книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

ние по нормали срединной поверхности заполнителя).

Э. И. Григолюк (10] вариационным методом установил гра­ ничные условия и получил систему разрешающих уравнений ко­ нечных прогибав, произвольно нагретых по толщине и по по­ верхности упругих пологих трехслойных оболочек с легким за­ полнителем, когда несущие слои ортотропны в механическом и термическом смысле, а оси их ортотропии совпадают.

ории слоистых оболочек была сформулирована гипотеза о ли­ нейном распределении касательных перемещений по высоте пакета, позволившая методологически строить эту теорию в ду­ хе теории однослойных оболочек. Принималось, что несущие слои, передающие изгиб, и кручение, испытывают конечные про­ гибы, а заполнитель воспринимает только малый поперечный сдвиг. Гипотеза Кирхгоффа—Лява о прямой и нерастяжимой нормали несущих слоев и предположение о прямолинейности нормали в заполнителе удовлетворяют принятому линейному закону распределения касательных перемещений по толщине оболочки. Одновременно для случая изотропных несущих слоев дана система двух нелинейных уравнений (до, F ), найденных при условии, что срединные поверхности несущих слоев присоеди­ нены к крайним поверхностям заполнителя.

Развивая прежнюю работу (10] Э. И. Григолюк выдвинул [11] общую теорию произвольно нагруженных и нагретых поло­ гих оболочек с ортотропными жесткими несущими слоями и ортотропным жестким заполнителем, сопротивляющимся нагруз­ кам в плоскости, параллельной срединной поверхности. Несжи­ маемый в поперечном направлении заполнитель и несущие слои испытывают конечные прогибы; механические характеристики несущих слоев и заполнителя различны, но оси ортотропии их параллельны. Полученная в общем случае система четырех не­ линейных уравнений (до, F, ai, аг) для изотропных слоев с оди­ наковым коэффициентом Пуассона сводится к системе трех уравнений (до, F,<р). В [10, 11] дается также уравнение прогибов до, описывающее устойчивость пологих оболочек при малых прогибах.

Случай трехслойной оболочки несимметричной структуры может быть изучен на основе компактной системы уравнений.

Для случая оболочки с изотропными несущими слоями и не­ сжимаемым трансверсально изотропным жестким заполните­ лем 1в постановке [11] систему пяти нелинейных уравнений мож­ но свести [15— 14] к трем дифференциальным уравнениям, со­ держащим функцию прогиба %, силовую функцию F и функцию

71

углов поворота <р, выражая прогиб w и углы поворота нормалЕ к срединной поверхности заполнителя (xi, хг) в виде

W= (1_T уа) х:

(2. 122

где

V2 = d2{)/dx12-{-dfi()/dx22 — оператор Лапласа; h — суммарная тол щина пакета; р — коэффициент поперечного сдвига; у, Ф — коэф­ фициенты, зависящие от толщин и механических характеристи оболочки. При этом одно уравнение оказывается независимы! (1 —fl)h2V 2cp=2pcp (v — коэффициенты Пуассона).

Система дифференциальных уравнений с %, F, <р имеет общи> порядок, равный двенадцати, одно (ф) из уравнений этой cnq темы не связано с остальными и при решении частных задач он» может не приниматься во внимание. Тогда задача сводится Е решению системы двух нелинейных уравнений (%, F ), обща; структура которой весьма напоминает соответствующие урав нения теории конечных прогибов однослойных оболочек Мар герра {27]. Более того, эта система является разрешающей — че рез основные функции %> F выражаются все перемещения и уси лия и, следовательно, граничные условия. Последним достоин сивом многие редуцированные системы, отмеченные выше, ш обладают, и для решения на их основе конкретных задач при­ ходится вновь возвращаться к более громоздкой системе диф ференциальных уравнений.

Г л а в а 3

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ) ОБОЛОЧЕК

1. ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Относя круговую цилиндрическую оболочку‘радиуса R, дли­ ны I к координатам х\— х, хг= s, измеренным соответственно па образующей и дуге круга нормального поперечного сечения, со­ гласно (2.99)— (2.100) приходим к следующим линеаризирован^

.72

ным уравнениям местной потери устойчивости цилиндрических трехслойных оболочек (рис. 13):

Рис. 13. Круговая цилиндрическая оболочка

Для свободно опертой замкнутой цилиндрической оболочки граничные условия имеют вид

77= V 2^;’= x = V 2x := V 2V2x — 0 при JC= 0 и х = 1 . (3.3)

Систему уравнений (3.1) — (3.2) с помощью введения разреша­ ющей функции xi

сведем к одному уравнению устойчивости

° ( 1 - у v‘ ) ^ ^ + 5 ? й ( 1 - f '»■) *‘ ~

- ( П £ + 2 Л ^ + Л ^ ) ( 1 - f v j v v n - o . (3 .5 ,

7 3

Граничные условия для свободно опертых краев относительно функции Xt запишутся следующим образом:

X i = V * X i = V * V * X i = V aV2V2X i = V 2V2V *X x = 0 при х — 0 и х = 1 .

(3 .6)

Перейдем к решению конкретных задач по определению крити­ ческой нагрузки свободно опертой круговой тонкой упругой трехслойной цилиндрической оболочки при различных внешних воздействиях.

2. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Рассмотрим [14] местную потерю устойчивости - опертой по торцам круговой трехслойной цилиндрической оболочки, под­ верженной действию равномерно распределенной по контуру сжимающей силы N. Под действие этого усилия в оболочке при докритическом безмоментном состоянии возникнут удельные усилия, равные

74

Подбирая целоисчисленные значения т, п, соответствую­ щие минимуму выражения (3. 10), найдем наименьшее значение критической осевой силы

С достаточно хорошим приближением эту зависимость мож­ но получить, считая т21№+п21п2 и т 2Д 2 непрерывными аргумен­ тами и проводя минимизацию выражения для р*.

75

что возможно, когда форма потери устойчивости оболочки осесемметрична. Выражение для р* приобретает вид

тического значения параметра продольного сжимающего усилия однородной цилиндрической оболочки.

Уравнение (3. 19) с достаточной для практических расчетов, точностью может быть использовано при ^> 0,2.

Согласно (3.20) и (3. 11) при &>0,2 имеем

76

Отсюда для оболочек с легким заполнителем получим

Рис. 15. Зависимость критического значения про­ дольного сжимающего напряжения р* круговой цилиндрической оболочки от десятичного лога­ рифма параметра |х2 при 0= 0,05 и ряда значений параметра сдвига k

3.НЕРАВНОМЕРНОЕ ОСЕВОЕ СЖАТИЕ

Вслучае, когда осевая сжимающая сила N приложена экс­ центрично к торцу цилиндрической оболочки, удельное усилие

при докритическом безмоментном состоянии оболочки вычисля­ ется по формуле

гдеМдзг— изгибающий момент, равный

(е — эксцентриситет силы N ).

77

Решение уравнения устойчивости

78

Расчеты показывают, что р* с высокой точностью и всегда с приближением снизу может быть определено по формуле

т. е. критическая сила, приложенная вне центра, будет равна или больше критической центральной силы, деленной на вели­ чину 1 + 2 е, где е — эксцентриситет приложения силы.

4.КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ

ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ

Исследуем потерю устойчивости опертой по торцам тонкой упругой круговой пологой трехслойной цилиндрической оболоч­ ки, подверженной действию внешнего равномерного поперечно­ го давления q [14, 15]. Под действием этой нагрузки в оболочке при докритическом безмоментном состоянии .возникнут удель­ ные усилия, равные

Здесь п — число волн в окружном направлении; хо— постоянная.

79

5. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ ВСЕСТОРОННЕМ ДАВЛЕНИИ

Перейдем к изучению потери устойчивости опертой по тор­ цам тонкой упругой круговой пологой трехслойной цилиндри­ ческой оболочки, подверженной действию внешнего равномерно­ го всестороннего давления (14, 15]. Вследствие этой нагрузки в оболочке при докритическом безмоментном состоянии возникнут удельные усилия, равные

80