книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

для вариации потенциальной энергии, получим следующее вы­ ражение:

+[2 мч.ц~Ъ^(*v+*y)+2

Отсюда следует, во-первых, законность отбрасывания потенци­ ала Y при вводе выражений (2.64) и выводе уравнения (2.72), так как и Мц не содержат Ыц\ во-вторых, что естественные граничные условия должны формулироваться относительно мо­ ментов H {j и Mij, причем контурные и внешние нагрузки долж­ ны быть приведены к поверхности, расположенной на расстоя­ нии '/г hc\z от срединной поверхности заполнителя. Действитель­ но, вычислим относительно этой поверхности, например, момент

М\\ (штрих поставлен для отличия от момента М ц), имеем

Итак, если за поверхность приведения принять поверхность, расположенную на расстоянии xhhc\z от срединной поверхнос­ ти заполнителя, то нелинейные уравнения равновесия будут иметь вид

- f (1 _ v) v2*®'= E h (6ииу,22— 2kuw,п +

^ (1 - - у - v2) VV z + { Е ж + ЧГ) (V - ®.и)-

- 2 Я , „ (А ц - в .и Ж Л и + ’Г) (*■ -«.«)=А' + ЧГ.1®.1 + ЧГ.1« >,; (2.78)

61

Тангенциальные удельные усилия через функцию F опреде­ ляются по формулам

+ D ( l - v ) ( l - & ) d2<p

дхгдх2

Обобщенные изгибающие и крутящий моменты, соответству­ ющие параметрам а», записываются в форме

Теперь сформулируем несколько случаев граничных условий. Прежде всего отметим, что граничные условия относительно тангенциальных перемещений и тангенциальных усилий форму­ лируются точно так же, как и для однородных оболочек. Так,

62

а) диафрагма, препятствующая относительному сдвигу несу­ щих слоев вдоль края, отсутствует (ay=Afn = # n = # i2= 0)

б) имеется диафрагма бесконечной жесткости, препятствую­ щая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края ободоч­

б) имеется диафрагма бесконечной жесткости, препятствую­ щая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края оболочки

(w = w,i= a i = a e = 0 ),

(2.90)

63

Таким образом, для рассматриваемых случаев опирания на крае существуют по 4 граничных условия относительно функций X и ф и два граничных условия для функции F, что соответству­ ет двенадцатому порядку уравнений (2.77) — (2.79).

Заметим, что уравнение (2. 79) имеет решение типа краево­ го эффекта, т. е. решение, быстро затухающее при удалении от края. Очевидно различие решений, соответствующих краевым условиям а) и б), не должно быть существенным при определе­ нии таких интегральных характеристик оболочки, как крити­ ческая сила и частота колебаний. Это позволяет во всех случаях приближенно положить tp=0 и таким образом снизить порядок уравнений на два. Не имея возможности останавливаться на этом подробно, отметим лишь, что расчеты подтверждают это предположение. Значительно сложнее обстоит дело с третьим типом граничных условий. Для совершенно свободного от свя­ зей края, по-видимому, можно считать ф=0 и игнорировать пос­ леднее граничное условие, но при наличии диафрагм, связыва­ ющих несущие слои в продольном, а особенно поперечном на­ правлении, следует использовать полную систему уравнений. Во всяком случае этот вопрос нуждается в детальном исследовании.

Взаключение распорядимся постоянной, которая появилась

впроцессе интегрирования функции f'{z ). Очевидно, что одной из пяти величин %, п , -тз, /+, f_ можно придать совершенно про­ извольное значение, тогда остальные будут однозначно опреде­ лены. В дальнейшем примем Я=0.

6. ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Когда нагрузка, действующая на оболочку, достигает неко­ торой определенной величины, первоначальная форма равнове­ сия перестает быть единственно возможной. Математически это означает, что уравнения равновесия в этом случае могут иметь не единственное решение. Соответствующая нагрузка называет­ ся критической, она может быть определена из линеаризирован­ ных уравнений устойчивости, поскольку волнообразование про­ исходит при малом отклонении от первоначальной формы рав­ новесия. Критические нагрузки, найденные из линеаризирован­ ных уравнений устойчивости, называются верхними критически­ ми нагрузками. Итак, линеаризируем уравнения (2 .7 7 )— (2 .7 8 ).

Пусть первоначальная форма равновесия характеризуется перемещениями

удельными усилиями и удельными моментами

64

Поскольку все эти компоненты выражены через функции х. Ф, найдем,что функциями

учитывая, что функции (2. 93) являются решением этих уравне­

Эти уравнения пригодны для исследования потери устойчи­ вости при малых перемещениях пологих трехслойных оболочек и непологих трехслойных оболочек в том случае, когда потеря устойчивости происходит с образованием, по крайней мере в од­ ном направлении, большего числа волн.

65

Относительно граничных условий заметим, что, поскольку они формулируются относительно х, Ф и F с помощью линейных выражений, их вид не изменится.

В дальнейшем будет рассмотрена потеря устойчивости сво­ бодно-опертых цилиндрических и конических оболочек. Поэто­ му, на основании замечания, сделанного в конце предыдущего параграфа, полагаем ср=0.

7. ДВА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ ПО ТОЛЩИНЕ ЗАПОЛНИТЕЛЯ

До сих пор функция }'(z) считалась совершенно произволь­ ной, но для практического использования полученных уравне­ ний необходимо придать ей конкретный вид.

Здесь мы сравним два вида распределения поперечных сдви­ гов по толщине заполнителя, определяемых функциями

Первый закон распределения вытекает из уравнений равно­ весия сплошного тела с легким заполнителем (уз = 0). Действи тельно, из условия уз= 0 следует, что нормальные и касательные напряжения ef,, о*2, з\2 равны нулю, поэтому, решая уравнения

равновесия, получим

дг ’ дг

т. е. касательные напряжения и, следовательно, деформации по­ перечного сдвига распределения равномерно по толщине запол­ нителя. По существу этот закон использовался в подавляющем большинстве работ, посвященных трехслойным пластинам и обо­ лочкам. Ему соответствует кинематическая гипотеза, которая формулируется следующим образом. Нормаль к исходной по­ верхности в заполнителе в процессе деформации оболочки по­ ворачивается, не искривляясь, не деформируясь в поперечном направлении, но и не оставаясь перпендикулярной к деформи­ рованной исходной поверхности [10, 11]. Отсюда следует, что щ являются углами поворота нормали в заполнителе, дополни­ тельными к углам поворота нормали в несущих слоях, т. е. угла­ ми сдвига несущих слоев относительно друг друга.

Обобщенные моменты Нц оказываются просто частью пол­ ных моментов Мц, которая при деформации совершает работу и на углах а*.

Из формулы (2.6) — (2.9)

f(z)=Z\ То=Т1 =Т2=Тз=/+= ^-=1,

66

является цилиндрической жесткостью составной оболочки отно

В случае легкого заполнителя О представляет собой Отношение суммы собственных цилиндрических жесткостей несущих слоев к цилиндрической жесткости всего сечения, вычисленной отно­ сительно поверхности приведения. Для жесткого заполнителя О

6 7

претерпевает незначительные изменения за счет собственной жесткости заполнителя на изгиб, однако пределы изменения О

щих ■О, коэффициент 1—у определяет ту долю общего момента Mij, которая воспринимается несущими слоями за счет их жест­ кости на изгиб.

Второй закон распределения фигурирует в уточненной тео­ рии однородных пластин (у з= 1), согласно которой (16] сдвига­ ющие напряжения и деформации поперечного сдвига оказыва­ ются распределенными по закону квадратной параболы.

(2. 112)

4, = - f - ( 9 ,+ e + -l-T A * ):

Tls= ®1 Н"2@2Н~ ®8"

Из этих формул следует, что туз, как и в первом случае, рав­ но 0 . Это вытекает из физического смысла коэффициента

ЕИ?

D — 12 (1 — V2) в ,

не зависящего от способности заполнителя сопротивлению

«двигу.

Для ■&имеем выражение

0103— 6у*____

вв,( ' + ш ; '" ¥ )

(2. ИЗ)

68

(2.118’

(2.119)

При этом по-прежнему w через функцию %(выражается так:

(2. 120;

Поскольку компоненты деформации ац и % остались неизмен-- ными, легко видеть, что учет начальных прогибов влияет толь ко на формулировку граничных условий для тангенциальных усилий и перемещений.

9. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Уравнения поперечных колебаний трехслойных пологих обо­ лочек можно получить из уравнений (2.77) — (2.79), добавля; на основании принципа Даламбера к левой части уравнени; (2.78) инерционную силу

10. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Рассмотрим общую теорию оболочек симметричной по тол­ щине структуры. Для развития теории трехслойных оболочек существенное значение имели исследования Э. Рейсснера* по те* ории упругих плоских пластин конечного прогиба. Определяя! деформации с точностью до квадрата угла поворота, считая не сущие слои мембранами, работающими при конечных прогибах а заполнитель — воспринимающим только малый поперечный сдвиг, несжимаемым в поперечном направлении и присоединен ным к срединным поверхностям несущих слоев, он получил сов­ местную систему дифференциальных уравнений относительна прогиба да, силовой функции плоской задачи F и функции по­

* Reissner Е. Finite Deflections of Sandwich Plates. Joum. of Aero. ScL 1948. vol. 15. No, 7. pp. 435—440.

70