книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Глава 5

Функционально-дифференциальные уравнения

В этой главе мы рассмотрим с позиции метода продолжения реше­ ния по параметру еще один класс задач, для которых решение может быть построено этим методом. Это задача Коши для функциональ­ но-дифференциальных уравнений. К таким уравнениям можно отнести дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и интегродифференциальные уравнения Вольтерра.

5.1. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

Такого типа задачи возникают в самых различных областях приложе­ ний: от исследований распространения эпидемий, динамики популяций и создания моделей сердечно-легочных систем до теории управления.

Достаточно подробные обзоры численных методов решения урав­ нений с запаздывающим аргументом приводятся в [57, 72, 84]. Повидимому, впервые качественные основы применения методов Эйлера для численного интегрирования таких уравнений рассмотрены в рабо­ тах [70, 71], а первая вычислительная программа, использующая метод Эйлера и кусочно-постоянную или кусочно-линейную интерполяцию приводится в [89].

Анализ показывает, что для численного интегрирования уравнений с запаздывающим аргументом могут быть применены программы, раз­ работанные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В [117] приводится сравнение некоторых наиболее известных вычи­ слительных программ при решении задач Коши как для жестких, так и для нежестких уравнений с запаздывающим аргументом.

Отметим, что применение методов порядка выше первого к урав­ нению с запаздыванием осложняется тем, что с помощью этих методов хорошо аппроксимируются лишь решения, дифференцируемые доста­ точное число раз. Поэтому хорошие результаты эти методы дают лишь начиная с тех значений аргумента, для которых решение оказывается уже достаточно сглаженным.

На основании теоремы о дифференцировании функций, заданных неявно [61], получаем

Поэтому, с учетом системы уравнений (S.1), соотношения (S.4), (5.5) примут вид

Эта система уравнений является системой уравнений продолжения для построения кривой множества решений, заданной соотношениями (5.2). Очевидно, что эта кривая, в то же время, является интегральной кривой задачи (5.1).

Для построения этой кривой систему (5.6) необходимо записать в нормальной форме Коши, т.е. разрешить относительно производ­ ных. Успех этой операции определяется обусловленностью системы. Обусловленность же зависит от выбора параметра-аргумента ц, ко­ торый определяется вектором а = (art, • • •, <*n+i)T- Структура систе­ мы (5.6) полностью совпадает со структурой системы (1.37), фигури­ рующей в главе 1 при доказательстве теоремы о наилучшем параметре продолжения решения системы нелинейных уравнений. Следовательно наилучший параметр А будет реализован, если вектор а принимает зна­ чения а = (yitx, . . . , уп,\, *,л) . Тогда, как в главе 1, система (5.6) может быть решена относительно производных аналитически. Поскольку аргу­ мент Л не входит явно в уравнения, будем его отсчитывать от начальной точки задачи (5.1). В итоге приходим к следующей формулировке задачи Коши

^= МЧ А), У1(А), • • •, Уп(А), у,(<(А) - т,4(<(А))),

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5.1. Для того, чтобы задачу Коши для системы обыкно­ венных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами (5.1) сформулировать относительно наилучшего аргумента, необходимо и достаточно в качестве такого выбрать длину дуги, отсчитываемую

интегрирование которой на отрезке [г, Зт] изменения t прошло успешно. Для того, чтобы проанализировать поведение численного решения, когда правая часть уравнения стремится к бесконечности, сформулируем задачу Коши (5.8) в системе прямоугольных осей координат (z,®), повернутых относительно осей координат (у, t) на угол а (см. рис. 5.1).

Связь межиу системами координат задается соотношениями

v = sin а + cos a, z(v) — zv = cos a - sin o.

Частный интеграл этой задачи на отрезке v ^ х ^ Ъи можно получить аналитически при помоши метода шагов, преобразуя задачу Коши (5.9) при т = 1 согласно (5.12) к виду

Записывая выражения (5.10) с учетом (5.12), приходим к частному интегралу задачи (5.15), (5.16), а, значит, к частному интегралу задачи (5.13), (5.14) на отрезке v < х < 3i/. Это соотношение использовалось для оценки точности вычислений по формуле

где z* — численное решение задачи.

На рис. 5.2 показано поведение десятичного логарифма от абсо­ лютной величины ошибки А, подсчитанной по формуле (5.17), в за­ висимости от значения угла поворота осей координат а. Приводится наибольшее значение ошибки А, которое имеет место в конце интер­ вала интегрирования, т.е. при t = 3v. Штриховая линия соответствует численному интегрированию задачи (5.13), (5.14), а сплошная — той же задаче, но после применения Л-преобразования.

из уравнения (5.14), которое решалось численно методом Ньютона— Рафсона с точностью КГ4.

Задачи интегрировались с одинаковыми шагами по переменным х и Л, равными 0,1.

Из рис. 5.2 видно, что ошибка решения Л-преобразованной задачи незначительно зависит от угла а, тогда как ошибка решения при тра­ диционном подходе неограниченно возрастает, когда угол а стремится к нулю.

5.2. Задача Коши для интегро-дифференииальных уравнений Вольтерра 147

5.2. Задача Коши для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра

Рассмотрим численное решение задачи Коши для системы уравне­ ний вила

Обзоры работ, посвященных задачам такого типа, приводятся в (57, 84, 73].

Уравнения (5.18) называют уравнениями с бесконечным запазды­ ванием, так как в общем случае производная y(t) зависит от всех предыдущих значений функции y(t). Как и уравнения с запаздываю­ щим аргументом, такие уравнения являются примером функционально­ дифференциальных уравнений Вольтерра.

Задачи вида (5.18), (5.19) представляют практический интерес. Они, в частности, встречаются при изучении конкурирующих популяций.

Численные методы решения задачи Коши (5.18), (5.19) известны давно, но развитие практически применимых алгоритмов было огра­ ничено [90]. Достаточно обширный обзор численных методов решения задач такого типа приводится в [57], где отмечается, что все численные методы можно условно разбить на два класса. Первый класс методов включает в себя непосредственную адаптацию формул и методов реше­ ния задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [74]).

Второй класс методов относится к случаю, когда уравнения (5.18) записываются в виде интегральных уравнений и к ним применяются методы теории интегральных уравнений (см., например, [28]).

Здесь задача (5.18), (5.19) формулируется относительно наилучшего аргумента. Для этого применим алгоритм, рассмотренный ранее.

Отметим, что формальный подход для решения этой задачи был

задает в (п+ 1)-мерном евклидовом пространстве Rn+I некоторую кри­ вую, процесс построения которой может быть представлен как процесс

продолжения решения y(t) по параметру t. Такой подход позволяет по­ ставить вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения решения, а значит и наилучшего аргумента задачи.

Пусть величины у и t являются функциями некоторого аргумента р, который локально, т. е. в малой окрестности каждой точки интегральной кривой задачи представляется соотношением

где числа ctj (j = 1, п+1) являются компонентами единичного вектора а —( a i , . . . , а п+|)т , задающего направление отсчета аргумента р.

Уравнения продолжения решения задачи (5.20) получим, если ра­ венство (5.21) разделим на dp, а соотношения (5.20) продифференцируем по р:

( ОЦУ1ф+ <*п+\1ф = 1,

3 .К Ь * - £ . < , - 5 .

Однако такой подход неконструктивен, так как интеграл (5.20) неизвестен.

Уравнения продолжения можно получить иначе. Линеаризуем век­ тор-функцию F = (F\,. . . , F„)T в окрестности некоторых значений щ = у*, тогда получим

приходим к следующей форме записи уравнений продолжения

в результате интегрирования дифференциальных уравнений, полученных после разрешения уравнений продолжения (5.23) относительно произ­ водных. Обусловленность этой системы зависит от выбора аргумента р, который определяется вектором а. Структура системы (5.23) полностью совпадает со структурой системы (1.37), рассмотренной при доказатель­ стве необходимых и достаточных условий выбора наилучшего параметра

применения к задаче Л-преобразования она примет вид

(5.28)

Задачи (5.27), (5.28) интегрировались на отрезке t 6 [-1,1] численно при помощи метода Эйлера. Интеграл, входящий в правую часть уравне­ ний, подсчитывался по формуле трапеций с переменным шагом. Задача (5.27) интегрировалась с шагом ht = 0,002. Ошибка А, подсчитанная по формуле

(5.29)

где у* — численное решение задачи, резко, на два порядка, возрастала (от А = -0,175 до А = 17,4) при t = 0. При интегрировании же Л-преобразованной задачи (5.28) с шагом Лд = 0,02 скачков ошибки не наблюдалось.

Рассмотрим уравнение, содержащее более сложное подынтегральное выражение, но имеющее то же решение, что и задача (5.27). Для этого в задаче (5.27) функцию S(t, у) примем в виде

-1

При численном решении такой задачи при помощи вышеописанно­ го алгоритма ошибка (5.29) при прохождении значения t = 0 возрастала при шаге интегрирования ht = 0,002 с А = -0,138 до А = 0,226 • 103. После применения к задаче Л-преобразования скачков ошибки не про­ исходило.