книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

в) торец свободен от связей (M = Q —0)

dx2 dx3

Уравнение равновесия (1.120) формально совпадает с урав­ нением равновесия однородного стержня, если в последнем про­ гиб 1C заменить функцией перемещений х, однако наличие'второй производной от х в выражении для прогиба обусловливает раз­ личие между этими случаями. При одних и тех же изгибающих моментах деформации трехслойного стержня'будут больше от деформаций поперечного сдвига. Исключение составляет случай чистого изгиба, при котором поперечный сдвиг отсутствует. Кро­ ме того, так как в трехслойном стержне повороты поперечных сечений не связаны столь жестко (как в однородном стержне) с углом поворота касательной к упругой линии, в местах прило­ жения сосредоточенных сил упругая линия будет . претерпевать перелом.

К теории однородного стержня, вернее к теории трехслойно­ го стержня, построенной на гипотезах Бернулли для всего сече­ ния в целом, из предыдущих формул придем, полагая в них 0 =

= ОО,

9. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Первой задачей при расчете стержня на поперечный изгиб является интегрирование разрешающего уравнения

(1.127)

при соответствующих краевых условиях.

Несмотря на простоту уравнения определение функции х мо­ жет оказаться достаточно утомительной процедурой, особенно для нагрузок, терпящих разрывы на пролете.

Наиболее эффективным методом решения подобного рода за­ дач является метод начальных параметров, разработанный И. Г. Бубновым и А. Н. Крыловым при рассмотрении задачи об изгибе балок, лежащих на упругом основании *.

Суть метода начальных параметров состоит в том, что произ­ вольные постоянные общего решения выражаются через значе­ ния перемещений и силовых факторов в одной из краевых точек, например х = 0 . Эти значения называются начальными парамет­ рами. Ясно, что, по крайней мере, половина начальных парамет­ ров известна заранее, поэтому объем вычислений при определе­ нии произвольных постоянных существенно сокращается. Но для

* Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л. АН

СССР, 1931 (Справочная техническая литература).

31

этого требуется исключить .влияние пролетной нагрузки на зна­ чение функции и ее производных в выбранной краевой точке. Другими словами, нужно построить такое частное решение неод­

Такое частное решение можно представить в виде интеграла с переменным верхним пределом, используя в качестве ядра фун­ даментальную функцию Коши, к которой предъявляются следую­ щие требования:

1.Она должна удовлетворять однородному уравнению.

2.В выбранной точке вместе со своими последовательными

Используя его, находим функцию Коши (в качестве началь ной принята точка х = 0 )

п3х3

(1.131

~

Теперь, учитывая коэффициент при q в (1.129), запишем иско мое частное решение в виде

32

В качестве начальных параметров примем при х = 0 значения следующих величин:

Q = —D

\n2 dx2 I dx3

_ J J fi_ d*y_ . n2 dx4

T = Q - r - ' Q * = D ± ^ L . n? dx5

Отметим, что при 1>->0 S = T = 0 , а для у а (х ) имеет место со­ отношение

(1.135)

Используя общее решение (1.130), получаем выражение для функции %(х)

Отсюда, используя (1. 134), получаем

В качестве примера определим функцию перемещений для консольного стержня, подверженного действию сосредоточенной

3 3

силы Р, приложенной в сечении х = а (рис. 7). Здесь начальные параметры таковы: w0= 0, ф0= 0 , М0= —ра, ао=0 или Q o=T0= P .

Вводя б —функцию Дирака, представим внешнюю нагрузку

Здесь фигурными скобками обозначены скобки Клебша, обла­ дающие свойством

которое сохраняется при дифференцировании и интегрировании.

В выражении для %остался неопределенным один параметр S0, его величина зависит от условий закрепления торца х=1.

34

2. На торце диафрагма отсутствует S(l) = 0, или й4х/йх*—0

Для определенности рассмотрим подробнее второй случай, считая, что сила расположена на торце консоли а=/. Учитывая, что теперь J (х) = 0 , находим

1 — » ^sh ^ - t h r e c h 'y - j +

пЧ

(1.144)

В частности при х —1

Как видим, в данном случае в заделке упругая линия стержня претерпевает перелом, но угол поворота нормали ф равен нулю, следовательно, в случае заделки жестко закреплен вертикаль-? ный элемент торца.

В теории однородных стержней и стержневых систем для оп­ ределения отдельных перемещений и раскрытия статической неопределимости широко используется интеграл Мора. Основы?; ваясь на принципе возможных перемещений, получим аналогич­ ную формулу для трехслойного стержня.

Виртуальные перемещения, фигурирующие в общей форму­ лировке принципа возможных перемещений, отсчитываются от

35

положения равновесия системы и имеют исчезающе малую вели­ чину. Для линейных упругих систем оба указанных ограничения излишни: первое—вследствие независимости действия сил, вто­ рое— из-за линейности выражения виртуальной работы относи­ тельно виртуальных перемещений. Поэтому в качестве дополни­ тельных перемещений могут быть приняты вызванные произ­ вольной нагрузкой действительные перемещения, отсчитывае­ мые от положения системы в недеформированном состоянии си­ стемы. Такой принцип возможных перемещений называется принципом возможных перемещений в форме Мора, широко ис­ пользуемый в теории однородных стержней.

Пусть совокупность внешних сил, приложенных к стержню (назовем ее обобщенной силой Р) уравновешивается внутренни­ ми силами — моментами М, й и поперечной силой Q3. В качестве дополнительных перемещений примем действительные переме­ щения, вызванные обобщенной силой Р. Работу внешней силы Р на дополнительных перемещениях U формально запишем в виде PU. Теперь, если А работа внутренних сил й , М, Qs на переме­ щениях до, а, вызванных силой Р,

и проводя в (1.150) еще одно интегрирование по частям, имеем

36

При отсутствии торцевой диафрагмы ( S = 0) или при наличии диафрагмы бесконечной жесткости ( а = 0) неинтегральное сла­ гаемое в (1.152) исчезает, в результате вместо (1.149) имеем равенство

можно определить, интегрируя уравнение совместности моментов

где, как и ранее,

ор/2

0А2

f \

37

В случае пренебрежения изгибной жесткостью несущих слоев интеграл Мора существенно упрощается

Здесь М и Q соответственно изгибающий момент и поперечная сила стержня, напомним, что угол сдвига в данном случае равен

Методика использования интеграла Мора для определения пере­ мещений такова же, как и для однородных стержней.

Силовой фактор соответствует перемещению, если в процессе деформации стержня он совершает работу на данном перемеще­ нии. Нормальная сосредоточенная сила совершает работу на прогибе стержня в точке ее приложения, поэтому при определе­ нии прогиба считаем, что М и Q возникают от действия нормаль­ ной единичной сосредоточенной силы. Сосредоточенный момент

совершает работу на обобщенном перемещении ср=уа — г dx

а в случае ■в'=0 и у= 1 — на перемещении ф. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть в сечении х = а приложен единичный сосредоточенный момент, тогда при е— О

(р (а -)-е )— ср(а— е ) = 0 ;

+1[D^(cp^)~D,p‘S'+Ya0]^~

= — [М (л)] <р(а)-\-М (/) <р (/) — УИ (0) <р (0) ^ Q — d x .

о

38

учитывая ( 1 . 159) и равенство d Q = 0, запишем интеграл J в виде

J = - ср (а) + [М (/) ср (1) + Q (/) да (/)] - [Ж (0) ср (0 )+ $ (0 ) да (О)]. (1.161)

В случае идеальных опор два последних слагаемых в (1.161) равны нулю в силу краевых условий.

Определим прогиб правого торца консольного стержня, выз*

что совпадает с ранее вычисленным значением прогиба (1.145). Найдем теперь угол <р(а ) того же стержня. Для этого в сечении х = а прикладываем сосредоточенный единичный момент, в ре­ зультате имеем

Более сложные задачи решаются аналогичным образом.

10.УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ

Рассмотрим трехслойный стержень, подверженный действию торцевых сжимающих сил N, линия действия которых отстоит на расстоянии е = const от средней линии заполнителя.

Если принять е=ео (§ 3)

39

то изгибающий момент равен нулю (М = 0). В докритическом состоянии N < N Kp все слои претерпевают одинаковую продоль­ ную деформацию без изгиба ( ^ = 0). В послекритическом состоя­ нии, когда га Ф 0, из ( 1. 68) имеем выражение для изгибающего момента (шо — прогиб в начале координат)

Дифференцируя это уравнение дважды и используя выражения прогиба через функцию перемещений, приходим к уравнению устойчивости в форме Эйлера для трехслойного стержня

(1.168)

к которому необходимо присоединить однородные краевые усло­ вия, отражающие влияние закрепления торцов (разд. 7).

Перейдем в (1.129) к безразмерной координате g и безраз­ мерной функции перемещений X (/— длина стержня)

Кроме того, введем безразмерный параметр продольной силы х2 и коэффициент сдвига k

Теперь уравнение (1.129) примет вид

Здесь штрих означает дифференцирование по £. Характеристическое уравнение, соответствующее (1.171)

(Jf=exp|/5$),

имеет нулевой и два действительных корня разных знаков. Пусть

Тогда, используя теорему Виета, найдем

Эти соотношения позволяют принять в качестве искомого па­ раметра корень А,2. Коэффициент А-1 имеет привычный физичес-

4 0