книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

Теперь

равенство

(6. 50)

может быть записано

в виде

J

J

-

(> V »),i4 - л 2,1^ ] s « i+

£« ч

+

[^ а + Л Л ^ 2— (^2?®)),2+Л,29®] 8«2+

[^3— ч{А хАг— А^11х—

— Агигл — ЛЬ2и2— Л

^ — £u® — £22®>)].8® - f Z48ax+

-\-L$xi^dx.l d x z-\-bB— J I xd x x — | I 2d x 2=

0.

(6.63)

£i

4i

Учитывая произвольность и независимость вариаций переме­

щений и\, б, а,, бда, приходим к уравнениям равновесия

1 1Н-л 1Л 2 Р 2 - ( ^ ® ) .1 + Л )19 ® = °;

Z 2 +

Л хл 2 — ( Л 1^да),2+ Л ^ д а = 0;

Lz— Л1Л2</-[- А^г1лд -f- A12u2q -j- Axu2]2q -f- Л21м^ -[*

(6.64)

-f- qkuw -j- qk22w =

0,

)

из

которых линеаризацией

получаем уравнения

устойчивости

~

( Л * 0® ) , 1+ A 2ilq w =

0;

1 2-

(Л^да)^ + Л ^ ® =

0;

ю

2 3+ Ajflltlq+

A12u2q -f- Л1и2,2? + A2xuxq - f qknw - f qk^ so^ 0;

<£>

Уравнения устойчивости согласно (6.65)

будут

dNn

г dNl2

■N\2

d s2

2 7 V ? 2 -^ -

dw

n.

(7 .2 )

. dx

ds

d x ds

dl\>2

I dN\2

1 (Ш22 -4-

2

dMi2 f A '? ," " '-

ds

dx

R

ds

/?

d x

0J»r2

— 2V22

— -----■—

1— 0 ----h2 ,Vi2 j

d2u2

+

_1_

( 7 .3 )

/?

[R2

R

ds ) 4

ds

1

l ал:as

a2Afn

0 cftMi2

I a2Af22

N 22

Л7-Э d2Ю I

0 [d2 0

1

d a 2 \ ,

дг» .

ал:2

dx ds

ds2

R

Л и —— +

^22

■ ,

T ^ r ) +

ад:2

v 5s2

+ 2iV?2 (

d2 'V

- Щ

+

Ч

du1

da2

= 0;

1(7.4)

Vdxds

R

dx Г

dxi

ds

dHn

,

dHl2

(7 .5)

ал:

as

Э//12.

dH22

,

2c

dAf12

а м

__22_

= Q .

(7.6)

ax

ds

R

dx

Пусть до потери устойчивости оболочка находится под дей-.

ствием

осевых

сжимающих

усилий №, внешнего

поперечного

чая загружения

в уравнениях (7.2) — (7.6)

следует положить

№п -

■№и

х/0 М«У

W = - q R ,

iV12 —-------------N l 2-

+

2 ^ ?2 ( ^ -

+ ^

4 ^

W

° ;

(7.8)

R

дх J

d2Mj-\

.

2

д2М\2 I

d2Af22

__ N 2 2 ___дг°

I

дх2

'

Z

dxds

ds2

R

1

дх2

'

1

dui

+ 2 N u t e *

R dx b ° ;

дНц

\dH12

_^ 3 .

>

(7.9)

-г----- — -

— VI

ал:

ds

dHl2

,

ая 22

. 2c

д Щ

c

dMm

( 7 .10)

dx

ds

/?

■dx

R

— - = Q 2*.

ds

2

Тангенциальные удельные усилия и удельные моменты че­

рез перемещения выражаются следующим образом:

ЛЛ1 = - ^ _

Eh2

~

ds

'

R ,

2(1 — v2) X

1 — \2\ дх

x[4 ^ + ^ ) -4 S+

v

йа\

, vcс i4 da2

ds2

R

ds J

1

Я ds

iV22= - ^ / v ^ i - b ^ + —

Eh2

2 (1 — V2) X

1 — V2 [ dx ' d s ' R

x N ? + ^ ) - 4 S + v - l ! ) +

CC14

da2 "I .

/?

I T

J

’

£A

■jv

/ d«i | du2\

Eh2

N »= '

2

'

d * /

1 2 (1 — v2),'x

1 — v2

у

Г

ci2P — v)

(da2

|

gaA

/1

v l f — ___L

^ 2)

i

X

l

2

U

+

^

)

Cls{l

V )[dxds

R

t e ) +

,

(1 — v )cc!4

da2]

dx ■]'

E tfl

C i« U —

V)

/ ди х

■

ди2 \

Eh,

м 12:

2 ( 1 — V2)

2

{ ds

"Г

d x )

1 12(1 — v2) X

А

d2w

1

d «2

dx ds

R

dx !)+

*—i

CC44

d&2

■ »

Qi*=GA*8a1;

Q2s — O htsa 2.

Подставляя значения N^, M{j, Нц, Мц~ в уравнения

(7.7) —

(7 .10),

найдем уравнения устойчивости

в перемещениях

• V

^ 2ai

I

1 — y^2« i\ 1

h

(

1 + v

1 ссц\

d2a 2

X \ d *2 +

2

ds2]^"

2

Г й

2

Л

)

d x d s

A£iL _ L V2W I J L Ё® J _2WJ2

U’

2

d x

/? d x

d x ds

\ R dx

d s ? )

1 +

v

1 Ci3A \

d2« i

1

/

1 1

«13* . с 3зА2 \

д2а 2

I

(7.15)

2

^

2/? J

fa d s'1' i

Г

/?

^

Z

?2 I

j x2 +

1 — V /'1

i

« 1 3 *

1 A W

^ a g .

_ A

/l + v ,~

,

c23h\

d2a ,

l

+

5

+

3 ^ j a x 2 +

2

l

2

12+"б/Г)

j

r f

I

A

/

, AC 23

1 ««14

,

ACC34\

d2<*2 I

A

1 —

v

4 ,

+ T T 12 + ^ + ' F + H ' J * T + T — X

\ S

l Л

I

*«23

1

2CC14

I

2hccM \ i

2a2

I

/ 1

, C,SA\

1

д„,

Л г 12+ 1 л

3 ^ i ^ 2 + 1 + Ш

Т ^ -

— 2-^v

+ ( 2 - V) - ^ 2L .1 _

_ J V

r ^

+

M

^ +

2M 2 №

- +

- i

— ^ = 0;

f7

lfi,

d x 2

R 2

\ d sd x

'

R

dx

J

!*• * 6 )

v dui

* £ i 3

5

„ 2„

,

/ ,

,

^ « 1з\

1

d a2

Ac13!

d . . .

R dx

2

d x v “ ‘ + l + 2 » J T ~ T ' 5 r v “> -

ГА2Сзз

Г d3g2

j

/р

л

^3«2

1

*Ci2v

da!

А2Сгз

d

12/?

[ dss

1d s d x 2 J

2/?

dx

12

d T

v 4 +

d a 2

А2С2з

d

Vj.'c u -

12J

d s

—

А2с с з 4 fd 3 g 2

i

/ о

. л d 3q2 _ '|_|

w

* с , з

/d2a>

, .

d2®

\ .

1 2 / ? [ d s 3 + ( 2

V d s d x 2J * Z?2 " y f e + V - ^ ) +

+ ^ r - v , v * w + w 1*

2?» _

2t f *

( J ^ L ___L

i

.

^

d-t2

\d.*ds

R

дл: )+

т* /<?2да

JL _ L J _

^ Л = 0-

(7 .17>

+ ^

( —

+

Us® ^ *я + Л

d* J

’

/tCi2 ^ ^2«1

| 1 — у

д 2щ ^

(

А

1 + v

|

С2з * \

<?2а 2

2

I

<?*2 ^

2

as2 / +

2

1 " ‘

2

'

бл /

<?*<э«

, А®£22 /

. l ^ J V ^ O i X

_

/

1 +1 +V V,

CC2 i

1 а2а2д а2 ,

#

J a^

I СС241

+

12 i д*2 '

2 «2j + dА2

v2i

2

^

vhc\2 dw

G (1 — v2)^3 a.i>

(7.18)

2R дх

12

алг

v

h_ /1 + V

| д 2 -°1

1

CC14

1

«23*

1

«34«A\

d2« 2

2

\

2

' dxds + т ( ‘12

+

R

'

6R

*

№ j

ds2 +

+ —

l ~ v fc19-1

2 ccu

1

«2з *

1

2 C34CA )| d2u2 .

'

2

2

Г 12

R 1 3R 1 Ш

)' dX2 '

+

-

ОИ

««24

\

<?2(X, .

2«24«

1

«44«2 \ d2a2

12

R

)

dxds

R

№ )

ds2 +

~

+

А2

l ~ V(c

1 4-СС24

!

4C2C44 \

d2a2

,

h

( r

1 ««14 \

1

dw>

^

12

2

1^22

1

R

1

R2

1

dX2 +

2

l

12

я

/

R

ds

А2

/ СС34 \

I d3w .

,g

s

д3ю

A®.

.— nUi —2IG ( 1

v2) ^3 ,

12 \ Д }

\ 'ds3

' dsdx2

12

as

(7.19)

тупим точно так же, как мы поступали

при

преобразовании

системы уравнений устойчивости пологих

оболочек,

а именно:

введем новые тангенциальные перемещения «Л

«2°,

соответст­

вующие некоторой новой

поверхности

приведения такой,

чта

тангенциальные удельные усилия N a

выражаются только через

компоненты деформации

е°* (6.29). Нуль у ец*

означает,

что

компоненты деформации

и в линейной и нелинейной частях

м, =

п

А

,

h

dw

(7. 20)

И,0------- c12c t , ------- с1Я —

1

1

2

12

1

1

2

13 а*

« 2 - « 2 0

2

( Cl2 +

CCR

)

“ 2 +

Т

См

Т

Й2) •

Подставляя

эти

выражения

в формулы

для

компонентов

линейной деформации, получим

р*

— рО*__ ч_с

а

hcCu I»

п

с 1з х г/>

(7.21)

e ij— e ij

2

12 и

2 R

' ч /

Г "

i }

--------2~

° 13,'г/’

1 — v2 \ ал:

as ^

/? J ’

E h

( д и $

,

те/ .

аи.О

ч

(7.22)

л ' - = Г 3 7 Ц 1 7 + ^ + ' ’ S T ) -

N 1 2 -

E h

ди iQ

.

ди20 \

2 ( 1 + v ) \ ds

dx j ’

а удельные моменты запишутся в форме

- « и —

2

Cl3^ u "

—

v2)

[

2 (а л :

ds )

_

<а2а/ I

Л

vc

ааг]

3

\ дл:2 ^

ds?

R

ds j

R

*5 ds J ’

, d ^ w _ , m w _ _____1 du2 ° \

I

c i)5

aa2]

} (7.23)

- Л з

(v! ал:2 'r

aS2 R

ds

V

R

ds j

;

■M12—

Ci3N 12

Eh?

■n

1 ~ V (

da2 ^

12 (1 -

V2)

*

2 Iv+eiT

■Чз (

!

d2w

i

au2o ’

cyjs (1 — v)

aa2

- v ) (

R

dx

,

dx V

\dxds

R

Л1— ^22

3Cj2»

Л2-- ^23

Лз— C33

3c*3;

Л4=

C24

C12C14>

( 7 .2 6 )

Л 5—

З с 13с 1 4 ;

Л в —

^44

3 c i 4 .

М.

CJN,.

£Аз

Г„ (

3at

. (Заг\

22-

13.J v 22 "

12(1 — v2)

I 1

dx

ds j

‘Л3 ( ’

32®

. З 2® \ .

к)з

За2

ст)5

da2 1

Злг2

3s2 )

R

ds

R

ds

J

^ 22— — C^N 22"

E h 3

dcti

1 da2

12(1 ■ ■v2)

H vd*

ds

d2w , d2w

da2°

A

Claris

da2

А

ТЦЗД12

йог_

~dx2 ~^~ds2 )+*

ds

Я*

2

Я

ds

J L

W 14C da2

A

Ci3%

d^w .

eng

da21

(7.27)

2

Я2 ds

Я

ds 2 ' ~ R

ds J

И22= — с13ЛГ2И ------ — ------ К

дх

+

22

2

13

22-г

12(1_ V2) [ 12 [

^ ds )

/

&W |dPw \

■

ТГ|3

<?д2° о

А1)зС12

da2 ^

3 (

dx2

'

ds2

R

ds

2R

ds

h e w n

^a2

g j ____A

c13^)3

d2a>

g , CT)Sda21

2/?2

ds

‘

2

Я ds2

Я

ds J

'

(7. 28)

2 = 1 ___* 2И._|_(_*£«Л2_

‘

= ___ l___ ~ l

(7.29)

2R ‘ \ 2 R j

Ac13.

ч .» £ V » Ч .»

; 1 » ^ ;

ч * » V. . 4, ' .

(ч, ' ^1,ч ^,)'

получим

v

m“ИЛ [■N,fie"+{м,<~т

f

+ \Нц Y с12N tj} Щ ] + yM7j — J - cu N

сЬгЧ}-\-

+ 2 Qi®8a/"j A1A J * l d x z.

(7.30)

Н ч + - ^ М Т ^ И и .

(7.32)

Действительно,

V > > 2- | V

3;

(7.33)

так как

4 i> V « 5

^

> ^

3;

Tix>

v 32.

(7.34)

Поэтому пятое уравнение можно принять в виде

д//ц

| дН22

г\ я

(7.35)

дх

^ ~ д Г ~ Ц й -

Преобразованные

уравнения

устойчивости в

перемещениях

имеют вид (нуль над щ опускаем)

. 1 — у

д2иг

1

+

у д2а2

v

dw

n ~ ~

дх2 ' 2

ds2

2

dxds

~R

- 2 N

дх

dxds

да.

C7.36)

- N 2 *

( ds2