Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

7.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
Приняв в уравнении (7. 52)
м„	(7.86)
N ^ = N 2° = 0;	(7.86)
2nR?

где Мкр— крутящий момент, приложенный к торцу оболочки, бу дем отыскивать решение получившегося уравнения в форме

л х Г	n ( S —	тг\|ЛГ)	b cos	n (s — y )	(7.87)
= sin —— la sin			b cos	R ..	(7.87)
				R ..
Здесь, как и ранее, / — длина		оболочки; R — радиус;			п — число

волн по окружности; т) — параметр, характеризующий наклон вин товых складок, а и Ь — постоянные параметры.

Подставляя (7.87) в уравнение

0 ( 1 _ ^ ) ( f W	+ j . ^ + ( 2 _ v ) a x
x[S+(^>£]j*+t£(>-^b+
+ 2N °>s J H v V + n r ; ^	£ ) ( ' - f 71 !“ = 0- <7- “ >

приходим к следующим двум зависимостям:

(7.89)

где введено обозначение

Для заданного п из этих уравнений получаем параметр т) и ве личину сдвигающего усилия N,120. Минимальное значение N 12?( и является критическим.

Для оболочек средней длины n2^> 1, вследствие чего уравне ние (7. 89) существенно упрощается за счет пренебрежения под черкнутыми членами, и мы приходим к формулам теории поло гих оболочек.

Г л а в а 8

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

1.УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть го, г\ — расстояния по образующей от вершины кону са до верхнего и нижнего основания; а — угол полураствора ко

			нуса; /=Г[— Го — длина оболочки по
			образующей;	г — координата,		изме
			ренная от вершины конуса; q> — по
			лярный угол (рис. 22).
			В этой системе координат урав
			нения устойчивости (2.99) — (2.100)
			примут вид
			у2у2р = g.Actgq.		— В	r
			Г	дГ2 \	Р	) К
						(8. 1.
			Рис. 22. Круговая коническая оболочка
	Ш	V2) V2V2X j ctgg		d2F
		V2) V2V2X j ctgg		dr2
				dr2
	д	.	1
I 11 дг2	dr		r2sin2 a

Граничные условия для свободно опертого по торцам конуса будут: N ii= e2= tiy = # ii= A fi1= 0 при п=го и г= г\ . В разрешаю щих функциях F и х граничные условия имеют вид

В у2) х=(—+ —

? ) \дг2 г dr

		д2 \
	дг	г2 sin2a d’f2)'		( ' - Т
		г0 и г = л -
В этих формулах
v 2 0	а»О	д()	,	1
v 2 0	дг2	дг	‘	г2 sin2а
	дг2	дг	‘	г2 sin2а

Перейдем к решению частных задач.

— В]

r2sin2 a д?2/ Л

<3 M	X II о
S _
	(8.3)

	* 0	(8.4)
	df2	(8.4)
	df2

142

2. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ОБОЛОЧКИ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ

В настоящем разделе рассмотрим устойчивость при малых перемещениях тонкой упругой круговой пологой трехслойной конической оболочки, нагруженной по торцам равномерным осевым усилием. В этом случае нагружения удельные усилия безмоментного состояния будут

N ’n = - N f - , П = 0; N »,==0..

Проведем замену координаты г, полагая, что

г = г1е"'-*',

причем

C = _Lln-SL,

я гх

поэтому

0 < х < 1.

Зададим функции w,%, F в форме

Te» = 7y0e3Clt-csin т пх cos щ\

Х = ХоеХ%х s’n т пх cos tuр; F = F 0e Klcxs\n m n x costiy .

(8. 5)

(8. 6)

(8.7)

(8. 8)

(8.9)

Здесь п — число	волн по окружности; т — число полуволн по
образующей; w0,	Хо, F Q— константы.

Выбранная система аппроксимирующих функций удовлетво ряет единственному кинематическому условию свободного опи-

рания оболочки по торцам г
w ~ 0 при		х = 0,	X— I	(8. 10)
и, кроме того, !В пределе	(£->-0)	соответствует точному решению,
для трехслойного кругового цилиндра.
Вариационные уравнения задачи в форме Бубнова				имеют
вид (5]:
I
[ Iv„2v„2/r— E h v k2w\ b F e2^xd x = 0 ;				(8.П )
0
i				i
\ [ ( 1 — у	^л2) х —		0;	(8.12)
0

143

^ - v „ 2)v „ 2v«2x + v ^ +

где

яС - ~ j даJ

8дае2^ л := О ,

(8.13)

Л2£2Я2 \ .

7 л ) =

sin2 а / ’

(£ЯГ,)2

[ dx2

(8.14)

<Юkrcctga.

vft2( ) = - 2Z ! ^ l №

_ ! ; n

(Ur,)3 U ^ 2

Проводя интегрирование, получим формулу для определения

критического значения параметра осевой силы

1— е4*с

6.25С2 + т 2 ^

4X2

1 _е5*1'

6 Ж2+ т2 ^

, 4

1— e6"1-

(т2 + 16С2)(Л4 + 9£2)

1 _|— —

в8яс

£2

/я + 9

(М — С2)(Af—9£2)+ 16С2 (М — 3{2)— 12/я2£2

/га2 + 4£2

1 — е2*с

(М-

3£2) [Л4— з ;2)2 + 4£2т 2]

! _

е4*с

от2 + £2

] +

J>*C

-|------р2Х4cos2a -------------X

L _ e 4^

(т2 + 9£2)

(8.15)

X (А1—16£2)(М— 4£2) + 36£2 (М— 8С2)— 32яг2£2

Здесь

_ 12 ^ (1 — у2)

. }?_

£2Л2

А29я4

’

sin2a

’

(8.16)

A2J#

»»

2 I

n2 12

N/?2

A = - —

М = тг А------X2;

p * =

------

рД2

Л2

£>я2

Переход к цилиндрической оболочке осуществляется, когда

a —»0;

С- *0;

X2-»/2//?.

144

Для оболочки, у которой параметр £2> 1 ,								формула		(8.15) мо
жет быть записана так:
р *	5	6,25 +	тртр				1				X
Р	4Хх2	6,5 +	тЦ?		4	k	(Aft +	9) (16 + rrflrp)			X
Р	4Хх2	6,5 +	тЦ?		4	k	(Aft +	9) (16 + rrflrp)
				1 +	3	Xj2	9 + т2т)2
	х[	I (Aft — 1) (Mi — 9) + 1 6 (Mt — 3) — 12/я2ц2
	х[			4	+ /и2т)2
				4	+ /и2т)2
		I 2 W	(A ft —	3 ) [{Мг—		1)2 +	4/я2т)2]		]+
		Xt2			1 /я2т)2				]+
I	2 _ о х 4 _____________ (9 +				m2rp) cos2а________________						(8.17)
	3 ^ 1	(Afj — 16) (Afj — 4) -f- 36 {Mi — 8) — 32m2ij2									(8.17)
	3 ^ 1	(Afj — 16) (Afj — 4) -f- 36 {Mi — 8) — 32m2ij2
где											*
где											i
	Xi2= —		; Ж	=	т 2г\|2+ —		X,2;	Л2= С -2.			(8.18)
		sin2 а				я2

Ha рис. 23—28 представлены графики зависимости критичес кого значения параметра р * продольного сжимающего усилия от параметра сдвига k для ряда значений углов наклона обра зующей а (а =25, 45, 50°) и величин ■0' и |.

Рис. 23. Зависимость параметра р* критического продольного сжима ющего усилия от параметра сдви га k для круговой конической оболочки при а=25°; 6= 0,1; 1=10

Рис. 24. Зависимость параметра р* критического продольного сжима ющего усилия от параметра сдви га k для круговой конической обо лочки при а=2бР; 6= 0,1; |=2

145

Рис. 25. Зависимость параметра р* критического продольного сжима ющего усилия от параметра сдви га k для круговой конической обо лочки при а = 4 5 0; 0= 0,06; |=2

Рис. :27. Зависимость параметра р* критического продольного сжима ющего усилия от параметра сдви га k для круговой конической обо лочки при 0= 00?; 0=0,06; |=5

Рис. 26. Зависимость параметра р* критического продольного сжима ющего усилия от параметра сдвига k для круговой конической оболоч ки при а=45Р; 0= 0,1; 6= 2

Рис. 28. Зависимость парамет ра р* критического продольно го сжимающего усилия от па раметра сдвига k для круговой,

конической	оболочки	при аг=
=50°;	0 = 0 ,ОШ;	6= 5

146

3. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ ВСЕСТОРОННЕМ ДАВЛЕНИИ

Здесь дадим формулу для определения критической нагруз ки тонкой упругой круговой прямой трехслойной конической оболочки при внешнем равномерном всестороннем давлении q {14, 15]. При этом удельные усилия безмоментного состояния равны

N bn = — ^ r t g a ; N °2= - q r t g a ; JV«2= 0 .

Представим функции w ,x ,F в форме

•W = W 0QK** sin я х cos X=Xoe3C*,r sin я х cos щ\ F = /70е4"-г sin я х cos щ .

(8.19)

(8. 20)

Здесь п — число волн по окружности; да0, Хо> — константы. Выбранная система аппроксимирующих функций удовлетво

ряет единственному кинематическому условию свободного опирания оболочки по торцам: w = 0 при х = 0 и х = \ и в пределе (£-> 0) соответствует точному решению для трехслойного кру

гового цилиндра.
Вариационные уравнения			задачи в форме Бубнова имеют
вид
	[V ^ V ^ F-Ehv^ w ] bFe2«*d x=Q ;						(8. 21)
j	[ ( 1 ~	у У/) х -		®] bx ^ <xdx~Q \			(8. 22)
				.	1	qr'tg а	/rf2
оJ[£,(1-у '7л2)7ЛЛ+у‘а/гГ					2	(яСп)2	\ d x ^
+	я(* Г —	2яС	^ да] b w & *xd x = 0,				(8.23)
	ах	sin2 a		/ J
где
V /0 =		^ ах2		n W \ ;
		^ ах2		sin2 a ) ’			(8.24)
							(8.24)
	(CJITJ)*			\йх*		d x j

147

Проводя	интегрирование, получим							формулу			для определения
' критического значения давления
		а * = —			1	е4*С		12.2SP +		1	у
		4		2X2	j _е7к		2 м — 12,5с2— 1 Л
	X		_____________cos а_______________
	X		4_	k_	1 —		(1 +				X
			4_	k_	1 —		(1 +	1 6 Р ) ( Л 1 — 9 С2)
			3	Х2	! _	е8«с		1 + 9С2
	У	Г (М— Р )(М — 9С2) -f- 16C2(Af— ЗС2) — 12С2
	^	L				1 + 4С2
	I	2^	1 -	е2"с		(Af — ЗС2) [(Af — С2)2+ 4g]
	^	Х2	! _	е^				1 + £2			+
	^	Х2	! _	е^				1 + £2
о		1 _р6*С			____________________1 +					9£2____________________
-I------ [а2Х4C O S 3 а ------------					(Af — 16С2) (Af — 4С2) + 36С2 (М— 8£2) — S2&
^ 3 г		1 _	е«*		(Af — 16С2) (Af — 4С2) + 36С2 (М— 8£2) — S2&
											(8. 25)
Здесь
		x2=			M = 1+		"2X2 ;		_	А2я 2
		x2=			M = 1+		"2X2 ;		* =	P/?2
		sin2а				1	Л2			P/?2
		[i2-	12/?2(1 — v 2)								(8.26)
			12/?2(1 — v 2)
				А20Я4		; * • = - * £ - -
				А20Я4				Dn2
Переход	к цилиндрической					оболочке			осуществляется, когда
а —►О;

С — 0; Х — -^ -.

Для оболочки, у которой параметр £2^ 1, формула (8.25) мо жет быть записана так:

7_______ 12,25 +				ч)2_____________________cos а______________ ч ,
2Xt2		2Aft — TJ2— 12,5			4	A	(Afj + 9) (16 + ц2)			^
				1 +	3	Xj2		9 +	1)2
	у	[	M -	1) (Af! - 9) +	16(All -		3) -	121)2	\|
		L		4+1)2
		I		(Af! — 3) [(Af! — 1)2 + 4ч»]				1 ,
		'	h 2	l +	i)2			J"*"
_L A	M,2X 4 _______________(9 + 1)2) cos? а_______________									(8.27)
~ 3	^	1	(Afi — 16) (Afi — 4) +			36 (Afx — 8) — 32i)2 ’
причем
	K2= - ^ ~ ; ж 1= л2+ — V ;						л8= С -а.			(8.28)
			s in 2 а		л 2

148

о	y	o	j o j o	/ f O	j a	j B	i p	w	0	a f k
								.		0,1 0,2 0,30,0 0fi0,6 0,7 0,8 0,9 К
Рис. 29.	Зависимость			параметра			д*	Рис.		30. Зависимость параметра д*
критического			всестороннего		давления			критического всестороннего давления
от параметра сдвига k для круговой								от параметра сдвига k для круговой
конической		оболочки		при а = 5 °;		0 =		конической оболочки при а = 2 5 °; 0 =
			=0,1; \|=3							=0.1; \|= 0,8

f r

32 т

0 0,10? QJOfi 0,00,0 0,7 CIS Ц9К

Рис. 31. Зависимость параметра д* критического всестороннего давлении от параметра сдвига для круговой ко нической оболочки при а = 4 5 °; 0 =

=0,1; |=0,2

На рис. 29—33 приведены графики зависимости					параметра
q*	критического	всестороннего давления		от параметра сдвига
для	конической	оболочки	с наклоном	образующей	под углом
а = 5, 25, 45, 75°		для ряда	комбинаций параметров Ф и \|.

О У 0,1 0 / 0,0 0,50,60,7 0,8 0,96

Рис. 32. Зависимость парамет ра q* критического всесторон него давления от параметра сдвига k для круговой кониче ской оболочки при а= 45°; 0 =

=0,05; |=0,8

Рис. 33. Зависимость парамет ра q* критического всесторон него давления от параметра сдвига k для круговой кониче ской оболочки при а= 75°;

0= 0,05; |=0,6

4. СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Система уравнений малых собственных поперечных колеба ний трехслойной конической оболочки такова:

			02_		(8.29)
			дг2 О - т va) x ;		(8.29)
			дг2 О - т va) x ;
D	(‘-т * )	а.. \| ctg a 02р	1	А2
D		дг	1	р
				р

		w			(8.31)

(все обозначения остались прежними).

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.54 Mб2Установление расчетного расхода при проектировании мостовых переходов..pdf
#
12.11.20231.51 Mб0Устный перевод с листа..pdf
#
12.11.20235.48 Mб2Устный последовательный перевод ключевые аспекты теории и практики..pdf
#
19.11.202326.19 Mб1Устойчивость и колебания конических оболочек..pdf
#
12.11.202317.03 Mб11Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями..pdf
#
12.11.20237.75 Mб4Устойчивость и колебания трехслойных оболочек..pdf
#
12.11.202313.57 Mб8Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки.pdf
#
12.11.20238.23 Mб2Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел..pdf
#
12.11.202310.16 Mб3Устойчивость упругих тел при конечных деформациях..pdf
#
12.11.20233.44 Mб1Устройства генерирования и формирования радиосигналов..pdf
#
12.11.20233.24 Mб5Устройство автогрейдера и расчёт рабочего оборудования..pdf