникало даже при начальном шаге интегрирования Лдо = 10.
Изучим еще одну модельную задачу. Кинетические уравнения ней тронов в реакторе в одномерном случае можно представить в виде [97,41]
4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические уравнения |
137 |
Здесь первое уравнение является кинетическим уравнением запаз дывающих нейтронов, а второе — кинетическое уравнение мгновенных нейтронов; u(x,t), v(x, t) — концентрации мгновенных и запаздыва ющих нейтронов; a(x,t), b(x,t) — заданные функции, е — малый параметр, равный обратному значению скорости мгновенных нейтронов. Исследуем вырожденный случай, когда параметр е = 0, тогда систе му (4.76) можно записать в виде
dv
— = av + bu+g(u, v, t),
д*и |
(4.77) |
, o = ^ j |
|
Решение этой системы отыскиваем при нулевых граничных |
|
щ(0,*) = щ(1,0 = 0, |
(4.78) |
и начальных условиях |
|
v(x, 0) = 0. |
(4.79) |
Очевидно, что в начальный момент функция u(x, t) должна удов летворять равенству
02и(®, 0)
+ /(«(®,0),0,0) = 0.
дх2
Пусть функция /(«(ж, 0), 0,0) = 0, тогда
и(х, 0) = 0. |
(4.80) |
138 |
|
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения |
||||||
Для решения применим метод прямых, разделив отрезок [0,1] |
||||||||
изменения х |
на (п - 1) частей. Тогда с учетом |
|
граничных |
условий |
||||
и разностной |
аппроксимации |
(4.72) систему (4.77) |
можно представить |
|||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
dt |
|
г = 1, n, |
j |
= |
2, п - |
1. |
(4.81) |
[ |
U j.i - |
2uj + uj+t + h f j |
= О, |
|
|
|
|
|
Здесь Vi = Vi(t) = v(xit t), Uj = |
w,(f) = и (®„ t), |
а4 = |
а(а;,-, t), |
bt = |
b(xit t), |
|||
ft = д(Щ, Vit t), |
f j = J{Uj, Vj, t ) , h = l/(n - 1). |
|
|
|
|
|
||
При записи системы (4.81) учтено, что граничные условия (4.78) |
||||||||
принимают вид |
|
|
|
|
|
(4.82) |
||
|
|
и [ = и „ = 0. |
|
|
|
|
Эта система является системой дифференциально-алгебраических уравнений. Принимая во внимание соотношения (4.79), (4.80), началь ные условия будут иметь вид
«,•(0) = 0, Uj(0) = 0, г = 1, n, j = 2, п - 1. |
(4.83) |
Сформулируем задачу (4.81)—(4.83) относительно наилучшего аргу мента Л. Дифференцируя алгебраические соотношения и учитывая смысл наилучшего аргумента, получаем
' V,\A = (am + |
+ ftK а, |
|
< Wj-l,A - (2 - |
ft2 /j,u)«j,А+ «i+l,A + h2fj,«Vj,\ + |
= о, (4.84) |
. Vi,\Vi'X + Uj XUj x + t \ = 1 . |
|
Для приведения этой неявной системы дифференциальных урав нений к нормальной форме, разрешаем ее относительно производных, представляя последнее уравнение в виде
.M U *) + „(‘- 0J*) , |
_ |
, |
||
t.A |
Vi,X + U)j,A.A |
“Шj,A1.Аf +Ь,АГ.А |
Г.А - |
*> |
где индексом (fc - 1 ) помечена функция, найденная на предыдущем шаге процесса интегрирования, тем самым используя аргумент, близкий к наилучшему.
Так как начальная точка не является предельной по t, то начальное значение вектора Z = (г/1)А, и2,Л>. . . , v„iX, «2,А, ■ ••, «п-1,А, <а)Г мож но принять в виде (4.22). В этом случае получается точное решение системы (4.84), если на каждом шаге проводить нормировку в соответствии с формулами (4.21).
4.5. Неявно заданные дифференииально-алгебраические уравнения |
139 |
Очевидно, что размерность системы (4.84) может быть уменьшена, если представить ее в виде
uf \ \ - ( 2- h2k « )u$ +uf+u +ft2 [fjA aiVj+bj uj+ gj)+ kt] * !?= °.
< |
(4.85) |
'Ч л + [(«i»< + fc«i +#)(<*<»< + Ь щ + gi) + |
= •• |
Здесь учтены условия (4.82), поэтому Ш(>Л= щп,а = 0.
После решения системы (4.85) относительно производных и нор
мировки в соответствии |
с формулами (4.21), получаем систему |
ОДУ |
||
в нормальной форме |
|
|
|
|
diij |
dvi |
dt |
|
|
~ d \ =Uj,X’ |
’d |
\ = (aiVi + biUi+3i' t*' |
d \ = t ’x' |
(4‘86) |
квадратичная норма правой части которой, очевидно, равна единице. Эту систему следует интегрировать при начальных условиях
Uj(0) = 0 = «,(0) = f(0) = 0, £ = Т7п, j = 2, п - 1, |
(4.87) |
принимая во внимание граничные условия (4.82), при помощи програм мы DA1EXP.
В качестве примера рассматривалась задача
dv
— = v + и + 4г sin хх, dt
|
d ZU |
2 |
|
(4.88) |
|
|
|
||
|
— j |
+ X V = 0. |
|
|
|
OX1 |
|
|
|
|
u(0, t) = |
u(l, t) = 0, |
(4.89) |
|
|
v(x, 0) = |
0. |
(4.90) |
|
Если решение задачи (4.88)-(4.90) отыскивать в форме |
|
|||
00 |
|
|
00 |
|
v(x, t) = ^ Vi(t) sin ixx, |
u(x, t) = ^ 2 Ui(t) sin ixx, |
|
||
i=l |
|
|
<=1 |
|
то нетрудно показать, что аналитическое решение имеет вид |
|
|||
v(x, t) = |
и(х, t) = (e2t - 1 - 2£j sin xx. |
(4.91) |
||
Численное решение, полученное для t € [0,1], сравнивалось с ана |
||||
литическим (4.91) при t = |
1. |
|
|
|
При уменьшении начального шага интегрирования точность вычи слений повышается. Вычисленные функции v(x,t), u(x,t) симметричны
140 Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения
по х относительно середины отрезка [0,1] изменения х. При увеличении числа точек разбиения п (рассматривалось n = II и п = 16) отличие между функциями v(x, t) и tt(x, t) уменьшалось.
Так, при начальном шаге интегрирования Адо = 0,05 и при п = 11 ошибки Д„ и Д0( равные разностям между численными значениями функции v и и и аналитическими, подсчитанными по формулам (4.91), в момент t = 1 были равны Д„ = 0,163 и Д„ = 0,202. При Адо = 0,025 Д„ = 0,091 и Дм = 0,128. При Ад0 = 0,0125 Д„ = 0,0386 и Д„ = 0,0755. При п = 16 и Адо = 0,025 Д„ = 0,075 и Д„ = 0,094.
Как и следовало ожидать, ббльшая ошибка накапливается в пере менной, которая не дифференцируется, т.е. в функции и.