книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Третье уравнение (7.4) и условие несжимаемости (7.5) в новых переменных имеют вид

- g v/ + — Mojiisjui + v f + 6j3ui') + 2 (U°MlVykl) j —VM+

Рассмотрим теперь вместо (7.2), (7.3) двумерную картину возму­ щений в плоскости (Ох|Жз):

V\(xt,X),t) = Щ|(ж3)ехр(гвЖ| + 7<), «2 = 0,

Подставляя (7.9), (7.10) в (7.1), (6.12), получим

-isq + M0j(isui6ji + isuj + 6^u\) + 2(U°M'Vijki).jUkl +

+ M0( - s 2it, + u'i) + 2Ш0МУик1зщ, + 2и°М У ]°ш и'к1 =

= 7«i + ^(гв6}]щ + 6j3«i) + v\jUj, (7.11)

-q + M.,j(istt3<5ji +u'j + 6jju'i) + 2(U°М У щ {)ju ki +

+M0( - s 2«, + u") + 2ги°МУпк1зик, + 2и°М У;ш и'к1 =

Идея преобразования Сквайра, предложенного более полувека на­ зад в работе [301] для одномерного стационарного сдвига ньютоновской жидкости, заключается в сравнении систем уравнений, полученных для трёхмерной и двумерной в плоскости сдвига картин возмущений. Если эти системы совпадают с точностью до коэффициента s\/s при числе Яе, то в силу неравенства s\ ^ s и пропорции a/s\ = 7/s устойчи­ вость волны возмущения, распространяющейся под углом к плоскости основного сдвига, повышается. В этом и состоит теорема Сквайра [18].

Формальное обобщение преобразования Сквайра на случай про­ извольного плоского основного движения и достаточно общего типа

сред проведено выше. Оно приводит к сравнению систем (7.6) — (7.8) и (7.11) — (7.13). Как видно, уравнения (7.6), (7.7) существен­ но отличаются от уравнений (7.11), (7.13) и не могут быть получены из последних переобозначением коэффициентов. Это говорит о не­ возможности сведения в столь общем случае трёхмерной картины возмущений к двумерной. На подобный факт в теории устойчивости неньютоновских жидкостей отмечалось и ранее [32].

Выделим здесь три важных независимых случая.

А) Пусть M(t7) = \i — 1/Яе, т. е. имеется вязкая жидкость. Тогда уравнения (7.6), (7.7) упростятся и примут вид

Сравнивая (7.14), (7.15) c (7.16), (7.17), видно, что трёхмерные возмущения сводимы к двумерным только, если vl = 0 и v\ = ^(#3), т. е. невозмущённое состояние — стационарный одномерный сдвиг в плоскости (Ох 1Ж3). Следовательно, даже физической линейности моде­ ли недостаточно для обобщения утверждения Сквайра на произвольное плоское основное состояние.

Б) Пусть

+ tijltikltimrfll + бт\6ц6р 6ьз) = 26m(l6k(\6ty6i)j ,

т.е. изучается устойчивость одномерного сдвига в плоскости (Ох\х$) (vj = v°(x3), v2° = v\ = О, U° — |v°'|). Подставим (7.18) в уравнения (7.6) , (7.7), (7.11), (7.12). После некоторых преобразований вместо (7.6) , (7.7) будем иметь

(7.20)

авместо (7.11), (7.12):

-tsq + M'0(is«3 + W'I) + [C7°M*(tsw3 + «|))'+

- q + 2М о«з + isU°Ml(isui, +«)) +

(7.22)

+ M0( - s 2«3 + u”) = •ущ + isv°uз .

Видно, что, если гв2»з + v f' = 0 или, другими словами, *23 = 0, то (7.19), (7.20) с точностью до коэффициента 5/51 при функции М0 совпадают с (7.21), (7.22) соответственно.

Таким образом, справедлива обобщённая теорема Сквайра для материалов с произвольным скалярным соотношением:

Теорема 7.1. В случае одномерного сдвигового течения в плоскости (Ох 1а?з) среди всех нарастающих трёхмерных возмущений, удовле­ творяющих условию г;2з = 0, всегда можно найти двумерное в той же плоскости (Ох\Хт), нарастающее с той же скоростью, но при большем значении функции М0.

Ограничение V23 = 0 достаточно в условии теоремы 7.1. Оно допускает учёт довольно широкого класса возмущений, выходящих из плоскости (Ох\Хт). Роль критического числа Рейнольдса Re* (точнее, числа обратного к нему) играет критическая кривая [T(U) - T(0)]/U.

В) Отметим невозможность обобщения формулировки теоре­ мы 7.1 на течения, являющиеся сдвиговыми в других эйлеровых ортогональных системах координат, например, в цилиндрической20* (г,#,2). При анализе устойчивости процессов, происходящих в плос­ костях (г,0) (течения Куэтта—Тейлора), и (г, z) (продольные течения внутри поверхностей вращения) необходимо учитывать возмущения в третьих направлениях либо искусственно ограничивать их. Такие воз­ мущения могут существенно влиять на переход из ламинарного режима в турбулентный и на смену типов устойчивости даже для ньютоновских

20)О применении преобразовании Сквайра в цилиндрических координатах и полу­ чающейся при этом структуре уравнений подробнее см. в Георгиевский Л. В. Устойчивость вязкопластических течений с произвольным упрочнением: Дисс. ... доктора физ.-мат. наук. М.. МГУ. 19%. 250с.

жидкости. Соответствующими примерами могут служить образование тейлоровских вихрей и сприальных движений в плоском круговом течении Куэтта [287] и турбулентных «пробок» в пуазейлевом тече­ нии в круглой трубе [238]. Вопросы линейной теории устойчивости и начальной стадии перехода к турбулентности здесь тесно смыкают­ ся с собственно переходными (нелинейными) являениями. К числу таких явлений стоит отнести перемежаемость режимов, постепенное выравнивание профиля скорости, кризис сопротивления тел плохо обтекаемой формы и другие эффекты.

7.3.Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда (0303). Вернёмся

кдекартовой системе координат (Oxi) и исследуем двумерные возму­ щения (vi;v3), накладываемые на плоское невозмущённое состояние vj = г7| (я?1, а?з,£), v\ = 0, v3 = v\(x\,ж3,£). Дифференцируя первое урав­ нение движения в возмущениях (7.1) по ж3, третье по х\ и вычитая одно из другого, тем самым исключая р, сведём систему (7.1), (6.12) к

одному уравнению

Чивиты (€fcn€nm = - 6km)- К уравнению (7.23) надо добавить граничные условия (6.18) —(6.21), выраженные через гр,

Аналогично (6.22), (6.23), если необходимо, в терминах ф записываются контактные условия на границе раздела £ с.

58 ГЛАВА 2

Таким образом, линеаризованная краевая задача устойчивости сводится к одному уравнению (7.23) в О и группе граничных условий (7.24) - (7.26) на соответствующих поверхностях, уравнения которых определяются требованиями (7.27).

Среди всех граничных условий, приведённых выше, выделим (7.24) при щ = О, 6W{ = 0 и £ = Е„. Это означает, что на £ задана кинематика, которая не меняется при переходе из невозмущённого состояния в возмущённое:

Обобщение классической задачи Орра—Зоммерфельда ранее бы­ ло дано и на случай стратифицированных плоскопараллельных те­ чений, т. е. р и fi — функции глубины жз. Впервые такая поста­ новка приведена в [241], там же доказан аналог теоремы Сквайра, согласно которому для любого нарастающего трёхмерного возмуще­ ния всегда можно указать двумерное возмущение, нарастающее с той же скоростью, но при меньшем значении Re и большем значении минимального числа Ричардсона J = -p'0/(PoFr). Уравнение Орра— Зоммерфельда—Дразина с однородными кинематическими условиями на твёрдых стенках было исследовано в [105], где получен ряд неза­ висимых оценок устойчивости. Устойчивость ламинарного погранслоя степенной неньютоновской жидкости путём численного интегрирова­ ния обобщённой проблемы Орра—Зоммерфельда исследована в [83].

Там же рассчитаны характеристики устойчивости погранслоя на про­ дольно обтекаемой полубесконечной пластине.

В [104] дан обзор работ и по некоторым другим задачам на собственные значения применительно к устойчивости идеальных и вязких стратифицированных течений таких, как планетарные течения, течения с рэлеевской вязкостью, турбулизованные движения.

7.4. Метод интегральных соотношений и достаточные интегральные оценки устойчивости. Для анализа поставленной 0303 (7.23), (7.28) воспользуемся методом интегральных соотношений, идея которого была изложена в п. 7.2.

Пусть ф(х\,хъ,Ь) — элемент вещественнозначного гильбертова пространства W ^(H ), являющегося замыканием множества бесконеч­ но дифференцируемых функций с нулевыми значениями на границе области. Замыкание производится по метрике пространства W ^ fi), вводимой скалярным произведением [178]

(7.29)

1Ж2 £

где J — мультиндекс; \J\ = ji + • • • + j N; DJrp = д^ф/(дх\ 1... dx•$). В дополнение к предыдущим потребуем ещё одно ограничение на

область П, а именно, односвязность её границы. Это даёт возможность построить следующую цепочку

Постоянная С едина для всей поверхности Е, и её можно положить равной нулю в силу того, что ф определяется с точностью до константы. Следовательно, в случае односвязности границы П условия (7.28) примут вид

Умножим обе части (7.23) на ф и проинтегрируем по неподвиж­ ной области Q. Из условия несжимаемости основного течения и (7.30) следует, что интеграл от последнего слагаемого в правой части (7.23)

+ £f°M*Vijk/(«fc„V’,ln + €i„^,k„)ljm ,

где

■,..*(«) = f ( D Ji>)2dV

Неравенство Шварца в , применённое к первому интегралу в правой части (7.31), даёт цепочку неравенств

и введём дифференциальные операторы второго порядка