книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

В [47, 10] получены точные оценки погрешности приближения кривых параметрическими эрмитовыми сплайнами в евклидовой и хаусдорфовой метриках. В качестве параметра использовалась длина ломаной или кривой.

Отметим, что во всех этих работах вопрос о выборе наилучшего параметра не рассматривался.

6.1. Параметрическая интерполяция

В отличие от традиционной задачи интерполяции (см., напри­ мер, [5]), задачу параметрической интерполяции поставим как задачу

В такой постановке очевидно, что выбор значений /4< неоднозначен. Достаточно, чтобы /4< образовывали монотонную последовательность чисел. Можно, например, выбрать в качестве /4,- номера пар чисел ж*, Iн, т.е. положить /4,- = г.

Вообще говоря, функции Х(ц) и Y (ц) могут быть функциями различных классов или различными функциями одного класса. Напри­ мер, традиционная задача построения интерполяционного многочле­ на у = Цх) с точки зрения параметрической интерполяции формулиру­ ется как задача построения многочлена у = Ь(ц) при ж = ц.

туальности этой задачи говорят результаты, полученные в [62], где при изучении параметрического кубического сплайна установлено, что выбор параметра существенно влияет на интерполяционную кривую, на которой в некоторых случаях могут появиться даже петли.

удовлетворяющие условиям (6.1), построены, то задача вычисления межузловых значений может быть поставлена двояко:

1. По заданному /л вычислить ж и у. Решение этой задачи тривиально и сводится к вычислению ж = Х(ц) и у =

2. По заданному ж (или у) вычислить у (или ж).

Именно в такой форме эта задача и ставится при традиционной интерполяции. При параметрической интерполяции придется снача­ ла по заданному ж найти /4, как решение нелинейного уравнения

х - Х(р) = О, и, далее, по полученному р вычислить у, как у = Y(p). Таким образом, вычисление межузловых значений при параметрической интерполяции в самом общем случае сводится к решению системы двух нелинейных уравнений

Исключим из этих уравнений р. Мы не будем обсуждать условий, налагаемых на функции Х(р) и Y(p), при которых это можно сделать, но ясно, что эти условия не слишком обременительны. В результате задача вычислений межузловых значений z и л сведется к решению нелинейного уравнения

Такая формулировка задачи интерполяции позволяет посмотреть на нее с позиции метода продолжения решения по параметру и ввести параметр р как параметр продолжения, т.е. искать решения х и у уравнения (6.4) как функции некоторого параметра р [34]

В главе 1 доказано, что получающаяся на каждом шаге процесса продолжения решения система линеаризованных уравнений, соответ­ ствующая уравнению (6.4), будет наилучшим образом обусловлена тогда и только тогда, когда в качестве параметра продолжения р выбрана длина Л кривой множества решений уравнения (6.4), т.е. кривой у(х) или х(у), дающей решение уравнению (6.4). При этом дифференциал длины кривой dX должен удовлетворять равенству

В дальнейшем параметр, доставляющий линеаризованной системе продолжения наилучшую обусловленность, будем называть наилучшим. Таким образом, доказана

Теорема б. Для того, чтобы задачу параметрического интерполиро­ вания кривой сформулировать относительно наилучшего параметра, необходимо и достаточно выбрать в качестве такого длину дуги А интерполируемой кривой.

Если уравнение (6.4), удовлетворяющее условиям (6.5), задано, то интерполяционные функции (6.6) х(А) и у(А) могут быть получены как

154 Глава 6. Параметрическое приближение

решения уравнения продолжения, которое получим, продифференциро­ вав уравнение (6.4) по Л:

интерполирующих функций к интегрированию следующей задачи Коши

(

Здесь параметр Л отсчитывается от первого узла интерполяции (®l,yi). В главе 2 отмечаются некоторые преимущества сформулирован­ ной таким образом задачи Коши.

Для решения в таком виде традиционной задачи построения интер­ поляционной функции у = f(x) заданного класса, например, интерпо­

Тогда, в силу (6.9), FtV= 1, FjX = -df/dx, второе из уравнений про­ должения (6.8) упрощается, и узловые значения параметра наилучшего приближения могут быть найдены по рекуррентной формуле

Т Я £ > ‘

В силу своей симметрии относительно х и у представляется интерес­ ной и параметрическая интерполяция (6.3) с использованием наилучшего параметра продолжения А. Для ее реализации, т.е. для построения при­ ближающих функций Х(Х), У(А), необходимо задание узловых значе­ ний А,. А их, в свою очередь, нельзя вычислить, не задав функции Х(Х), У(А). Не обсуждая здесь общей постановки возникшей задачи, заметим, что в качестве первого приближения можно задать в качестве узловых

значений а|^ (г = 1,п) длину ломаной, соединяющей точки (ж,, у,)

(г = 1,п) на плоскости х,у, начиная от точки х\, у\, т.е. по рекуррент­ ной формуле

А11) = 0> ^ , = 4 ° + ДА,,

( 6. 10)

ДА,- = y/(xi+i ~Xi)2+ (yi+i - у,)2, »= 1,11-1.

После построения интерполяционных функций первого приближе­ ния * О)(/0, г (,)(/0 таких, что

Г 1 = Л » - Й '

узловые значения А< могут быть уточнены

,(|)

■ч т

*= ! , « - 1,

ипостроены интерполяционные функции второго приближения

Х^2\ц), У®(м) и т.д.

Не обсуждая здесь вопросов сходимости этого процесса, заметим, что для практических целей параметрической интерполяции вполне до­ статочно первого приближения. Отметим, что параметр длины ломаной вида (6.10) использовался в [25,50, 62] при построении параметрического кубического сплайна. Близость длины ломаной к наилучшему параме­ тру продолжения обеспечивает близкую к наилучшей обусловленность решения задач определения межузловых значений х (или у) по задан­ ным у (или г).

Отметим также, что наилучший параметр продолжения, рассмо­ тренный в главе 1, обеспечивает минимальную квадратичную погреш­ ность решения соответствующего линеаризованного уравнения для (6.4) при погрешностях аргументов. Как следствие этого, при выборе в ка­ честве параметра длины ломаной (6.10) будут близки к минимальным

Кроме того, параметрическая интерполяция с таким параметром по­ зволяет интерполировать многозначные функции у(х) и х(у), в том числе и функции, графиками которых являются замкнутые кривые или кри­ вые, образующие петли. Примеры, рассмотренные ниже, показывают, что кривые, построенные с использованием такой параметрической ин­ терполяции, теснее примыкают к графику заданной функции.

В качестве первого примера рассмотрим приближение многочлена­ ми единичной полуокружности х2 + у2 = 1, у ^ 0 с узлами интерполя­ ции (Х{, yi) (» = 1, я), равномерно расположенными вдоль ее дуги. Зада­ чу обычной интерполяции будем решать с помощью интерполяционного

на два порядка превосходит ошибку параметрической интерполяции Дг. А при п = 9 это отличие еще более существенное: почти на три порядка. Отметим, что для ошибки 62 характерно то, что она имеет всплески на крнцах области интерполирования, тогда как внутри этой области она почти на порядок меньше. Обратим внимание также на то, что в рассма­ триваемом примере ошибка обычной интерполяции Л] имеет свое наи­ меньшее возможное зна­ чение, когда узлы интер­ поляции совпадают с ну­ лями многочленов Чебы­ шева, см. [5]. При этом, например, для п = 7, как А], так и Д2 уменьшают­ ся более чем в три раза.

Если провести пара­ метрическое интерполи­ рование полной единич­ ной окружности с рав­ номерно распределенны­ ми вдоль дуги узлами, то в случае числа участков разбиения, равного 4, 8, 12, ошибки Дг будут сле­ дующими: 0,39, 0,135-Ю-1,

Рис. 6.4.

0,88 • 10-5. Заметим, что в [1] эта же задача решалась при помощи ку­ бических периодических параметрических сплайнов с использованием в качестве параметра, как и в нашем случае, длины хорды. Здесь при тех же условиях ошибка Дг принимает следующие значения: 0,01, 0,113 - 10-2, 0,165 - 10_3.

На рис. 6.3, 6.4 приводятся результаты параметрической интерпо­ ляции (6.12) для квадрата со стороной, равной 2. В качестве ошибки 6 принималась величина отклонения по нормали от соответствующей стороны квадрата. На рис. 6.3 представлено изменение А = шах |<5| в за­ висимости от количества участков разбиения контура квадрата. Схема разбиения приводится на этом же рисунке. На рис. 6.4 для восьми участков разбиения представлена зависимость |<5| от параметра Л. Как и в случае окружности, наблюдаются всплески |<5| на концах области интерполяции, где ошибка почти на порядок превосходит свои значения,

достигаемые внутри.

ности по четырем узловым точкам, равномерно распо­ ложенным по дуге окруж­ ности. Ошибка традицион­ ного полинома Лагранжа Ai = 0,333. Ошибка па­ раметрического интерпо­ лирования Дг, когда функ­ ции Х(Л), У(Л) также представлены полиномами Лагранжа, а за параметр Л

показывает изменение ошибки Дг, если значение параметра щ для узла 2 отлично от наилучшего значения Аг = 1. При этом значения параметра р для остальных узлов являются наилучшими /t,- = Л,-. Кривые 2 и 3 соответствуют аналогичной ситуации для узлов 3 и 4. Видно, что при отклонении значений параметра p i от наилучшего Л,- ошибка Дг резко возрастает.

6.2. Параметрическая аппроксимация

Задача обычной аппроксимации заключается в построении много-

члена у = Р(х) = т t^xк степени т , график которого проходил бы /ь=о

возможно ближе к заданному множеству, состоящему из п точек (х,-, у,-), i — 1,п. При аппроксимации по методу наименьших квадратов за меру

i=i

Рассмотрим задачу параметрической аппроксимации, для чего вве­ дем некоторый параметр р, и пусть точке (х,-, у<) соответствует значение р — P i , i = 1,п. Тогда задача параметрической аппроксимации будет состоять в построении двух многочленов степени т каждый

Имея в виду неоднозначность выбора параметра, будем искать такой параметр р, который бы также доставлял выражению (6.14) наименьшее значение. Поставим в соответствие первой точке (xi,yi) значение р\ = 0, остальные значения р, будем подсчитывать по формуле

причем Дp i примем в виде

Здесь ДXi = Xi+i~Xi, Ду,- = yj+i -у,-; or,-, А — пока не определенные константы, которые по смыслу представления (6.16) можно рассматри­ вать как компоненты вектора, указывающего направление прямой, вдоль которой отсчитывается параметр р. Для того, чтобы все направления

160 Глава 6. Параметрическое приближение

были равноправными, будем их определять единичными векторами, поэтому должны иметь место равенства

Таким образом, задача сводится к исследованию на экстремум функции (6.14) при условии, что имеют место равенства (6.17). Функцию

где 7,- — множители Лагранжа.

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю частных производных

П

Уравнения (6.19) можно использовать для определения коэффици­ ентов ак, bk многочленов (6.13).

Если в уравнениях (6.20) перенести последние слагаемые в правую