книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

обычно возникает задача определения множества решений этого урав­ нения в зависимости от значения параметра. Если выполнены условия теоремы о неявных функциях, то решения ж представляются непрерыв­ ными и дифференцируемыми функциями р, т.е. х = ж(р).

Простейшей формой представления этой зависимости было бы отыс­ кание решений Х(к) = х(рк) для некоторого множества значений пара­

метра р : Ро < Pi < • • • < Рк < • • • < РдгПроцесс М. Лаэя (1.5) демон­ стрирует, как на основе идеи продолжения решения можно экономично организовать процесс построения множества решений. Его предложе­ ние, по существу, свелось к использованию решения для предыдущего значения параметра задачи р в качестве начального приближения для те­ кущего значения параметра. Для р = р* этот процесс можно записать в виде

*(*{ ) = *(*)+ 6х\ь)’ * —°»!>2>**- ■

Этот процесс продолжается, пока норма поправочного вектора 1И*(*)Н превышает заданную точность е > 0.

Геометрическое представление этого процесса показана на рис. 1.9 для случая одного уравнения с одним неизвестным n = 1 при переходе от р*_( к рк. Искомым множеством решений этого уравнения F(x,p) = 0 является кривая К , по которой поверхность F = F(x,p) в пространстве

К : {ж, р, F} пересекается с плоскостью К : {ж, р}. Итерационный процесс Ньютона—Рафсона происходит в плоскости р = рк с начальным

приближением ж|®| = Ж(Л_,).

Этот же рисунок наглядно показывает, что трудности, возникающие

вокрестности предельной точки Г, связаны с переходом от рк к рк+\ , которой выводит процесс (1.79) из области, где существует решение. Как видно, эти трудности обусловлены тем, что решение отыскивается

вплоскости р = Pk+i, которая не имеет пересечения с кривой множества

решений К.

Таких трудностей удалось бы избежать, если для каждого к организо­ вать итерационный процесс Ньютона—Рафсона поиска ж^) в плоскости Мщ, которая ортогональна к кривой К при ж = ж(ку Но пока не най­

42 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Пусть t — величина шага, с которым мы стремимся двигаться вдоль кривой К. Тогда при достаточно малом шаге t близкой к плоскости Мдо

так, чтобы она была ортогональна единичному вектору dx^k_^/dX, каса­ тельному к кривой К в предыдущей точке *(*_i) (рис. 1.10). Уравйение

Вектор, заключенный здесь в круглых скобках, соответствует точке С на рис. 1.10. А вектор, заключенный в фигурную скобку, соединяет точку С с произвольной точкой х плоскости К2 : (®i, 2:2}. Если он

будет ортогонален вектору dx^k_ ^ /d \, как этого требует уравнение (1.81), то он будет лежать на прямой АВ.

Таким образом, определение решения х ^ сводится к нахождению решения уравнения (1.80) в плоскости , т. е. к совместному решению

уравнений (1.80), (1.81). Если второе уравнение упростить с учетом того, что вектор dx(fc_])/dA — единичный, то эта система примет вид

44 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

на вектор dx^k_^/dX, т.е. скалярное произведение этих векторов, как

Геометрически это условие требует ортогональности поправочного

вектора к орту dx^k_^/dX (см. рис. 1.10). Такая интерпрета­ ция дополнительного урав­ нения в (1.82) подсказы­ вает некоторые итерацион­ ные процессы, от которых следует ожидать еще боль­ шей эффективности. Так, если ввести вектор

4<) = *(*) “ *(*-!)»

то по аналогии с услови­ ем (1.85) можно дополни­ тельное условие в (1.82) сформулировать в форме

Чк)0х(к) * а

Геометрия итерацион­ ного процесса с таким условием показана на рис. 1.11 в плоскос­ ти К2 : {xi,X2}. В этом процессе на каждой итерации корректируется положение плоскости Мк, в которой ищется решение.

дополнительные условия определяют в К2 некоторую линию пересече­ ния плоскости Мдо с плоскостью К2 : {x\,xi}, которая может изме­

няться от итерации к итерации. Обобщая этот подход, можно сфор­ мулировать дополнительное условие, определяющее некоторую линию

46 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

шаге продолжения решения придем к совместному решению следующих уравнений

Алгоритм метода Ньютона—Рафсона для такой системы уравнений имеет вид

Все рассмотренные выше процессы могут быть без изменения ис­ пользованы для решения системы п уравнений с п + 1 неизвестными

Истолкование этих процессов как алгоритмов совместного реше­ ния основной системы уравнений с дополнительным уравнением по­ зволяет рассматривать их с обшей точки зрения на метод Ньютона— Рафсона и другие итерационные процессы, которые подробно иссле­ дуются во многих монографиях (см. [69, 28, 5] и др.) В них детально обсуждены вопросы сходимости итерационных методов. Мы отметим только, что для сходимости этих методов начальное приближение обыч­ но не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В по­ строенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага t по. параметру продолжения Л.

1.6.Продолжение решения в окрестности существенно особых точек

Вцели этой книги не входит разработка алгоритма продолжения

вокрестности существенно особых точек. Решение этого вопроса связано

спроблемой поведения решения в таких точках, которая в настоящий момент исчерпывающе решена только для некоторых классов функций. Анализ этой проблемы с точки зрения продолжения решения дан в мо­ нографии [17] и в главе 8 данной книги. Здесь же мы ограничимся

рассмотрением простейшего случая — анализа особых точек плоской кривой, что позволит нам обозначить возникающие при этом проблемы.

Плоской кривой соответствует множество решений одного уравне­ ния с двумя неизвестными

Здесь функция F (x\,x2) предполагается непрерывной и достаточно гладкой по обеим переменным в окрестности рассматриваемой точки х° = (х°, х®) € I 2, которая является решением уравнения (1.89), т.е.

Для упрощения записи производные обозначим как дР/дХ{ = Fj. Тогда матрица Якоби J функции Р(х\,хг) примет вид

В окрестности точки х° решение можно продолжить, если хотя бы одна из производных 2^ отлична от нуля. Так, если в качестве параметра принять Х2, то точки, где F i ф 0, будут регулярными, а точки, где Ft\ —0, Ft2 ф 0, будут предельными. Но для всех этих точек rank(J) = 1.

Если же в точке х°

то в этой точке rank(J) = 0, т.е. матрица J вырождается, и эта точка является существенно особой.

В окрестности такой точки представление функции по формуле Тейлора в силу равенств (1.90), (1.92) имеет вид

•F(xi,x2) = — (F J J AXJ + 2F j2A* lA*2 + ^ ,22^ 2) + 0(р3). (1.93)

Здесь обозначено Дх< = х(-х®, р = \ j Ах\ 4- AXj, F$j = Fy(x°, x°),

U = 1,2.

По смыслу представления (1.93) сумма членов второй степени это­ го представления в окрестности точки х° должна обращаться в нуль

возможно, что особая точка является обшей точкой двух соприкасаю­ щихся кривых (рис. 1.14) или точкой возврата (рис. 1.15).

Общий случай ветвления кривых в Rn+1 в настоящее время до кон­ ца не исследован. Результаты для аналитических функций F(, начало которым положили исследования А. М. Ляпунова [39] и Е. Шмидта [111], приводятся в монографиях [9, 28, 3, 26].

Интересный для механики случай, когда существует такая функ­ ция F, что Fi = dF/dXi, был рассмотрен А. Пуанкаре [109]. Для упругих систем с конечным числом степеней свободы наиболее полные резуль­ таты изложены в монографии Дж. Томпсона и Г. Ханта [115]. Более подробный обзор дан в книге [17].

Общий случай ветвления, определенный слагаемыми второй степени в формуле Тейлора, рассмотрен в главе 8.

Глава 2

Задача Коши лля обыкновенных дифференциальных уравнений

В этой главе мы рассмотрим задачу Коши для системы обыкно­ венных дифференциальных уравнений (ОДУ). При определенных огра­ ничениях решением этой задачи является гладкая интегральная кривая в пространстве неизвестных и параметра, т. е. такое же однопараметри­ ческое множество, какие были рассмотрены в предыдущей главе. Это обстоятельство позволяет нам посмотреть на задачу Коши с точки зрения метода продолжения решения по параметру. А такой взгляд приводит к постановке задачи о наилучшем параметре продолжения, которая и решается ниже.

2.1. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

которые определяют интегральную кривую задачи (2.1) в (n + 1)-мерном

евклидовом пространстве Rn+1: {у ь .. •, у», t}.

Процесс построения этой кривой можно рассматривать как задачу построения множества решений системы уравнений (2.2), содержащих параметр-аргумент t, для различных значений t. Будем решать эту си­ стему методом продолжения по параметру. Тогда задача (2.1) может быть рассмотрена как задача Коши для уравнений продолжения решения си­ стемы (2.2) по параметру t, приведенных к нормальной форме. Поэтому, так же, как и в главе 1 можно поставить вопрос о наилучшем параметре продолжения. Мы будем называть его также наилучшим аргументом.