книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

оно описывает поперечный изгиб трехслойного стержня. По­ скольку через функцию % выражаются перемещения, а следова­ тельно, моменты и поперечные силы, будем называть уравнение (1.67) разрешающим уравнением.

Угол поворота ф нормали в заполнителе, моменты и попереч­ ные силы через функцию перемещений % выражаются так:

( 1. 68) естественным образом выделились три безразмерных па­ раметра ©, ft, у. полностью характеризующие структуру трех­ слойного стержня с точки зрения его сопротивления изгибу. Д а­ дим им механическую интерпретацию и определим пределы их изменения.

Параметр ©, входящий в выражение для изгибной жесткости

характеризует взаимное расположение слоев, поскольку приве­ денный модуль упругости Е зависит только от суммарной жест-, кости слоев на продольное растяжение (сжатие). Из двух трех­ слойных стержней с одинаковым набором слоев тот составлен рациональнее, у которого больше параметр ©. Через безразмер­ ные жесткости уг и безразмерные толщины tk

21

параметр @ может быть записан в форме

0= YA2 + YA2 + YA2 + ^Yi А ~Мз~ YI A +4) + Yg A + Q F +

+^Yg A + tz+ Yx A +4) — Yg A + « Р +

Умножая это выражение на E h3bl 12 и переходя к модулям упругости материалов слоев, получаем

з

(т Al+T k*-ThCw)+

к- 1

от средней линии заполнителя, — линии приведения для полной продольной силы N. Именно относительно этой линии изгибная жесткость стержня является наименьшей. В последнем легко убедиться, приравнивая нулю производную от D по C13 и перехо­ дя к безразмерным параметрам уи, 4 ; в результате для Сц по­ лучится выражение (1. 74).

Наиболее простая форма записи для © такова:

22

Если заполнитель считать легким (у з= 0 ), то параметр # ра­ вен отношению суммы собственных изгибных жесткостей несущих слоев к полной изгибной жесткости стержня

Но при узт^О в (1.78) имеется второе слагаемое, обусловлен­ ное тем, что заполнитель сопротивляется продольным деформаци­ ям. Обычно Ys<Yi> Y2 и второе слагаемое мало по сравнению с первым, поэтому можно считать, что # характеризует собствен­ ную изгибную жесткость несущих слоев. В частности для несу­ щих слоев — мембран (t{ = t2= 0) из (1.78) имеем # = 0 .

Теоретически пределы изменения параметра # весьма широ­

Верхняя граница -0= 1 достигается, когда трехслойный стер­ жень вырождается в однослойный, состоящий из одного несу­ щего слоя, например, первого (у2= У з= 0; & = *з= 0; Yi = ^ = U> Для стержней симметричной по толщине структуры форму­

это обстоятельство позволяет в ряде случаев полагать, не теряя

23

Параметр у равен отношению поперечной силы, воспринимае­ мой заполнителем, к полной поперечной силе (Qa/Q).

Как будет видно из дальнейшего, в задачах поперечного из­ гиба и устойчивости стержня параметр у в явном виде не фи­ гурирует, однако он появляется при определении сдвигающих напряжений.

бой ошибкой рассматривать только упрощенную теорию, поло­ жив 0 '= 0 . Дело в том, что параметр # фигурирует при старших производных, поэтому, полагая “0 —0, мы приходим к качествен­ но новой задаче, что в свою очередь может привести к качествен­ но отличным результатам.

7. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для полной формулировки задачи о деформациях трехслойно­ го стержня необходимо к уравнениям равновесия

рdx2 / dx4

присоединить граничные условия, отражающие влияние закреп­ ления краев стержня и действия краевых нагрузок. Но прежде чем переходить к конкретизации краевых условий, остановимся на вопросе определения соответствия между кинематическими и си­ ловыми факторами. Этот вопрос просто и однозначно решается для перемещений v(x) и w (x). Непосредственно из внеинтегральных слагаемых равенства (1. 46)

дольная сила N, а на перемещении b w — полная поперечная сила Q =dM /dx. Сложнее обстоит дело с угловыми перемещениями 6а и dbwjdx, здесь соответствие зависит от выбора двух независи­ мых базисных факторов.

24

По причинам, которые легко понять, в качестве исходных фак­ торов нами были приняты полный момент М и угол ау, пропорци­ ональный углу сдвига, после чего внеинтегральные слагаемые виртуальной работы внутренних сил (1.46) однозначно опреде­ лили соответствие между моментами и углами

записывается в виде квадратичной формы, приведенной к глав­ ным осям,

L =

.95)

или

i ^ ~ № + ^ [ /№ +1T i s ’ + 5!T ± ) ( v J £ U *]- Д 9 6 )

Исходя из этих выражений плотности потенциальной энергии деформации, получаем формулы Лагранжа

д

)

и формулы Кастилияно в теории трехслойных стержней

Причина выбора в качестве обобщенного перемещения величи­ ны ay, а не просто а и соответственно Y- 1Q3, а не Q3 состоит в

25

том, что выбранные величины в своих выражениях через функ­ цию перемещений х не содержат параметра у

W-

I Р djfl ) Л

Таким образом, выбором обобщенных перемещений и соот­ ветствующих им силовых факторов удалось исключить один из параметров.

Поставим теперь граничные условия для ряда случаев за­ крепления стержня.

Наиболее общими линейными граничными условиями для уравнения ( 1. 88) будут

—N p = 0, где сила Np считается положительной, если она направ­ лена от торца. Давая положительное перемещение (вправо) левому торцу, получаем положительное реактивное усилие, рас­

26

Если же связь обладает бесконечной жесткостью, краевое усло­ вие приобретает вид

Перейдем к рассмотрению краевых условий для уравнения (1.89).

Рассуждая так же, как и ранее, получаем граничные усло­

ственно левой и правой опор.

Условия (1.103) через функцию перемещений выражаются

диафрагмы или путем связи с опорой. Если эти связи отсутству­ ют, это означает, что торец свободен и граничные условия за­ писываются следующим образом:

Если диафрагма бесконечно жесткая, относительный сдвиг слоев на торце невозможен, поэтому

27

Вид второго краевого условия зависит от условия прикреп­ ления торца к опоре. Так, если на торец не наложено внешних связей, то

В промежуточном случае, когда торец присоединен к упру- го-вращающимся опорам, граничные условия имеют вид

Однако любая диафрагма имеет ограниченную жесткость, поэтому условие (1. 109), строго говоря, не выполняется. Фор­ мально можно ввести коэффициенты жесткости диафрагмы /го, hi

Но влияние диафрагмы будет зависеть не только от ее собст­ венной жесткости, но и от изгибной жесткости несущих слоев и заполнителя. Кроме того, и это главное, влияние торцевой ди­ афрагмы носит локальный характер и быстро затухает при уда­ лении от торца. Учитывая приближенный характер излагаемой теории будем предполагать, что на торцах стержня а5у = 0 . Когда S = 0 — диафрагма отсутствует, если ж е а у = 0 — имеется бесконечно жесткая диафрагма. Это позволит рассмотреть два крайних случая и тем самым в случае необходимости оценить влияние упругой диафрагмы на напряженно-деформированное состояние стержня.

В заключение сформулируем однородные граничные условия цля пяти типичных случаев опирания стержня:

28

а) торец свободно оперт, диафрагма отсутствует (ш =М = = S = 0)

зависимых решений обеспечивает условие существования реше­ ния задачи, однако не гарантирует его единственность. Методом от противного легко показать, что введенные краевые условия обеспечивают единственность решения при условии, что в случае недостатка внешних связей активная нагрузка соответствующим образом самоуравновешивается.

8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Как уже отмечалось, параметр # (1.78) обычно очень мал. Если формально положить •б,= 0 и у ф 1 , то разрешающее урав­ нение (1. 89) потеряет два порядка

29

а дифференциальные зависимости (1.99) приобретут вид

для упруго-проседающих и упруго-вращающихся опор: п р и х = 0

обеспечивающих единственность решения уравнения (1.120). Краевые условия, связанные с торцевой диафрагмой, в дан­

ном случае выполняются автоматически, поэтому теперь диаф­ рагма поворачивается вместе с торцевым сечением стержня на угол <р, не деформируясь и, следовательно, не препятствуя попе­ речному сдвигу.

Исходя из (1. 122) — (1. 123) получаем краевые условия для идеальных опор:

а) торец свободно оперт (w = M = 0 )

30