Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Используя для заполнителя гипотезу прямых сечений, полу чаем выражение для продольных перемещений его точек

U 3=u+zty, (— c < z < c ) .

(1.12)

Материал несущих слоев предполагается абсолютно жест ким на сдвиг, поэтому углы сдвига в первом и втором несущих слоях равны нулю

дщ	, dw	= о ,
“ 1= дг	дх	= о ,

V/ N V/

м «2 =

g'18'

1 dwдх =0, ( — с —Л2 < z < — с),

нз которых с учетом ( 1 . 1 1 ), ( 1. 12) и предположения об отсут ствии относительного проскальзывания слоев следуют выраже

ния для продольных перемещений точек поперечного		сечения
стержня
\|и-\|-сф— ( z — с) dw	( c < z < c - f A !) ;
дх
u { z , X, t) = \u-\-zty	( — с < z < c ) ;	( 1. 14)
u - c * t - { z - \ - c )	( — с — h2 < z < — с).
дх

Выражения для продольных перемещений целесообразно преобразовать, вводя вместо угла поворота нормали в запол нителе о(5угол сдвига -в заполнителе а

				- Ф+		д у
теперь (см. рис. 5)				- Ф+		~дх
теперь (см. рис. 5)		,		dw
	I	,	- c a — z	dw	,	( c < z < c + A1);
	u 4		- c a — z	—	,	( c < z < c + A1);
				дх
u (z, х , i) =	,			dw'	,	( — c < z < c ) ;
u (z, х , i) =	u -\ -za— z			—	,	( — c < z < c ) ;
				дх
				dw	, ( — Aa— c < z < — c).
	u — t a — z —				, ( — Aa— c < z < — c).

(1.15)

(1.16)

Имея перемещения, получаем деформации каждого слоя. Относительная линейная деформация волокна, расположенного на расстоянии z от средней линии заполнителя, будет

	ди	.	да	d2w	( C < Z < C + A 1);
	5 7 +		с а Т _	г 8 ^	( C < Z < C + A 1);
	5 7 +		с а Т _	г 8 ^
£ (Z, X, t)	ди	.	да	d&w	( — c < z < c ) ;
£ (Z, X, t)					( — c < z < c ) ;
	ди		да	д2»1	( — Л2— с < z < — с),
	,дх		дх	дх2	( — Л2— с < z < — с),
	,дх		дх	дх2

а деформации поперечного сдвига таковы:
а1 = а2= 0, (с	z		c-\-hy,			с	Л8 z	с),	(1.18)
а8= а 8(л:, t) = a (x ,		t),	(— с - < г < с ) .						(1.18)
а8= а 8(л:, t) = a (x ,		t),	(— с - < г < с ) .
Имея деформации и пользуясь законом Гука,								найдем нор
мальные* напряжения в слоях:
для nepiBoro слоя	( c ^ z ^ c + h i )
		„	(да	,	„ д а	„ <?2® \			(1.19)
1		1			дх		дх^)		(1.19)
1		1			дх		дх^)
для заполнителя (— c ^ z ^ c )
	р	1 да		. д	а		№w \		( 1 . 20)
^	E - ( * + z *						* * ) ■		( 1 . 20)
^	E - ( * + z *						* * ) ■
для второго слоя (— с—					— с)
	с. (да			„ да			&w \		( 1 . 2 1)
2		2			дх		дх *)		( 1 . 2 1)
2		2			дх		дх *)
Значение касательного напряжения							на этом	этапе	можно
найти только для заполнителя
	r= G a , (—с ^ 2 < с ) .								( 1 . 22)
Как уже отмечалось,			касательные				напряжения в		несущих

слоях могут быть найдены при наличии нормальных напряже ний из условий равновесия малого элемента стержня.

3. СИЛЫ И МОМЕНТЫ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Из выражений для нормальных напряжений следует, что в пределах каждого слоя они в зависимости от поперечной коор динаты изменяются по линейному закону. Это обстоятельство позволяет введением послойных продольных сил Nk и изгибаю щих моментов Mk исключить из дальнейших формул коорди нату z.

Назначим линии приведения для каждого слоя. Для запол нителя естественно принять его центральную ось (2= 0). Для-, несущих слоев удобны линии сопряжения их с заполнителем! (z = ± C ).

Теперь получаем следующие продольные силы Nk и изгибаю щие моменты Mh (положительные направления сил и моментов! показаны на рис. 6).

* При вычислении нормальных напряжений для трехслойных пластин, нс' пытывающих цилиндрический изгиб, в формулах (|1.19)— (1. 21) следует £ * за' менять на Eh/( 1—v*,2) (v* — коэффициент Пуассона соответствующего слоя).

Для первого несущего слоя (c ^ z ^ c + A ])

tf+Ai

*-» J * » -* £ +** [*£-«,+«£];

c	J
c+ht
Mt = b J	<s1{ z - c ) d z = — c N 1-{-K y1t1 ~--\-
C
	+ о т Л е - . [ з , , ^ 4 , 1 + з у \| г ] :
Для заполнителя (—cs£ iz^ c)

N a= b \ o j i z = B y a JLd -,

— С

М а— Ь $ a ^ z = D Y^ 0 - i ^EL _ * Е Л . U * дх* ) ’

— С

Qs —b j* Q adz = Q hbtji.

— С

(1.23)

(1.24)

Здесь	Q3— поперечная		сила,	воспринимаемая				заполнителем-
Для второго несущего слоя (— с—A2=Slzs^— с)
N , = b	]	* . - * * £	- * »	l * £ - - f t + « £ ] i
	—с—Л*
	—с							(1.25)
УИг = А	Г	o2 ( z + t f ) d z — c N 2 — K y 2t 2						(1.25)
УИг = А	Г	o2 ( z + t f ) d z — c N 2 — K y 2t 2			ox
	J				ox
	—c—h.
	+ ^ Y A ® -1 [ a ;					•
Здесь введены обозначения
		В =Ehb\	K = — Eh4\		D--	E h 4	„0	(1.26)
			„	,	~	12	„0	(1.26)
			2			12		v	'
(D — минимальная изгибная жесткость стержня), при этом									па

раметр 0 пока не определен. Введем далее полную продольную

	3
силу	Nf, и, проводя суммирование в этом выражении,
находим	*-1
находим
	=£+* h s - ' - E l -	,1'27)

Если вместо перемещения и ввести новое обобщенное переме щение v в соответствии с равенством

v = и + ~Y h (ci2a — cls

(1.28)

то выражение для полной продольной силы примет вид

Л Г = £ — .	(1.29)
дх

Рис. 6. Внутренние усилия и моменты в поперечных се чениях стержня

Полный момент, вычисленный относительно средней линии заполнителя, равен

"=D(^ -S )+ T ^ -	с-30»
Кроме, того, в дальнейшем понадобится некоторый	новый

момент Я , не имеющий аналога в теории однородных стержней

и определяющий поперечный сдвиг в заполнителе, вследствие чего назовем его моментом сдвига

Й = М г+ о ^ - с К %.

(1.31)

Вычисляя, найдем его выражение через перемещения

В предыдущих формулах были введены обозначения

в ~ с» — 3cJa;	Y = fo s — З ^ з ) ^ - 1;		(1.33)
ft—	1 _ л> С23	3Ci2Ci3
	' ,,	q.2 ’
	с22	— ^12

где в свою очередь коэффициент с,& имеет вид


С12 ~^з (Vi	Уз)» ci3= Yi ifi ~Ь^з)		Yz(^г4~~^з)>
с22=^за(3у1 +		3уа+ уз);	(1
сгз — 3Yi^3 (4 +		^з) ~Ь Зу^з (/а -\|- 4 ) +	У^з>
Сзз=Yi W	+ 6V3+3^) + Y2 (4^+6^з+3/3а)+ Y3^2.

В заключение отметим, что из выражения для М (1.30) можно не только найти значение параметра 0 , определяющего минимальную изгибную жесткость стержня, но и положение оси изгиба. Из (1.30) следует, что последняя находится на рас стоянии

e o = Y hCls

О -35)

от средней линии заполнителя.

4. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Уравнения колебаний и одновременно граничные условия, соответствующие принятым кинематическим гипотезам, получим, используя принцип Даламбера, который для упругих систем формулируется следующим образом: суммарная виртуальная работа внешних активных сил бАе, внутренних сил упругости 6/1, и сил инерции 6/ равна нулю для всех обратимых виртуаль ных перемещений, совместных с заданными кинематическими условиями

6(Ле+ Л ,+ / )= 0 .

(1.36)

Заметим, что введение упрощающих гипотез равносильно нало жению кинематических связей, поэтому виртуальные перемеще ния должны быть согласованы с ними.

Итак, имеем трехслойный стержень длиной I, загруженный внешней поперечной нагрузкой q и внешними торцевыми усили ями нормальными b e и касательными Ьх с интенсивностями

(То, т0 при х ~	0 ;
сгг, тг прих=1	.	(1-37)

Мгновенноеравновесие стержня обеспечивается внутренни ми напряжениями в слоях

(Хь 0 2', Оз; тр, Тг;тз

(1.38)

и силами инерции.

Дадим слоям виртуальные перемещения: нормальные

6о>(—с—h.2 ^ z s^ .c+ h i)

(1.39)

и тангенциальные в форме (1.16)

8й-\|-с8а —z8 dw	( c < z < c - f hi);
дх
buz = \bu-\~zba~zb —	( — c < z < c ) ;	(1.40)
дх
Ьи — с8а — zb —	(— с — /z2 < г	< — с).
дх

В соответствии с виртуальными перемещениями виртуальные деформации в слоях будут

	8ег = 0,		(	с	Ь-%		z < c + A 1);				(1.41)
дЬи	■	дЬа	z	d*bw	.	{с < z		<	c - f Ах);
~дх	+	-----	z	------	.	{с < z		<	c - f Ах);
~дх		дх		дх*
дЬи	■	дЪа		d^bw	,	( -	с <	г	<	с);	(1.42)
дх	+	г - -----	Z ------		,	( -	с <	г	<	с);	(1.42)
дх		дх		дх*
дЬи	—	дЪа		д*Ьw
дх	—	С -------- ■Z------			. ( -		с — A8<			z <	— с);
дх		дх		дх2	. ( -		с — A8<			z <	— с);
		О,		( ^	<	2 <	с + А !);
	8 а г = 8а,			( —c < z < c ) ;							(1.43)
		0 ,		( — с — А2< 2 < — с).

Теперь получаем виртуальную работу внутренних сил

/С+Л1

дЬи

два

д28да ■

8Лг =

— b

Jd-x: j

°i ( дх

дх

дх*- р 2 +

С ---------- Z

(дЬи

дЬа

d2bw \ ,

. С

1 J а \ д х ~

дх

дх* )

— С

— С ^

—С

(дЪи ’

дВа

д28®

\ .

АА>

°2 —

— с - -------Z

--------

\ dz.

(1-44)

дх

дх2

В во д я вместо перемещения и

обобщенное перемещение

согласно равенству (1.28)

имеем

8г>-----—

с-^ а +

—— с

дВ®

(1.45)

дх

представим

виртуальную работу внутренних сил в 1виде

U‘=I[fr8x,+(fr~°*)8“+-^- bw\dx~
о
- [ ЛГ8®+ М ( у Ь	а	- + (у -1 И -		М) ySct+ У Н b w ^ '1
где								(1.46)
где
Н = Н -----±- hcu Nr— Dv Г				Y		да	d2ffil1 .
			[l — » дхdjc				d*дх2 J ’	(1.47)
	1		да			d*w	.	(1.47)
М = М ---- — hc13N = D			( у ~ —			дх2	.
	2	13	дх			дх2	Г
Работа внешних сил на виртуальных перемещениях								запи
шется так:
ЪА*= j qbwdx -	\|^р8г> + Mp^ 8 a -						- f Qpbwj	+
+ [W PST>+ MP ^ySa—			+		Qpbwj ^.			(1.48)

Здесь через Np, Мр, Qp обозначены внешние силы и момен ты, приложенные к торцам стержня,

c+fe1

c+hi

N p = b

0pdz\

Qp= b

f тpd z;

—с—hi

c—hi

(1.49)

c+h\

hclaN p,

—c—ht

при x = 0

(Tp= со; при

<тР=аг.

Виртуальная работа сил инерции равна

(обозначения приве

дены в конце раздела)

= - \ л *

{ *

[ я * - Ц

* *

( Л -

<*) f j f

- / C

* ( c i 3 - c ls) ^

j +

8Y |/е* ( с Г а - с а ) д^у

13' д*д<2

(?2ц

d3W

d3v

дР

дхдР )] +

8®

[/С * ( с '» — си ) dt2dx

()27Р1

( у * - ^ ____

4 - D *

~дР

\г

дхдР

дх2д Р ! \I

- b w

\ - K ( с и - cw) ^

- - D *

/у*

дхдР)\х-о

(1.50)

дР

Приравнивая

нулю сумму

выражений (1 .46), (1 .48),

(1.50), а

в ней приравнивая нулю множители

при вариациях

независи

мых перемещений, приходим к уравнениям колебаний

в*|Ь**5Н(с:,- Оо- (4!“г”)Я =0:

(1-5,)

дх

дР

дН

■ Q .

К * ( с п

d2v

J L U C L e .

■j=0;

дх

дР

dp | i _

дх

(1.52)

д2М .

г,*

/ *

д^у

дР

— D * — Л

да

д2а>

(1.53)

дх

дх2 Н

Л2

и к естественным краевым условиям

(при х = 0, х= 1)

N—Np = 0;

(М—Мр) = 0 ;

(тр1 Я —М) = 0 ;

(1.54)

[ дх

( < & - с18)

—

— D * 0 *

- —

Y | = 0 .

187

0*2

дР Г

дх

Если на торце имеются такие связи, что справедлива неко торая совокупность из группы четырех равенств

8т>=0; у8а — ^^- = 0; у 8 а = 0 ; 8 ® = 0 ,	(1.55)
дх

то эти же равенства должны иметь место и для истинных пере мещений, так как, задавая виртуальные перемещения, мы не нарушали внешних связей, наложенных на стержень. Поэтому указанная совокупность из группы равенств

и = 0; у а — — = 0; у а = 0 ; w = 0	(1.56)
дх

заменяет соответствующее граничное условие из группы (1.54), и в любом случае имеем четыре граничных условия на каждом из торцов стержня. Граничные условия, соответствующие (1.56), называются кинематическими краевыми условиями.

Ниже приводятся выражения параметров, введенных при вычислении виртуальной работы сил инерции,

B * = Qhb; K * =			—	Qh*b;	=
			2		12
б* = <?зз— бсцСи +				Зсхв;	(1.57)

Y* = ( 4 з ~ З с ^ м - З ^ з Н - Зе12гм) 0 - 1:
&* = 1 ■		С23 — 3c*2Ci3— 3ci2% -н Зс12с 13
			ь22— 6CI2CJ2+ Зс12

^ 2= M Y: -	Y2* ) ;	^ 3 = = Y i(^ + g -Y 3 (^ + ^ );
f f f l = V ( 3 v ; + 3 Y ; +		Y 3*);	< $ 3 = 3 Y f t ( * x + * ,) +
	+ 3Y2% ( 4 + ^ ) + Y3V ;
^ = У* W	+ 6?A + Э Д + Y* (442 +				+ »,*) + Y&2-

Как видим, параметры c*k вычисляются по тем же формулам,

что и cik (1.34) с той разницей, что в последних у* следует за менить у*

5.РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СТАТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ

Для статического загружения стержня	уравнения движения
( 1. 51) — ( 1. 53), полученные в предыдущей	главе, теряют	дина
мические члены и превращаются в уравнения равновесия

Эти уравнения не представляют собой полной системы, по скольку содержат четыре неизвестных функции N, Н, М, Qз. Однако эти функции не независимы, так как они выражены посредством соотношений (1 .24), (1.29) и (1.47) через три функции перемещений о, a, до. Для замыкания системы нужно либо присоединить к ней уравнение совместности моментов Н

иМ, либо записать ее в перемещениях.

Вданной задаче последний путь предпочтительнее >в силу простоты соотношений, а главным образом, из-за краевых усло

вий, которые в большинстве случаев удобно формулировать от носительно перемещений.

Переходя в уравнениях равновесия к перемещениям, имеем

(1.62)

DyZ [v£ г	(:1- Ь)2г] ■[]1- Ь}ш			°уа='	(1•63)
a	[v — -	—	1 + ? = 0 .		(1.64)
	L dx3.	dxi	,
Таким образом, система уравнений равновесия					распалась
на две независимые системы,		на уравнение		относительно v и
систему уравнений относительно функций ау и до.					Последние
уравнения удобно свести к одному			разрешающему		уравнению,

вводя нужное число раз дифференцируемую функцию переме щений %{х)

			jft_
			dx2			(1.65)
а у =	,«	—	&ч A2		dSy	(1.65)
	,«		&ч A2		dSy
	—(1		;	----------
	V		;	В	dx*
и подбирая параметр р так, чтобы уравнение						(1.63) тождест
венно удовлетворялось
	^ ■ 120*3(1 — »)					(1 . 66)
	V		Еу2			к	'
Вводя (1.65) в (1 .64),	приходим				к уравнению относительно
функции перемещений %(х)
п Л	Ш		eft	\ d*x

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.54 Mб2Установление расчетного расхода при проектировании мостовых переходов..pdf
#
12.11.20231.51 Mб0Устный перевод с листа..pdf
#
12.11.20235.48 Mб2Устный последовательный перевод ключевые аспекты теории и практики..pdf
#
19.11.202326.19 Mб1Устойчивость и колебания конических оболочек..pdf
#
12.11.202317.03 Mб11Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями..pdf
#
12.11.20237.75 Mб4Устойчивость и колебания трехслойных оболочек..pdf
#
12.11.202313.57 Mб8Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки.pdf
#
12.11.20238.23 Mб2Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел..pdf
#
12.11.202310.16 Mб3Устойчивость упругих тел при конечных деформациях..pdf
#
12.11.20233.44 Mб1Устройства генерирования и формирования радиосигналов..pdf
#
12.11.20233.24 Mб5Устройство автогрейдера и расчёт рабочего оборудования..pdf