книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

dl dz;

(^f)2rf2;

(2 .7 )

та

А3З

12

Пусть далее

/ ( - ф = — ± - V - '

(2. 8)

Учитывая первую формулу (2 .7), имеем

т о = -£ -(*+ + * -).

(2.9)

I Z

ди*

,

d f

(2. 10)

S ?

дг

+

4 »

имеем

Я | * = в | + “ </(«) —я®,/. (—c < z < c ) .

(2.11)

(2. 12)

af8— —

+

z = —c.

tt)*=U i-\-ct+ai — cw <i — (z — c )w th ( с < 2 < с+ / г!);

(2.13)

и ) г = Щ — c<j.a, + c® ti —

( — с — й2 0 < —с ) .

(2.14)

Рис. 10. Распределение функции сдви­

Рис. 11.

Распределение

тангенци­

га по нормали оболочки

альных

перемещений по

нормали

оболочки

[ 0 - • » ) • ? , + * „ ( • ? , - К . ) ] ;

( 2 - 2 0 )

а? = Оа,

.

( 2 .2 1 )

— 6П + 6Л 1+ 6Л2= 0 .

(2.22)

г

s M

t

r Z r .

Рис. 12. Удельные силы и

<0

M u

удельные моменты в слоях

—<

\ N l i

трехслойной оболочки

> 0

%

* i

€0

C+fti

—с

[ J

2

ah u ijd z + 1 2 °hu W z +

с

l,j

- c-h, l,J

' I I

( 2

N ‘i be4 +

2 я л +

2

жл + 2 Q/°8a^dx^dx^.

a

\t,j

t,J

i,j

l

>

(2.23)

Здесь

(рис. 12)

N ^ N ^ + N ^ + N y

(2.24)

c t - N y

(2.25)

M ^ M y + M ^ + M ^ + c N ' - c N y

(2 .26)

C

Qt°= j* ' l - l - d z ^ Q h w , .

(2 .27)

N ]h= I

Nh=

(2.28)

(2. 29)

C + h,

—с

J 3 } . { z - c ) d z ;

M*} = j

ajf (z + c )d z ;

e

—c—hi

M U=3

j a\.zclz-,

(2.30)

Производя

в

(2.23) интегрирование по частям, получим

— (* |

“Ь"^ат.а

Q/°) ^0/-f-

в

l

i

~f"[-^11,11“f"

-j- ^22.22 kn N Ц 2АцЛ^1а

-f- (®

ii

Г

-j-(wtlN 12),2-|-f1®,2 -^12).i ~\~(®,2-^aa),a] 3®} dxxdx2 -f- j*

2 X

X dxi\oa+ I

2

^ il^Ut”t“2

— Mnbw'i"b (-^u.i ~b2Af12>24*

0 L

i

i

+ ® .a ^ i2 + ® .i N u) 8w] dXi|$* -

2Mlsbw\t0f ,

(2.31;

ii — линейные

размеры оболочки в

направлении

x ,( i= l, 2).

8ЛХ= | | (Р1 Щ +

+ Я^т ) dXjdx2,

(2.32)

{ р и

р 2 , Я — компоненты поверхностной нагрузки в

направлении

оси *i, * 2, г ), а вариация работы контурных усилий

N fJy //fr

M fj,

QP имеет вид

8А ,= j

( 2

№ « i+ 2

и* +

и

0

\ i

i

)

+ f

2 Wfi8e* +

2 ^ fita/ -^ fi8 w .i +

Q{8® U ^ lo , -

2^f»8®|o,o‘-

'

1

■

(2.33)

Подставляя найденные значения 6П, ЬА\, бЛ2 в

формулу

(2.22)

и приравнивая нулю

выражения,

стоящие перед вариациями

независимых перемещений, получим

уравнения равновесия и

естественные граничные условия задачи.

Уравнения равновесия записываются в виде

^1М + Л ^ ,.=

- л

;

(2-34)

(2.35)

•4^11,11"Ь 2^12,12 “Ь 4^22,22

-^11 (^11 “h^u)

2А^И (^12“Ь Х12)

-^22 (^22”Ь У22)”1"9

Pi®1,1

Р2®1Л ~^'

(2. 36)

т

Ч

Eh

Yi ( i - v ) ^

+ с^ + а г/+А1^" 3 *tj^J +

1 _ V2

[ekk~\~c^+a kk'

hi + A3

x**l ] ;

hi 4- A3

N b =

j z ^

y* [(1 _ v ) [e n

- ct- a u -

*'./) +

(2.37)

+ V^/y {^e bk~ Ct - a Hk

^

♦

№4

Eh

vbl} (<?**+cXa4*)].

1 _ V2 Y31(1 ~

v) (ev + cX av) +

Суммируя полученные удельные усилия, найдем

м ч = т = ^ К* ■ -v) * „ + V е» ! +

ЕЛ2

V)(C12a i/_t- f lSX/^)+V^ ( C12a ftft_b ClSXftft)]' (2. 38)

^ _

v2)

Здесь

сп =

к (YiU — Уzt-) + кУзК\

с1з =

Yi (к + к) — Уа (к + к )’>

Ul — Ui° Л—~

(2.40)

и потребовать выполнения равенства

£,i=Ci3W'i— Ci2aj.

(2.41)

Тогда выражение (2. 38) принимает вид

A rv = T = V I ( 1 ~ H + * ' / , e U '

(2.42)

где

е Ь ^

у

(a l j + uh

+ w ,iW .j+k,,/w).

(2.43)

Используя (2.41), имеем равенство

^1)=

у

(*•/.j “1"^J.i) —

c12a ij

c13Xlj>

(2.44)

из которого найдем

^ 1)

^/yYi+2^ _

v2j Yi {(^12

^иИО

v) a/y+&<yva**] - f

+

(^13— Cis) [(^

V) xl) 4"

}>

(2.45)

^ l)

N tj4t

2(1 _

V2)^2 ^Cl2"bCu)K^

V) a i/ + ^'/va*ft] +

+

(Г13 +

С1з) [(^ ~

V) XO- + 8//VXJ»]K

(2.46)

N U

N ‘jV 3

2(1_

v2)Y8 {(Ci2

4>)[(1

v)a a + v 8 i/aJ

+

Здесь

+

С13 [(1 —

v) *|у +

v V J

I ■•

( 2 - 4 7 )

C12 = V+!

С \ Ч ~ ^ 4 — > ^13=^ + ^; кС13^^2 4*^3-

(2-48)

Вычислим далее момент /У^.

Используя формулу

(2.29)

и зна­

чения интегралов

(2. 7), получим

H b = y h N i№ & +

у^з {(г2У3—

[(1 - v ) <xiy. +

+ ( тз4 — 3Xcu) [(1 — v) x;^+v?>/yxftfclb

(2 .49)

Для удельных изгибающих моментов слоев после вычисле­

ний имеют место выражения

^ } j ~

+ - (1_ ^

Yi^i|(с12

с1з) [(1

v) a i j "Ь

+ v8,уам] - | - tx-\-t3— смj [(1 — v)*ij+ v8/ys]| ;

(2 .50)

+v8iiaM] + ( - i- 4 + ^+ Cl8)[(l-v )x ,v + v V * ft]} 5

(2.51)

M h ^

Щ f - v 2 ) Y^ a К1 ~ V) (*8°/) +

*г^ +

v8‘7

+ *“ Я‘

(2 - 52*

Обобщенные удельные моменты # и

и полные удельные мо­

менты Л4,7 согласно формулам

(2. 25)

(2- 26)- равны

/ / ,.= 4 - АЛГ„с1а+

------^

-----{ти [(1 — v) Щ ,+

vS,7a J +

7

2

7 “

12(1 — v2)

+ \ К1 —v) х,7+ v8«

'

!’

(2- 33)

4 2

АЛГг,с13+ ----- ™

—

{Я3 К1 -

^) «гу+ vSi/x^] +

11 13

1 12(1 — v2)

1

_|_T)3[ ( l _ v) Х;/+ v8,}ч й 1-

(2- 54)

где

^ 1 = ^ (T2Y8+ 3 Y/ + + 3 Y^ ) - 3^ 2;

■Па= Ч (Т3у3 - f 3Y^+ +

3Yat- )+

+ &3 Ш + + YA *-) - Зс1з^2;

(2- 55>

Тогда уравнения (2.34)

будут

тождественно

удовлетворены,

если положить

N ^

b ^ F

- F ^ + b ^ .

(2.56)

е11,22 "Ь С22,11 2е12,12 ~ ЬцИ),аа — 2ka WtJ3-f-

+ k*№ ,u+ ® 212 - и |И® в .

(2-57)

приходим к уравнению относительно F (у^ __

Qjdx^ -f- д 2-Jdxf)

v V ^ 4 - ( i — v) v 2X& =

— E h (АцЗД.и— 2^i2'®,ia +

^22'ffi'>u + ®;fii'ffi,,2a)-

(2. 58)

Рассмотрим

далее

уравнения

поперечного сдвига

(2 35).

Для этого представим вектор (ось 02) в виде

а1=тД,1 + ф,2; <12 = 0 2—ф ь

(2.59)

Уравнения (2. 35) запишутся так:

— яс1а*h c W а

'

Efl3

Vs (•*11a -T ]a®)il+

12(1 — v2)

Ehз

!p,a);

(2.60)

2 4 ( 1 +

tli(Va«p),a=OAt1(a 1+

v)

2

u

Etfi

V2^ — V ^ a —

12(1 — v2)

—

A C „ W 2 4 -

Eh2

-\ (V2?),i= GAatx (a a -

<p,x).

(2.61)

2 4 ( 1 +

v )

Полученные уравнения будут тождественно удовлетворены,

если положить

4 -А сиФ

Eh%

V2

—ila®)= Ohbxxa\

(2.62)

12(1 — v2>

Eh*

’ll Уа<Р=ОАт1ф.

(2.63)

24(1 + v)

Пренебрегая

в

(2.62)

первым слагаемым, введем функцию пе­

ремещений х. удовлетворяющую этому уравнению, так что

w

1л

№ _a\

‘Чг А2 —а

(2.64)

= (

Г 5 ) * ’ 4 = - ^ T v>

где

0

120<зТх(1 — у2)

(2.65)

Р

ВЪ

1 -

v А

* .

(2. 66)

—

у

+ * = +

т]з

дх\дхч

+ ~Y h N nC12'’

1)3

dxidxi

Н—~ h -^22cia»

(2.67)

H a = - D ^ - { l- v ) - ^ L -

^ D ( 1 — v ) J L X

Чз

dx^dx2

1

13

^ - 4 - ^ )

( ' -

af ^ *)*+

+ e <, - ’ » t i 5 = + T * # - e- '

- D ( l - v ) ^ - - ^

1

(2. 68)

2

h N чаС\ь\

7]3

a2

,.

»л2

v ) x +

Ж „ = - Л ( 1 - , ) - ^ _ Д 1

/ ;=

£A3

. n .

A _ l l l 3 —

122

(2.69)

1 2 d -v *) ^3’

W

*

т]з=6, Г120_1=у, ft;

(2.70)

4 = - “ -©, ^ Y 0 -

(2.71)

D 1 1 ■ y v

j y ¥ x + (f » + W )(4u - % )-

2F ,1Jf e - «

a )+

+

F .u + 1) (^22—« .« ) = Я+ ’®p.iW.i+

f|® .2-

(2.72)

т = - \ \

( 2 ^ + ^ 8й' ° + 2 [( я ».*-т ал^ ся)л+

S

4~^7/и —

j - h N v cn j ^— Qi°]8а*Н Y h

4*W

n . n4“2-44ja,xa4" ^ 22,22 -^ц(^и4"*и)

( k a 4~*12)—

— ^ 2 2 (*22+ * 22)- «д Л -

W.%P\8®) d X j d ^

h

4" ^

N ц Ъ и -°f-

h - N f r C ^ Ь а—,

— ^^22

—

8^,a -j——h N

n ClbbW t-lf-(^И22,24-2

4 -

/в

+ «дЛ71> + « д^ м)Лг]йГ^, + |

[ ^

A W

+

{ н л

8аг

( ж и

—ACj^lVn^ 8даа -|-

- 2 М и М о о‘-

(2-73)

Интегрируя по частям подчеркнутые члены и обозначая

—

тг^ t ) ci2— а I)•

Мц

hNijCiz— М,

(2.74)