книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Такое было бы возможным, если на одной из границ задавалось бы динамическое условие, например, удерживающий момент. На рис. 11 приведена зависимость £(R), отражаемая формулой (12.4), при различ­ ных значениях 2\ш\/х.

12.2. Постановка обобщённой задачи Орра—Зоммерфельда. Вы­ бранное в качестве невозмущённого известное течение (12.1)—(12.3) является одномерным сдвигом. В теории линейных вязких жидкостей, изучая устойчивость установившихся плоскопараллельных сдвигов, до­ статочно рассматривать только двумерные возмущения в плоскости основного движения. Для вязкопластических материалов при этом надо требовать дополнительное условие (см. обобщённую теорему Сквай­ ра 7.1), которое тем не менее допускает широкий класс возмущений, выходящих из плоскости основного движения. Как указано в § 7.2 (слу­ чай В), в криволинейной ортогональной системе трёхмерная картина вариаций вообще не сводится к двумерной. Поэтому анализ устойчи­ вости течения Куэтта—Тейлора справедлив лишь при искусственном ограничении vz = 0.

С учётом сказанного выше, исследуем двумерную картину вари­ аций скоростей (vr,ty,0). Линеаризуя определяющие соотношения и подста&яяя в них соотношения Стокса, получим

тем самым удовлетворив условию несжимаемости. Подставим далее соотношения (12.5) в линеаризованные уравнения движения, исключим давление и стандартным путём, используя (12.6), придём к уравнению относительно <ф

(12.7)

1

+

гг

К(12.7) надо добавить граничные условия при г = 1 и г = R, если исходное движение принадлежит области А на рис. 10, либо при г — 1 и г = £, если исходное движение принадлежит области Б. Рассмотрим сначала подробно первый случай:

и исследуем устойчивость отдельной гармоники возмущения с номером п. Критерием устойчивости будет условие а,и < 0 для любого п.

Подставляя ряд (12.9) в (12.7), (12.8) и опуская для краткости индекс п, получим обыкновенное дифференциальное уравнение

( 12. 10)

с граничными условиями

Линеаризованная краевая задача (12.10), (12.11) представляет со­ бой 0303 для стационарного вязкопластического течения между со­ осно вращающимися цилиндрами.

оценка устойчивости основного течения. Сформулируем её в виде следующей теоремы.

q ( i ? + и% 2) ’

то а* < 0, w исходное течение устойчиво относительно двумерных возмущений (vr\ve\Q).

Оценка (12.16) носит достаточный характер. Дальнейший анализ основан на применении неравенств Фридрихса

доказательства которых приводятся ниже.

Доказательство /. Рассмотрим уравнение г0" + 0' + А20/г = 0 с граничными условиями 0(1) = 0(0) = 0. Умножим это уравнение на ф и проинтегрируем от 1 до R , получим А2 = i f //о - Точное решение 0(r) = А \cos(Alnr) + i42sin(Alnr) после подстановки в граничные условия даёт А = 1ж/ In R (I = 1,2,...). Таким образом, Am*n = ж2/ In2 R

98 ГЛАВА 3

Можно показать, что минимальный положительный корень урав­ нений (12.18) и (12.19) лежит в пределах 7r/lnR < Xmin < 2n/\nR, поэтому заведомо справедлива оценка j \ > я*2J 2/ In2 R. ■

Доказательство 3. Рассмотрим уравнение ф"/г - ф!/г2 + А2ф/гъ—

О с граничными условиями ф(1) = Ф\К) = 0. После выполнения аналогичных предыдущим операций получим А2 = J \/J Q. Точное же решение имеет вид

Характеристические уравнения в каждом из трёх случаев в итоге сводятся к одному

Воспользуемся квадратичными неравенствами (12.17), (12.21) применительно к (12.16) и сформулируем результат в виде следствия

то а* < 0.

Для получения общей нижней оценки критического числа Рей­ нольдса необходимо найти минимальное по п G Ъ значение правой ча­ сти (12.22). Исследуем аналитически некоторые частные случаи задачи, которые дают характерные качественные и количественные результаты.

12.4. Осесимметричные возмущения. При п —0 (осесимметрич­ ные возмущения) из (12.22) следует достаточное условие устойчивости

2(тг2 + 1п2Д)(Д2 - 1)

не содержащему параметр вязкости. Подставляя к — rsRe в (12.23), после решения квадратного неравенства получим

по-прежнему, остаёмся в области А (рис. 10), жёсткой зоны при этом не возникает.

Предыдущие исследования проводились в предположении о том, что исходная система и траектории предельных переходов лежат в области А (рис. 10). Если же параметры системы принадлежат области Б, и тем самым зона течения сужается от 1 до £, то граничное условие прилипания при г — R (12.11) (либо (12.8)) следует изменить на условие при г = £, на поверхности жёсткой зоны в возмущённом движении.

12.5. Коротковолновые возмущения и вязкий предел. При п > 1 (коротковолновые возмущения) из общей нижней оценки (12.22) сле­ дует асимптотическая оценка

где С — не зависящая от п функция x,u,R . Следовательно, гармоники возмущения с большими номерами всегда устойчивы24^, и критические числа Рейнольдса, им соответствующие, стремятся в бесконечность.

Покажем, что вязкий предел в данной задаче существует не только в случае осесимметричных возмущений, но и для любого п. При к —0 достаточное условие устойчивости (12.22) имеет вид

Можно показать, что правая часть (12.29) при любом а > 0 мень­ ше единицы, а при а2 > 2 + >/5 (R < 4,6016) и меньше нуля. Таким образом, минимум в (12.28) достигается при п —0 и совпадает с (12.23). Предельные переходы при т3 —►0 и п = 0 из самого общего случая вязкопластического течения оказываются перестановочными. Для уз­ кого зазора между коаксиальными цилиндрами остаётся справедливым условие устойчивости (12.26).

24^Напоминаем, что везде в этом параграфе речь идёт об устойчивости относитель­ но двумерной картины возмущений, т. е. фактически об условной устойчивости течения Куэтга—Тейлора.