Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

берем интеграл по поверхности панели и результат приравнива ем нулю для каждой пары значений i, /. В итоге получим беско нечную систему линейных алгебраических уравнений

причем во втором слагаемом левой части должны учитываться лишь те члены, для которых i+ m и j + n нечетны.

Система (4. 29) позволяет определить критическую комбина цию усилий N, q, х.

В качестве частного случая рассмотрим потерю устойчивос

	ти панели при действии только контурных касательных сил т.
	Вводя обозначения
	3262-с	(4. 30)
	DnH	(4. 30)
	DnH

А1}=Li+k*(j2+£) (;2+f)2		(А'З
		(А'З
■+ * (/ > + !- )	“
перепишем (4.29) в виде
mnW,та	A-ijWtj — 0.		(4.31)
(i2— т 2) (у2— Л2)
т - 1 л - 1

Примем числа т, п, i, j равными 1, 2, 3. Тогда для четных сумм i+ j получим уравнение

~ Ац	4	*	0	0	0
1 -*	9	Х
1 -*	Аэд		— т* — т*		--- — X*
			5	5	25
0	— т*		Ам	0	0	= 0 . (4.32)
	15
0	4	*	0	А»	0
0	—-Х*		0	А»	0
	15
0	4	*	0	0	А33
0	----- X*		0	0	А33
	25

Раскрывая определитель, найдем

A1iAZ;Ai3A3iA33

(4.33,

■	/	А,
где
А1= А 11Л1, ( ^ ЛзХ+ ^	Аз^ + Л ^ А		а ц + А А13) .	(4.34
Для нечетных сумм l + j имеем аналогичную формулу
t__	/ А12Л21А23Л32			(4 .35
г > = у				(4 .35
Здесь
Аа—^25AUAJ J -J—— АззЛщ-}-—			(А12А28-\|-А21Азг).	(4.36

Формулы (4. 33) и (4. 35) позволяют с достаточной точность» определить величину параметра критического и касательного напряжения т*. Из двух величин, подсчитанных таким образом нужно выбрать меньшую.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАНЕЛИ, СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПО ПРЯМОЛИНЕЙНЫ! КРАЯМ И ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КРИВОЛИНЕЙНЫМ.

КОМБИНИРОВАННОЕ СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ

Указанную задачу для пологой круговой цилиндрической па нели при действии равномерного продольного сжатия N и .внещ него равномерного поперечного давления q решим приближен но — методом Бубнова [1, 2]. Задавая функцию прогиба w в фор ме

uv Г	(да— 1)ялс			( т	+ 1 ) я х		1 .	п л у	(4.33
W = W	C O S А -------------	1	1---------------	C O S А —	1 ----------		s i n	2	(4.33
L		1			1 ----------		\	ь
и учитывая, что w с Xi связаны зависимостью
	w —			А2					(4.3F
	= (1_T v') v'fi
для xi получим выражение			(m — \)лх		. плу
			(m — \)лх		. плу
	W	cos--------		---------	sin ——
X i =	(да— I)2 \2					(да— I)2		)]
	(да— I)2 \2					(да— I)2
^я2 +		X2		П 1+п	л2		X2
^я2 +					л2
	.		(И +	1) лх .	ппУ
	W c o s ---------			--------- sin	—
				I	о				(4.3С
									(4.3С

которое удовлетворяет граничным условиям задачи.

Подставляя	(4.39)		в уравнение (4.15)					и	ортогонализируя
его к функции
		(w— \)лх			(т+\) лх				(4.40)
cos —------- ----------cos —— 1— -------.									(4.40)
			I			l
найдем
№ Г N 2(nfl+ 1)				qRn2(2 -f- 8ml)j —
Drfi	L		X2
1 -+ kb in2 -+		(m — 1)2				Щ (1 + 8ш1) +
1+ a^ + J!L=JE] 1					+	Щ (1 + 8ш1) +
1+ a^ + J!L=JE] 1					+	X2	J		+
l + H [ n 2+ i £ ± i ) i ]
	Г	„	(m+	1)21	[P * +'	* $X2* ] * +
I + T		+
		(m —	1)4		<2	( m +		1)4	(4.41)
X4									(4.41)
X4
где			^ 12M(1 - _ V2)
k = ? W ,			^ 12M(1 - _ V2)					j _
	P*2		Г		А2^20Я4				b
= 0	при m ф 1			и	81ш — 1		при		m = 1 .

При <7= 0 из формулы (4.41) получим выражение для опре деления верхнего критического осевого сжатия, а при N = 0 — формулу, устанавливающую верхнюю критическую нагрузку тонкой упругой круговой цилиндрической панели при внешнем равномерном поперечном давлении q.

Из (4.41) следует формула удельной критической силы для защемленной прямоугольной трехслойной пластины при одно стороннем сжатии

				(ffZ — 1)2 V
N =	£>л2 1 + *а [ ч +	(ОТХ2-1--	] [« 2 +		X2 I (1 + 8ш )+
	*2	(т— 1)2	1	2 (ст2+ 1)
	1 + Я я 2 +	(т— 1)2	1	2 (ст2+ 1)
	[■	X2	J	Х2
		(т+ 1)2 ]		2 (от2 +	(4. 42)
	1 + 4 я Ч	(/И -+ 1)2		2 (от2 +	1)
	1 + 4 я Ч	Х2		Х2
		Х2		Х2

9 3

Из этого выражения легко получим критическое усилие дл! неограниченно широкой пластины. Умножая и деля правук часть уравнения (4. 42) на Я2 при Я2— 0, имеем


Р я 2	Г1 + *!& (« — 1)2		(m— 1)4
/2	[ l + * i ( « — 1)2		2 (m2	4-1)
. l + * ! & ( « + l ) 2		( m +	1)4 ]		(4- 43)1
1+*i(« + l)2		2 («2+1) J ’			(4- 43)1
1+*i(« + l)2		2 («2+1) J ’

где

При m = 1 формула (4.43) дает значение первого (наимень шего) критического усилия

г4Ря2 1 + т г

га1п_ /2 1+ 4*!

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАНЕЛИ С ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ И СВОБОДНО ОПЕРТЫМИ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ КРАЯМ»

(СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ)

На жестко защемленных краях панели приложены равно мерные сжимающие удельные усилия N. Полагая прогиб панели равным

« - W s in g g ^ c o s

(4.45)

найдем

_ . тях	яу
w sm —-— cos (л— 1)	—j —

[<»-l>* + £ ] ! [ l - M	( » - i P + £ ) j
m . тях	яу,
W sm------ cos (л + 1) —
I	о

(4.46)

Используя метод Бубнова (1, 2], приходим к уравнению

■ £ ( A r f - ( 2 + U + 2» * ( r f + l ) ] =

«2 I2

1 + * » [ ( Л - 1 ) 2 + — j

1 + * [ ( „ - ! ) * + £ ]

1 + « [(/ » + 1) » + ^

				(« + 1 )2+ V ' +
! + * [ ( « + 1)* + ^ - ]
, \|A2m4		UО +	°8/rii)_____j__________i_______ П				(4.47)
' ~k*~ Ц о -^ Г					(*+»+$)'[

где	nW	.	I 2 W ( I - v 8 ) . ,			/
k
	P*2	------------------- , A				b
			А2/?2вя1
81л = 0 при		п ф	1 ;	81л= 1	при	п ~ 1 .
Из формулы (4.47) может				быть определено минимальное
критическое внешнее		равномерное поперечное давление (Л^=0),

минимальное критическое равномерное осевое усилие (^ = 0), миминальное значение критической комбинации поперечного дав ления q и осевого усилия N для тонкой упругой круговой ци линдрической панели, криволинейные края которой свободно оперты, а прямолинейные — жестко защемлены.

При <7= ц2= 0 и з (4.47) найдем выражение критического уси лия плоской прямоугольной пластины с двумя противоположны ми свободно опертыми краями и двумя жестко защемленными равномерно сжатыми силами N краями.

6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПАНЕЛИ, ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ (СЖАТИЕ И ДАВЛЕНИЕ)

Наконец, получим формулу для критической комбинации равномерного осевого усилия N и внешнего равномерного попе речного давления q для круговой пологой цилиндрической па нели, жестко защемленной на всех кромках.

Принимая прогиб панели w в виде

W7	Г (/И--	1 ) Я Х	—	cos	(т + 1) ях
w — W	I cos —1*--------------——	I	—	cos
	[	I

х[	(n— 1) яу	(п + 1) яу		] •	(4.48)
	b	=■	b (
	COS —---------—’		COS	— 1— — -

для функции %ь используя (4.38), находим выражение

™.

( т — 1 ) я х

(п — \ ) я у

Wc o s -------------------- co s ---------------------

Xi =

ю		(т— 1)ях	c o s	(i п+\)яу
W c o s		--------------------l		--------------------- b

(n + 1)2 +	(m— 1)2			(n + l )2	+	^ ) ]
		X2

( т + \ ) л х

(п — 1) лу

W cos --------- ;-------- c o s ---------- т-------

(m + \)nx

(n +

1) лу

W c o s --------- --------- c o s ---------- 7

l ____________b______________

(4.4

(от + l)2

[(« +

1)2 +

(m + -i)2

[ 1 + А

((Я +

1)2 +

■)]

Подставляя (4.49) в уравнение (4.15)

и ортогонализируя р

зультат к функции

(4 .48), т. е. используя

метод Бубнова (1, f

имеем

[ j V ( 2 +

U J ! ^ r l + ^

( 2 +

s- H '* , +

1)] =

[* ■ - 1)2+

(от — I)2

] [ ( « - 1)2+

- ^

l i ]2( l + 8m l)(l+ U -

Х2

1 + а*

1 +А

1)2 +

(ОТ— I )2

]

[ * -

Х2

1 + »А^(П — 1)2 +

(ОТ + 1)2]

Х2

| [ ( я -

1)2 +

-^ ^ ^ i> i]2( i + U +

1 -J- k

Х2

1 + » [ ( „ + 1)2 +

( от—

1)2

Х2

[ ( * + i ) * + t e ^

i ]’ o + W +

1 + 4 [ ( 4 + 1 ) ! + < " ta 01 ]

1 + м [(п + 1)! + -^2!± 1 2 -]

i ) s + £ :± i ) ? . ] , +

(от + 1)2

[(„

]

1 + k

(л +

1)2 +

Х2

J f i

f (от— 1)4 (l + t mi)(l +

8„i)

(ОТ— 1)4 (1 +

»т1)

(ОТ — 1)2

1 Г

(ОТ—

1)2)2

Х4

( Я -

1)2 +

Х2

(ОТ+1)4(1+ »i.l)

(ОТ +

1)4

(4.5С

(ОТ+1)2|2

[ ( n - l )2 + - ^ t l )2 ]2

[(Л+ 1)2

где

Я2А2 .

1264(1 — V2).

/ .

(4.51

р*2 *

^ ~~

А2/?20я4

’

81т= 0

при т ф \ \

8lm=

при

т = 1 ;

81л= 0

при П ф 1;

81л=

при

Я = 1 .

Полагая в формуле (4. 50) р2= 0, q = 0, найдем выражение для критического сжимающего усилия трехслойной защемлен ной по всему контуру плоской прямоугольной пластины, равно мерно сжатой в направлении х.

Г л а в а 5

ПОЛУБЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ

Уравнения устойчивости, полученные в гл. 2 и использован ные для исследования устойчивости цилиндрических оболочек, пригодны только в том случае, когда по крайней мере при поте ре устойчивости в одном направлении образуется большое число полуволн. Эти уравнения справедливы для оболочек средней длины. Для анализа устойчивости удлиненных цилиндрических оболочек распространим на трехслойные круговые цилиндричес кие оболочки полубезмоментную теорию, предложенную для однослойных оболочек В. 3. Власовым [3— 5], см. также [24, 25, 26]. В этой теории принимаются следующие гипотезы.

Продольные изгибающие и крутящие моменты считаются равными нулю. Линейные деформации в поперечном направле нии и сдвиг исходной поверхности отсутствуют. Коэффициент Пуассона полагается равным нулю. Для трехслойной оболочки, кроме того, будем считать деформацию поперечного сдвига за полнителя в продольном направлении отсутствующей, дефор мацию поперечного сдвига заполнителя в плоскости параллель ного круга — равномерно распределенной по толщине.

Линейные уравнения равновесия в усилиях. Пусть, по-преж нему, х — координата вдоль образующей, 5 — координата по ду ге поперечного круга; R — радиус исходной поверхности оболоч ки, Ыц — полные удельные тангенциальные усилия; Q2— полная удельная поперечная сила; Q23— удельная поперечная сила, воспринимаемая заполнителем; Мц — полные удельные изгиба ющие и крутящие моменты; # i3-— обобщенные изгибающие и крутящие моменты; р и р2, q — внешние тангенциальные и нор мальные нагрузки. Уравнения равновесия для сформулирован

ной выше постановки в удельных				усилиях и моментах		будут
иметь вид
dNn	■ dNn		=— A ;			(5.1)
дх	1	ds

dNn	1	dNv,	1-	R	A.	(5.2)
дх	1	ds

dQ2	N n - = - q \	(5.3>
ds
	дМ22 .
		(5.4>
	ds

Q*3=	dH22	(5 .5>
	ds

Перемещения. Тангенциальные перемещения точек заполни теля в соответствии с принятыми гипотезами будут (—c ^ z ^ c )

, dw u f = u 1 — z —~ ;

(5 .6)

4 = u , + z a , + z ( - f — £ )

Тангенциальные перемещения точек первого несущего слоя равны ( c ^ z ^ .c + h i)

и, = и х ■		dw
		dx
			(5 .7 )
ч = » , + « ч + * ( - * - £ )

а второго несущего слоя	(— с—/ t^ z ^ — с) имеют вид
Uf = U1— Z dw
	xd		(5 .8)
.	,	i «2 dw \

щ = и , - с а 2+ г ( т - - )
В этих формулах аг— угол		поперечного сдвига заполнителя

в направлении, перпендикулярном к образующей цилиндричес кой оболочки.

Деформация. Обозначая составляющие								деформации, углы
поворота и кривизну через
	__dui			ди2	w	'	_	dui	, du2 .
	еи —			ds	~R	’
	dx			ds	~R	’
			ССйц		da2					(5 .9)
			ССйц		ds					(5 .9)
					ds
"ii-	d^w	> Ч.Ч	1	du2	d2w	.	__	1	du2
"ii-	dx2	> Ч.Ч	~R	~ds	~d&ds2	’ ^	~ ~ RR		~dx7	dxds
	dx2	'	~R	~ds	~d&ds2	’ ^	~ ~ RR		~dx7	dxds
найдем соответственно линейные						относительные				деформации
для первого, второго несущих слоев и заполнителя
	eU =	*U +	**li;	®22^ ^22“Ь			®22“Ь гх2*!
	*ii= % + « % ;			е2»= в *— сав + г 11;						(5 л о )
	®П =	^11 “Ь Z%11'		е22==^22“Ь ,г'а22-Ь'гх82*

Деформация поперечного сдвига заполнителя

Условие нерастяжимости поперечного сечения дает

%	= i a	+ i	= o,
**	ds	1	Л
отсюда

(5.11)

(5Л 2)

w =	22 I	* - + ± - ± )	щ .	(5.13)
ds	22 I	* 1	4

Уравнение равновесия- Уравнения (5. 1) — (5.4) сведем к од ному уравнению, исключая N\2, N22, Q2,

dWn	■2 -^22	= Р -	(5.14)
дх2

Здесь Q — дифференциальный оператор

2 = /?—	+ —	—	(5.15)
ds*	1 R	ds2

p — функция, зависящая от внешней поверхности нагрузки,

П Й2	д	d	(5.16)
Р = Я - Т 7	? + —	Р 2 - — PV	(5.16)
ds2	ds	dx

Напряжения. Согласно закону Гука при равных нулю коэф фициентах Пуассона напряжения в слоях равны

G \= Е-1 (£ц		а21 =	-^1 (^аВ "Ь г *и)«
э12=	(en~\~Z%nY>	322= ^2 ( са22 Z'4 s}'i
э13=	Дд (^И-Ь'г*и)>	э23=	(5.17)
			-^'з (^^М-!-2 *»)»

°23= 0 а2-

Удельные усилия. Введем удельные усилия и удельные мо менты слоев:

	c + f ti		—с		с
N n =	j	<tfdz\	N u — j	a^dz;	N 3n = j* e/of-z;
	C		—c —A*		—c
	c+Ai		-c	a2arf-z;	<?
2V2 2 — j			-^22= j	a2arf-z;	7VM= j <323^2;	OO
	c		—c —ht		—c	OO
						r-*
	c + A ,			—с	c	•
-4122=	c + A ,	<s^zdz\	M\i=	—с	c	Ю
-4122=	J	<s^zdz\	M\i=	j <t£zdz\ .4422= j		s£zdz\
	C		—c—ht
	c

Q23= j Oa2dz= Ohza2.

Полное тангенциальное удельное усилие
N n = N \ x + N\x + N %n = E h en + ^ c w*n .	(5.19)

Полный поперечный удельный изгибающий момент имеет вид

^22 = ^22 — -Л^22-(-•Л^22= - ^ - [(0J.~Ь" ®г) П22~Ь(®1“Ь 2^2“Ь^в) у2г]* (5- 20)

Обобщенный момент
— c N z i= -у^- [6ia2 2 (®i4“®г)*22! ’		(5.21)
где
с1з— Yi (^iЧ- ^s)	Ya (^2“Ь^з)>
0 1 = ^ 32 (Зуу -j- Зу2 -[- Уз);	02 = 3 4 (y ^ i -}- \'2^г)'	(5.22)
0 3 = 4 (YA 2+ Y24 2);':
Y* = f A	tk= hkh -\	(.5.23)

Заметим, что введенные здесь параметры 6 ь 02, 0з незначи тельно отличаются от соответствующих параметров теории по логих оболочек, для оболочек симметричной структуры они сов падают.

Функция перемещений. Уравнение равновесия (5. 5) в пере мещениях имеет вид:

д2а2	- —	(5.24)
ds^ + (0i + 0a)

Это уравнение тождественно удовлетворяется, если положить

а	01	р	U « 2	ds*J r '	R	V		р ds2 ) т	'
Здесь
				м —Jbv[4-.					(5.26)
В соответствии		с	(5. 13)	прогиб и изменение кривизны кольце
вого сечения через чр выразятся в					виде
					*2	—	)t>
					Р	—	)t>
					Р	d s * r			(5.27)
									(5.27)
	s= —			) (l — —			— W
	s		ds \	ds2 ) \		P	ds2 )	f

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.54 Mб2Установление расчетного расхода при проектировании мостовых переходов..pdf
#
12.11.20231.51 Mб0Устный перевод с листа..pdf
#
12.11.20235.48 Mб2Устный последовательный перевод ключевые аспекты теории и практики..pdf
#
19.11.202326.19 Mб1Устойчивость и колебания конических оболочек..pdf
#
12.11.202317.03 Mб11Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями..pdf
#
12.11.20237.75 Mб4Устойчивость и колебания трехслойных оболочек..pdf
#
12.11.202313.57 Mб8Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки.pdf
#
12.11.20238.23 Mб2Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел..pdf
#
12.11.202310.16 Mб3Устойчивость упругих тел при конечных деформациях..pdf
#
12.11.20233.44 Mб1Устройства генерирования и формирования радиосигналов..pdf
#
12.11.20233.24 Mб5Устройство автогрейдера и расчёт рабочего оборудования..pdf