книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

1 +

v

d2uj i

d2u2 | 1 — v

d2u2

1

dw

d x d s

d s2

dx^

~R

~ds +

~ 12#

v ds2

^ V

' d *2 d x d s /

td3w +

(2 _ v ) - ^

- ]

3

Vdss

1dx^ds

-

N t *

* * + 2 N

\ J ^ - -

1 dw

) +

^ -A ^ 2* =

0;

(7.37)

—

1

d*2 1

Vd*ds

d* /

1

tf2

2

k

i i r , 3v v ® + ~ - r ) 2 ^ - ^ - v 4 - ^ ^ - f v ^ + 4 - ■ ?■ +

12

#2

12 dx

12

ds

R dx

N i 0 ( l

— v 2)

N 2о (1 — v2)

< ( l - v 2)

N i

E h

TV12 =

E h

E h

(7.41)

Уравнения

(7.39) — (7.40)

тождественно

удовлетворяются,

если положить

®

= (

!

-

у V 2) x ;

«2=

(л

А2

i

1 — -у

A2

v2 Н ;

1

-------' V2H

2

P

1

Р

/ V

(7.42)

d

J

*2i)2 Ax<Ji;

a x-

h2r>2

liP

djc V2X-

11P^

а , -

-

иР

d )>к

I

A2i)2 Л2ф.

ds

llP#

Р =

£т]1

d2

<92

V *= дх?

ds%.

<92

(7. 43)

i

2

р

U ^2

<Э*2Л

<9jf<9.S

1 -

1 — v

A2

P

У

d * 2 [.

2

p

( d * 2

<9s2

Подставляя в уравнения равновесия

(7.36) — (7.38)

функции

X и ф имеем

( J L

+

l z i l

J L

+ 2N *

____■NN* *- ^ - «х +

Vdx^

'

2

d s ^ ^ ^ d x d s

2

ds2j

, l+ v

d2

1- f + + i + r + ) £ ( 1- f v+ =0;

2

dxds

1 4- v

d2uj

d2

1 — v

d2

d2

(7.44)

dxds

(5s2

dx2

-27/

12 d jfd s

■ л у

dx^

(1- f v’)

+ i (^+2JV^T )(1- f 7!)

A2

ds i1

»A2

d2

d2 \

(7.45)

12#

^ + ( 2 - v ) f - W = 0 ;

d s 2

dx*)

»A2

— 2ЛГ,12

»A2 ’■ )[S+‘2- ^ b +

i £ ( l-?*■ )♦ ■ +

+2" :+ £ ( 1- + > + т 1г+"У 1У 0-

«■">

Здесь

в = т 1з= 0 1 + 202-|-08; TijzrrSj; 112=

01+ 02;

^

чпз—

_ М з — 022 .

Т13ТЦ

BjH

(7.47)

9i =

А2 [1 +

2 (Yi + Y»)— 3 (Yi -

Y2)2];

02= 3/sY3(Yj/X+

y2t2) + 6YXY2^S (A+ A)*

0 s = 4 (Y + 2 +

Y2A2) -

3 (3 Y + -

Y2A)2

H

' - ' + f y

x = f y V —

щ

д2 ■ 1 — V 02 \ ■ т * ( 1

|

к L

1 — v а*2 [, 0*2 '

2 d s2'/.

'

1 — v

V, Я?

дх2 '

1 —у

дР

д4

1 — у

04

vz—

2R2

ds2

ds4

2

0* 20S2) +

™

* т = г V,

dxdsт

2N,■*2

02

, 2N I*N2*

д4

8^12

04

/г2 (1 — у)

ds2 '

1 — V

dx2ds2 1

1 — v

<?Jt2&2

4N2*N12

02

1

1

02 \

4Лг1*Лг*2

1 — V

dxds

( R2

ds2)

1 —V

=

2 хза;

- 03

(7.48)

03

— —

53 4 -2 / V j,

1

2ЛГ,*

v

03

dxds2

R

d x * '

12

/?

[

2N2*

1

0 .

(

v_

I

r)2

. 1—V

02

1 — V

R dx

[R 2

1

0s2

'

2

dx2

R

2NJ*N2*

дз

— — - 1 Л - — V8) 2X I-

/?(! — v) 0*3

^3(i

P

У

1

4 1 - v ) 0* J V

4N2*N*2

08 ]/

ft2 ^ , / 2 02 ,

02 ,

4/v;

02

( 1 — v)/?

dxds2

dx 2

0$2

1 — v

dxds

D

( l _ T v 3) { [ v W v , + X S ( £ + ( 2 _ v ) S ) ( S +

1

EhR2

ds2 V

p

) \ds2 1

2(1 + v )2

£(■ - T *аГ*+

+

JVx' - [ v

V — - — -

dx2

0

- ? * ■ ) '

Xi +

1

1 dx> L

R2

ds2

R2

4 - N "

i — V2+ — V 4

2

1 0 2

, 1

) Vs6/1

tl2 r,2X2

— —

—

—

P

)’b +

'

2

U«2

' R 2

'

1 — v Я2

dx2 'R*

1

1

-}-2iV?2— — ( V2V2 -|— —

—

~

R2

— V l — — V2) 2XI = 0 .

~

i2dxds [

~ l — vR2

дхУ\

P

/

D (1 -

—

V2) [ v2V2V2V2 + —

— (— ■+ ( 2 — V)— ) (—

+

I,

Р

/|/

~ R 2

ds2 \ds2 ~

K

'd x 2)\ d s2

'

+ (2 + v

) ^ ' ) U

+

- ^ - f l - - V

2)x 1 + ^

[ v

2V2—

d s 2

' '

d

x y i ^

- ^

R

?

0 *4

p

1 d*2|.

R ?

_

2 L + I SL] (1 _ J t

vi] ъ

+

'N f ( —

V2+ — V2+

R ?

0*2j\,

p

V J * l ~ r

2

^ j2 v

V T

+ г Ь 5- S + i K

(■- f ' “К

2"?’ S T ^ + i ^ X

х

^ ' ‘ +

ж

£ ) (

1 -

у

^

=

° -

(7-52)

V2X i> ^ rX i-

(7.53)

D I 1 - ?

+ ) ™ * ь + 1 £ U

l ~ f ’ • ) * + ( " * • £ +

+ * * ! . £ + * • ■ & ) l ‘ - f V * ) W x , = 0 .

(7 .5 4 )

дЧ\

(7.56)

ds2

’

вследствие

чего

V2Xi

ds2* 1'

(7.57)

Поэтому имеем уравнение

D ( 1

р

\ —

' R2 J

fa 4 -—

—

(l — —

— ')у1 4-

V

ds2J d s 6\ds2

R

2

дх4\

Р

dsy

В Д

' д 2

1 \ ,

„»гл

/

д 2 .

,

1

+

-

— ---- —) +

2А70

/------

1 \Ддг2

R2 J

12 l dxds

R2 ) +

d2

£(£+£)•

( 7 - 5 9 )

Л71° = Л7; A V = 0 ; JV°2= 0 .

(7. 61)

.

j /Я2

Я 2 \

1

+ и I -----+ —

N -

£>Я2

Т

I X2

^ Я 2 )

«2

/ rrfl

я2 \

1

+ k

V X2

+ ~л?)

(m2

я2 \ 4

2я2Г /л2

2 да2\2

v2m4

X

1 x2 + ^

j

~ ~ ^ Г [1'^ '+ ~хГ/ —

Х4

л»2 Г/|В2

Л2 \2

я2

2 (1 + v) ж2

"Х2 |ДХ2 + 'rfi)

+ 1 й +

Х2Я 2

т 2

HU

(7.64)

/ т2

я2 N

2+ я2 2 (1 +

у) я»2

1"Х2 _ + '^'/

Я<

Х2я 2

Я 2 /

12Х?2(1 — у2)

p/?2 I

Х= Т

;

Я4А20

В том случае, когда оболочка теряет устойчивость с образова­

нием длинных продольных волн,

<

1 ;

л * » 1 -

(7.65)

Тогда уравнение (7. 64) можно представить в виде

А2

m2

ОЯ2

1 + »*V

(я2 —- 2) я2

^ — Я4

N =

(7.66)

R2

л2 m2

+

Л2(л2+ 1)

I

2” Я4(я2 + 1)

]

г№

да2я4 ’

найдем

(7.67)

при п = 2 значение N будет

N кр

2 / 2

(7.68)

5

Эта формула дает несколько

меньшее значение критического

£ й 2 - | Г

66 ( я 2 + 4 » 6 )

(7.69)

N Kр

(1 — v2) ( я 2 4&)

15/? V

Для случая, когда оболочка теряет устойчивость с образовани­

ем коротких продольных волн

— »

1.

X

Из общего выражения (7.64) получим

/ д а 2

я 2 N / д а 2

я 2 \ :

N _ Ря*

1 + К

~ ^

+ Я2 ) (~Х2_ + Я2 )

1

/ д а 2

я 2 \

да2

" ч

+ k

X2

I*

да2

X2

(7.70)

/

да2

я 2 \2

=

— р£),

ПРИ

V®’

(7 .71)

J V = ^ ^ 2[X / » + - L ) ,

при

(7 .72)

Проводя сравнение формул

(7.71) — (7.72)

с формулой

(7,68),.

_Ол2

1 +#£

Я

X

1 + k

2л2

X

/я2 1 \ / л2

1 \

2

Я4 X

\ я2 ~ я2/ \ я2 + X2 / я2(1 —- v) А2

X

л2

1 \ / л 2

1 \2 __ /

2

+

(

л2Д л 2 +

X2 /

\(1 — v)X^ 2

Я2

Х4

\ (— + —

(1 — V) Х2Я2

А Я*

Л?/\Я? X2

Здесь

2

12/?2(1 — у2)

k =

Х = -

Я"*А20

/rfl

1 \

, п2 1

Оя2

+ М (я 2 + Х2 )

1 я2 + Х2

Г

V

R*

/П 2

1 N

Я2

-

1 + 4

r f + W

rf"

X

1

(7.77)

Я2 / «2

1 \

я 2 \ я3

X2

у

Д ля

весьма длинной цилиндрической оболочки (Я > 1 )

из выра­

жения (7. 77) после пренебрежения малыми членами найдем

№ .

D

•2 я 2

(7.78)

а = —

Я2— 1

, + * "

!

Полагая л = 2 , получим

8D

1 + 4ȣ

<7кР =

(7.79)

3R3

'

-4-

1 +

4*

Традиционное точное решение дало бы в этом случае выраже­

ние

(см. 7. 78)

_

—oJL

1+4М

™р

а дз

1+4*

A V = - ^ - ; N z° = g R ; № п = 0,

(7. 80)

поэтому уравнение устойчивости примем в виде

C ( l _ i £ v ! ) [ v , v w + I ^

e + ( 2 _ V ) 5 ) X

X ( ^ + v ) £ ) ] x , + f - £ ( . - f v . ) b +

+ ' " ?( й + 5 г + т £

)

i

1 - f v‘) b “ °-

(7- 81)

Отыскивая решение в форме

яде

.

я$

{7.82)

X=XoSin — sin —

Я

Dn2

7р"

_1_

X2

2 п2

Я4

(7.83)

в которой

12/gg (1 — у2)

,

Ь2Я2

I

(7.84)

R

Я4Д20

’

_ piR2

ким всесторонним давлением.

формула (7.83) перехо­

Для случая пологой оболочки (и2> 4 )

дит в формулу (3.44)

/Л2

1 \

/' л2

1 \!

Я

Рп2

1+ели

ч" й )

Л2

1

Rз

1 + £ ( л2

1 1

"л2"

2X2

( Я 2

+ X2 J

(7.85)