книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Так же, как и в главе 1, мы будем выбирать наилучший параметраргумент локально, т.е. в малой окрестности каждой точки кривой множества решений, которая является интегральной кривой задачи (2.1).

Для решения этой проблемы считаем од и t такими функциями некоторого аргумента р, что в каждой точке интегральной кривой задачи

( a | , . . . , a n+i)T, задающего направление, в котором отсчитывается аргу­ мент р. Напоминаем, что в выражении (2.3) предполагается суммирова­ ние по индексу».

Правую часть равенства (2.3) можно рассматривать как скаляр­

ния, можно рассмотреть все возможные параметры продолжения зада­ чи (2.2), а значит, и аргументы задачи (2.1).

Поскольку конкретный вид уравнений (2.2) нам неизвестен, то пере­ ход к аргументу р можно осуществить непосредственно для задачи (2.1). Сделав это и поделив равенство (2.3) на dp, получим

форме систему (2.4) можно записать в виде

Здесь матрица А размером n х (n + 1) имеет структуру

А = [Ef],

где Е — единичная матрица n -го порядка и / = ( /1, . . . , f„)T — вектор в К".

Структура системы (2.5) в точности совпадает со структурой системы (1.37). Поэтому, согласно теореме 1, переход к нормальной форме системы (2.5) будет наилучшим образом обусловлен тогда и только тогда, когда a = одл, т. е. когда в качестве параметра р выбирается длина дуги Л вдоль кривой множества решений системы (2.2), т.е. вдоль интегральной кривой задачи (2.1). Тогда система (2.5) может быть записана в виде

что делает возможным ее аналитическое разрешение относительно про­ изводных. Поскольку аргумент Л не входит явно в уравнения, будем

его отсчитывать от начальной точки задачи Коши (2.1), тогда приходим к следующей формулировке задачи Коши [66]

В дальнейшем аргумент Л, доставляющий системе уравнений (2.5) наилучшую обусловленность, будем называть наилучшим аргументом, а преобразование задачи Коши (2.1) к задаче Коши (2.7) — А-преобра­ зованием.

Таким образом, доказан основной результат данной главы.

Теорема 2. Для того, чтобы задачу Коши для нормальной системы ОДУ (2.1) преобразовать к наилучшемуаргументу, необходимо и достаточно

вкачестве такового выбрать длину дуги, отсчитываемую вдоль ин­ тегральной кривой этой задачи. При этом задача (2.1) преобразуется

взадачу (2.7).

Вновь сформулированная задача Коши (2.7) обладает рядом дос­ тоинств по сравнению с задачей Коши (2.1). Так, правые части каждого уравнения (2.7) не превосходят еди­ ницы. Более того, квадратичная нор­ ма правой части системы всегда равна единице. Это снимает многие пробле­ мы, связанные с неограниченным ро­ стом правых частей системы (2.1), что позволяет интегрировать дифферен­ циальные уравнения, интегральные кривые которых содержат предель­ ные точки (точки А и В , рис. 2.1), производные в которых обращаются в бесконечность. Появляется возмож­ ность решать задачи, имеющие за­ мкнутые интегральные кривые (кри­

вая 1, рис. 2.1). Как будет показано далее, предложенное преобразование ослабляет также трудности, характерные для жестких систем.

Заметим, что достоинства Л-преобразования не ограничиваются только вычислительным аспектом. Оно может с успехом использоваться и в качественной теории дифференциальных уравнений, осуществляя переход из пространства с неограниченными функциями, стоящими в правой части системы, в пространство, где они ограничены. Такой пе­ реход осуществляется в [52] при исследовании автономных систем ОДУ.

Однако, нормировка, предложенная в [52], не изменяя фазового портрета системы, изменяет интегральную кривую задачи. Очевидно, что А-преоб- разование лишено такого недостатка. Наконец, леммы 2 и 3 утверждают, что при выборе наилучшего параметра в качестве аргумента квадратич­ ная погрешность, возникающая из-за возмущения элементов матрицы или правой части системы (2.5), принимает наименьшее значение. Это особенно важно при численном интегрировании нормальной систе­ мы ОДУ (2.7), которая получается из неявной системы (2.6), так как вычислительные погрешности в этом случае будут иметь наименьшее влияние на решение.

2.2. Некоторые свойства Л-преобразования

Прежде чем рассмотреть свойства полученного преобразования, за­ метим, что в том случае, когда функция, стоящая в правой части системы (2.1), может принимать комплексные значения, а искомое ре­ шение является действительным, преобразованная задача (2.7) примет вид

где f — функция, комплексно-сопряженная к функции f .

Известно, что любая система ОДУ может быть записана в автоном­ ном виде

(2.8)

Исследуем устойчивость метода Эйлера на известном тестовом урав­ нении [87, 105, 29]

dx

которое получается, если функцию, стоящую в правой части уравнения (2.8), представить в окрестности точки у = ут по формуле Тейлора f(y) = f(ym) + а(у - ут), где а = df(ym)/dy — некоторая, вообще говоря, комплексная константа, а функции х и у связаны зависимостью

Здесь и далее используется обозначение }т = f(ym)-

54 Глава 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений

Отметим следующее обстоятельство: так как нас будут интересовать вещественные решения уравнений (2.8), (2.9), т.е. вещественные значе­ ния функций * и у, то из равенства (2.10) следует, что должна быть вещественной дробь / т /а.

Явная разностная схема метода Эйлера для уравнения (2.9) имеет

Здесь ht — шаг интегрирования по переменной t. Как известно (см., например, [57]), эта схема будет абсолютно устойчивой, если

где а = Re о, /3 = 1ш а — действительная и мнимая части о.

Таким образом, областью абсолютной устойчивости схемы (2.11) на плоскости hta, Нф является внутренность единичного круга с цент­ ром в точке ( - 1, 0), показанного на рис. 2.2, а.

Ад(/9cos(Зу>/2)—asin(3y>/2))

A,(acos(3y>/2)+/Jsin(3p/2))

Рис. 2.2.

Применяя к уравнению (2.8) Л-преобразование, получаем систему

В этой системе двух уравнений решение второго уравнения опреде­ ляется решением первого. Поэтому рассмотрим только первое уравнение (2.13). Легко установить равенство afm = 5 / m , вытекающее из условия вещественности решений уравнений (2.8), (2.9). В самом деле, так как, согласно (2.10), функция / т /а-вещественная, то функции / т 3 = aafm/a и / т a = fmfma/fm — также вещественные. Но данные функции могут быть представлены в виде

f ma = (и + iv)(a - i/3) = ua + v/3 + i(va - up),

f ma = (w - iv)(a + ip) = ua + v@- i(va - up),

где i — мнимая единица. Очевидно, что они будут вещественными, когда выполняется условие vat = u/J, но в этом случае имеет место равенство ®/га “ 8/ я ,

Линеаризуем правую часть первого уравнения системы (2.13) с по­ мощью формулы Тейлора в окрестности значения у = ут

Тогда для новой функции

* = У ~ Ут + /т(1 + fmfrn)/а = * + /Д /т / а получим уравнение

(p3/2 + ahx)2 + (phx)2<(p3/2)2.

Таким образом, областью абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера для уравнения (2.14) будет внутренность круга радиуса р3/2 с центром в точке ( -р 3/2, 0) (см. рис. 2.2,6).

Для большей наглядности рассмотрим случай действительного зна­ чения а и функции / т . Неравенства (2.12) и (2.15) тогда упрощаются и, учитывая, что области абсолютной устойчивости соответствует а < 0, их можно представить в виде

Отсюда видно, что применение A-преобразования расширяет об­ ласть абсолютной устойчивости явной схемы Эйлера.

Использование Л-преобразования имеет смысл в том случае, если мы сможем прийти из начальной точки -Ао(£о> Уо) интегральной кривой y(t) в конечную точку В (см. рис. 2.3) за меньшее число шагов, двигаясь

Для уравнения (2.14) область устойчивости неявной схемы Эйлера определится неравенством

айд

(l + /m/m)3/2 > 1,

которое может быть преобразовано к виду

(/>3 /2 - « Л д) 2+ (Д Л д )2 > ( р 3/2) 2.

и определяет внешность круга радиуса р3/2 с центром в точке (р3/2, 0) (рис. 2.4,6).

Если а и функция f m — действительные числа, то неустойчивость неявной схемы Эйлера может возникнуть только при в > 0, и область неустойчивости для уравнений (2.9) и (2.14) определится неравенствами

а а

Таким образом, А-преобразование увеличивает область устойчивости явной и область неустойчивости неявной схемы Эйлера.

Отметим, что несмотря на уменьшение области устойчивости не­ явной схемы, она остается как Л-устойчивой в терминологии Далквиста [87], так и жесткоустойчивой в смысле Гира [93].

Исследуем теперь, как А-преобразование влияет на спектральные характеристики системы двух дифференциальных уравнений

где q = < r 3/2.

Спектр собственных значений системы (2.22) состоит из корней

«21 ®22 - -

которые вычисляются по формулам

*"1,2 —|(<*11 +«22±\/(в 11 - e22)2 + 4«i2«2l )-

Введем параметр е = «2 / « i , тогда