книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Так как функция, стоящая в квадратных скобках, со временем не возрастает и F(0) = 0, то

Видно, что при одновременном выполнении требований (7.38) левая часть (7.39) с одной стороны остаётся ограниченной в любой момент времени, а с другой, стремится к нулю при t —>+оо. ■

Данное утверждение является идейным следствием общей теоре­ мы 6.1 в случае материалов с векторно линейными определяющими соотношениями. Однако способы получения оценивающего параметра А(£), о которых пойдёт речь в п. 7.5, здесь свои. Аналогично теоре­ ме 6.3 сформулируем и достаточный признак устойчивости течения на конечном интервале времени. Доказательство его почти дословно повторяет предыдущее, а выбор параметров R и Т, входящих в опре­ деление условной устойчивости процесса, таков же, как и при выводе теоремы 6.3.

Теорема 7.3. Пусть F(t) — первообразная функции (2А2 - 2дм - gi3 - 031 )(0 и -F(O) = 0. Тогда для условной устойчивости не­ возмущённого течения v°(ж, t) в плоской области Q с односвязной границей достаточно одновременное выполнение условий

В случае, когда поле скоростей v явно не зависит от времени, коэффициенты уравнения (7.23) суть функции только координат. Это позволяет искать решение i>(x\,X2jt) в спектральном виде

Подставляя (7.41) в (7.23), (7.30), придём к 0303, поставленной для нелинейного течения в области с заданной на границе кинема­ тикой. Комплексная амплитуда теперь является элементом комплексиозначного гильбертова пространства ИЬ(П) со стандартной в нём нормой [178]. Техника получения оценок устойчивости с помощью метода интегральных соотношений здесь принципиально сохраняет­ ся. Выпишем лишь общую последовательность действий и приведём конечное утверждение:

а) домноженис обеих частей уравнения

на комплексно-сопряжённую функцию ф и интегрирование по О с учётом граничных условий

б) выделение действительных и мнимых частей в получившемся интегральном равенстве и нахождение а* и а**;

в) оценка сверху частотного параметра а* с помощью неравенств Фридрихса и Шварца для квадратичных функционалов в Н2(П).

Предположим, что А таково, что справедливо неравенство (7.36), в котором теперь

ll..h = J \DJ4>2dn.

ft

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 7.4. Для устойчивости стационарного течения v°(x) в плоской области Q с односвязной границей достаточно выполнения условия

ft

Доказательство. Функция F(t) в стационарном случае имеет вид F(t) = (2А2- 2 q\\ - q\3 ~ <?3i)£> и из справедливости неравенства (7.44) следует выполнение требований (7.38). ■

7.5. Минимизация квадратичных функционалов и нахождение оце нивающего параметра. Задачу точного определения A(t) можно свести

к задаче на собственные значения

где ф кроме того удовлетворяет граничным условиям (7.30). Умножим равенство (7.45) на ф и проинтегрируем по Q. Получим, что A(t) совпадает с минимальной ненулевой собственной функцией Ашгп(£) задачи (7.45), (7.30).

С другой стороны, нахождение A(t) эквивалентно проблеме ми­ нимизации квадратичного функционала, стоящего в левой части (7.36). Для неотрицательной определённости соответствующей квадратичной формы необходимо выполнение двух условий: А + С ^ 0 и АС ^ В 2 или согласно (7.35) М0 + То ^ 0 и М0Г0в ^ 0. Следовательно, в точках с абсциссами U°(x,t) функция Т'* должна быть неотрицательной, т.е. диаграмма материала не должна быть падающей.

\В С - К 2)

неотрицательно определена. Это в свою очередь равносильно системе неравенств

На рис. 2 на плоскости (К\\К2) заштрихована область, точки которой удовлетворяют системе (7.47) при Т0* Ф М0. Координаты отмеченных на рис. 2 точек следующие

а = (Мо + То*; 0), Ь = (0; М0 + Т0*),

с (М0 sin2 (3+ Т0* cos2 (3; М0 cos2 /3+ Т0* sin2 (3),

g = (min{Mo,T0*}; min{M0,T0*}),

h = (max{M0,T0*}; max{M0,T0*}),

* ~ ( M. swv 0 + T* cos2 p ° ) '

f . ( i k —

V Mo cos2 (3+ To sin" (3 )

Потеря устойчивости вязкопластического течения как невозмож­ ность существования стационарного распределения скоростей и тем­ пературы в потоке рассмотрена в [17]. Предполагается, что вязкость и предел текучести обратно пропорциональны температуре. В [302] под потерей устойчивости вязкопластической трубы под действием внутреннего давления, крутящего момента и осевой силы понимается состояние, когда скорость упрочнения недостаточна для компенсации увеличения напряжений из-за уменьшения толщины трубы.

Конвективная неустойчивость плоского вязкопластического слоя, подогреваемого снизу, рассмотрена в [53]. Для плоскопараллельного движения в слое найдено точное решение задачи. Решение существует, если число Рэлея, определённое по вертикальному градиенту темпера­ туры и полуширине слоя, больше некоторой константы. С увеличением числа Рэлея в этой области ширина зоны течения растёт, а амплиту­ да скорости уменьшается. Такое движение неустойчиво относительно малых возмущений. Для возбуждения конвекции из состояния покоя амплитуда возмущения должна превосходить критическое значение, зависящее от безразмерного предела текучести («жёсткое возбуждение неустойчивости»).

В [156, 158] изучена устойчивость пуазейлева течения вязкопла­ стического тела относительно малых и конечных возмущений. В обла­ сти сдвига вблизи границы ядра потока показано, что течение устой­ чиво по отношению к возмущениям бесконечно малой амплитуды. Конечное же возмущение представлено в виде суммы стационарно­ го искажения профиля основного течения и нестационарной части. Получены зависимости числа Re от волнового числа, соответствующе­ го кривой нейтральной устойчивости. Эти же кривые, но для более сложной реологической модели тела (модели Кэссона с показателя­ ми га и п) построены для различных значений т и п и размеров жёсткой зоны в [189]. Показано, что реология существенно влияет на устойчивость плоского градиентного течения. Гидродинамическая не­ устойчивость вязкопластического течения Гартмана проанализирована

в[157].

В[206, 257] даны попытки определения условий перехода из ламинарного режима в турбулентный для вязкопластического тела с трёхконстантным уравнением Балкли—Гершеля. Введён так называ­ емый локальный параметр устойчивости, критическое значение ко­ торого определено по потере устойчивости ньютоновской жидкости. Указано, при каких показателях степенного закона малые значения rs стабилизируют ламинарное течение, а при каких наблюдается обратное.

Полуэмпирическое описание турбулентного режима вязкопласти­ ческого течения в круглой трубе дано в [126]. Полученные зависимо­

70 ГЛАВА 3

сти для осреднённых скоростей и коэффициента гидродинамического сопротивления являются обобщением известных полуэмпирических соотношений для ньютоновских жидкостей.

Потеря устойчивости развитого течения вязкопластической среды в трубе изучена в [277]. На основе анализа поведения малых возмуще­ ний численно найдено критическое число Яе, хорошо согласующееся с экспериментальным значением, когда радиус жёсткой зоны превышает 0,6 радиуса трубы. В более поздней работе этих же авторов [276] для описания турбулентного течения вязкопластических тел предложена определённая модель («к - е модель»).

В цикле работ [77—79] предположено, что весомая слоистая вяз­ копластическая среда голономно диссипативна, и с использованием вариационного принципа [145] в ортогональной криволинейной систе­ ме координат выведены основные соотношения теории устойчивости. Изучены задачи об устойчивости осесимметричного течения двух­ слойной круглой пластины и растекании полого шара под действием внутреннего давления.

Важным разделом в тематике устойчивости процессов вязкопла­ стического деформирования является бифуркация и потеря устойчиво­ сти конструкций и составных тел. В [247, 248, 317] исследовано осе­ симметричное прощёлкивание цилиндрической оболочки из материала с линейным скалярным соотношением под действием радиальной им­ пульсной нагрузки. В [318] аналогичная задача решена для сферической оболочки, но с учётом неосесимметричных возмущений. В частности, найдено влияние меридионального перемещения на значение критиче­ ского импульса и на критические моды. В наиболее полной постановке задача о динамической потере устойчивости вязкопластической обо­ лочки (с учётом неосесимметричности, произвольности скалярного соотношения материала, наличия температурного поля) исследована в [230].

Теоретический анализ устойчивости некоторых сдвиговых тече­ ний термовязкопластического материала со смешанными граничными условиями, связывающими тепловые и механические параметры, дан в [270]. Такого типа решения используются при моделировании текто­ нических явлений в литосфере и на границах литосферных плит. Здесь важно обосновать выбор тех или иных граничных условий примени­ тельно к разным геофизическим задачам.

В [274] исследовано явление неустойчивого формоизменения ме­ таллов и полимеров при больших деформациях, которое заключается в образовании и развитии полос сдвига. Эта стадия переходная от устой­ чивого деформирования к разрушению. На примере термовязкопла­ стического течения Куэтта (упругие деформации не учитываются) в