книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек

га для значений параметров |х2= 16, 64, 100, 1000, 10000, 30000; 0= 0,1 и Я= 4 и 10.

81

6. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ КРУЧЕНИИ

Изучим местную потерю устойчивости опертой по торцам тонкой упругой круговой трехслойной пологой цилиндрической оболочки, подверженной действию концевых крутящих момен­ тов Мцр в плоскости параллельного круга [14, 15]. Под действи­ ем этих моментов в оболочке при докритическом безмоментном состоянии возникнут удельные усилия, равные

Здесь п — число волн по окружности; т] — параметр, характери­ зующий наклон винтовых складок, образующихся при потере устойчивости хо; а, Ь — константы.

Подставляя (3.48) в (3 .47), приходим к уравнению

82

Из формулы (3. 50) при

получим два уравнения для определения Nu°

Для оболочек, имеющих малый параметр е, формула (3.51) упрощается, так как в этом случае можно положить

Уравнение (3. 54) позволяет найти rj* по заданному |=я/я.

83

На рис. 19—20 приведены зависимости минимального сдви­ гающего усилия T*=Tmin* от Я (отношение длины i

Рис. 19. Зависимость критического касатель­

£=0,001; 0=0,01 для ряда значений <=Л/Й (Л — толщина оболочки; R — радиус)

8 4

7.КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ

Вразд. 2—6 настоящей главы рассмотрена потеря устойчи­ вости замкнутой цилиндрической оболочки при различных воз­ действиях, действующих на оболочку как одновременно, так и изолированно. Полученные формулы позволяют оценить значе­ ния наименьшего параметра критической нагрузки при комби­ нированном нагружении. Однако такой расчет приводит к боль­

шой вычислительной работе.

Обычно критические нагрузки, соответствующие отдельным случаям равномерного продольного сжатия, равномерного кон­ турного сдвига известны. В разное время предлагалось опреде­ лять и критические нагрузки в случае совместного действия внешних сил. Одну из таких эмпирических зависимостей мы и приводим ниже.

где р* — параметр критической нагрузки только при действии продольного сжатия; q*p — параметр критической нагрузки

при действии только внешнего равномерного поперечного дав­ ления; т*р — параметр критической нагрузки при действии

только равномерных касательных сил на контуре; р*, q*, т* — соответствующие значения параметров при комбинированном нагружении. При этом р* определяется как максимальное фиб­ ровое сжимающее напряжение (с учетом изгиба, если имеет место внецентренное приложение нагрузки).

8. СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Добавляя, в соответствии с разд. 9, гл. 2, в правую часть уравнения (3. 2) приходящуюся на единицу поверхности инерци­ онную силу

(3.57)

и полагая внешнюю нагрузку равной нулю, приходим к системе уравнений малых поперечных колебаний трехслойной цилиндри­ ческой оболочки:

8 5

получим одно уравнение малых поперечных колебаний круго­ вой цилиндрической оболочки

о ( 1_ ! £ . T. ) r t W b + ^ . £ ( i - f v ) й =

волн по окружности; о — круговая частота поперечных колеба­

из которого следует, что минимальной частоте соответствует од­ на полуволна в продольном направлении ( т = 1).

В(3.63) использованы прежние обозначения

Г л а в а 4

УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ

1.ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Видоизменим несколько уравнений разд. 1 гл. 3, вводя вмес­ то круговой координаты s декартову координату у. Если /— длина панели по образующей, а длина ее дуги равна Ь, то ар­ гументы линеаризированных уравнений устойчивости

86

изменяются в пределах

ОО < # < & .

При этом оператор Лапласа V 2 () имеет вид

V ^ дх* ^ ду*

Уравнения (4. 1) — (4.2) могут быть использованы при реше­ нии задач об определении верхней критической нагрузки тонких упругих пологих круговых трехслойных цилиндрических пане­ лей постоянной толщины. Сформулируем граничные условия.

1. Панель свободно оперта по всему контуру. Имеем

87

4. Панель жестко защемлена по всему контуру. Имеем

Для функций F и % эти условия запишутся так:

В следующих разделах при решении конкретных задач будем использовать разрешающее уравнение

D(1- Т v‘) *'vW*+%sr(1- f v‘)b-

= 0 ' (4- 15>

которое очевидным образом получается из (4. 1) — (4. 2).

Для формулировки граничных условий относительно функции X следует иметь в виду зависимости

Согласно ранее изложенному граничные условия для свободно

ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ РАВНОМЕРНОМ ОСЕВОМ СЖАТИИ И ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ

Пусть тонкая упругая круговая пологая цилиндрическая па­ нель находится под (воздействием внешнего равномерного попе­ речного давления q и равномерного сжимающего усилия N, тог-

88

да удельные усилия докритического состояния можно выразить формулами

где т и п — число полуволн в продольном и окружном направ­ лениях, после подстановки (4.20) в уравнение (4.15) найдем

панели как при чистом продольном сжатии ( q = 0) и чистом по­

мула для критического одностороннего удельного сжимающего усилия плоской трехслойной прямоугольной пластины

ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ ДЕЙСТВИИ РАВНОМЕРНОГО ПРОДОЛЬНОГО СЖАТИЯ, ПОПЕРЕЧНОГО ДАВЛЕНИЯ И СДВИГА

Пусть помимо равномерной по круговому контуру осевой сжимающей силы N и внешнего равномерного поперечного дав­ ления q свободно опертая пологая круговая цилиндрическая па­ нель подвержена действию краевых равномерных сдвигающих усилий т. Тогда

89

приходится отыскивать в виде бесконечного двойного ряда п* синусам.

Выбрав прогиб панели в форме

X

(4 .27‘

Применим теперь метод Бубнова (1, 2]. Умножаем (4.27) на