книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

± А + А + 1 > + 4 [ ( т а - j М ( t - O U ° « ) d < )

О

где Д* = д2/(дх,)2 ± д 2/(дх})2.

Уравнение (14.13) с соответствующими условиями на прямоли­ нейных границах слоя представляет собой обобщение задачи Орра— Зоммерфельда для наследственно вязкопластических течений.

Представляя функцию ^(жь ж3,£) в виде интеграла Фурье с гар­ мониками ф = ф(хз,£) ехр(г*5Ж|) и применяя к обеим частям уравнения (14.13) преобразование Лапласа по t , сведём это уравнение к интегродифференциальному (a , как и прежде,— параметр преобразования Лапласа)

a 7 — некоторая вертикальная прямая в комплексной плоскости z. Таким образом, постановка спектральной задачи устойчивости

плоского наследственно вязкопластического сдвига включает в себя уравнения (14.14), (14.15) с соответствующими граничными условиями при а?3 = 0 и ®3 = 1. Отметим, что исследование устойчивости течений со свободными либо движущимися во времени границами осложнено тем, что преобразование Лапласа здесь необходимо проводить в области с постоянными границами, включающей в себя исходную.

Получение оценок устойчивости в выписанной выше линеаризо­ ванной краевой задаче может быть связано с развитием метода инте­ гральных соотношений для уравнений типа (14.14) и формулировкой критериев устойчивости процесса в пространстве изображений.

Проблемы устойчивости наследственно деформируемых тел явля­ ются большой самостоятельной областью исследований. В зависимости от подхода и описания процесса деформирования эту область приня­ то разделять на устойчивость течений вязкоупругих жидкостей [10, 21, 267, 280] (гидродинамический подход) и устойчивость собствен­ но вязкоупругих тел и элементов конструкций [8, 52] (лагранжев подход; большие либо малые деформации [92]). Принципиальной раз­ ницы между данными подходами нет, как нет и чёткого различия между изучаемыми объектами в этих двух случаях. Наследственно вяз­ копластическая модель, сочетающая особенности каждого из подходов, подтверждает данную мысль.

Глава 4

Некоторые задачи о нестационарных вязко- и идеальнопластических течениях в сложных областях

Точные аналитические решения о вязкопластическом течении по­ лучены, в основном, для случаев чистого сдвига и чистого растяжениясжатия, когда интенсивность скоростей деформаций равна по модулю одной из компонент либо линейной комбинации компонент тензора скоростей деформаций. Характеристики всех таких стационарных ре­ шений известны довольно давно (в частности, они собраны в обзорном докладе [26] по истории реологии и состоянию дел к началу 50-х годов). Более сложные течения (пусть даже и стационарные), в которых в от­ личие от линейно вязкого случая автомодельности уже нет, допускают аналитически-численные решения. В силу физической нелинейно­ сти модели каждое новое исследование в этой области представляет определённый интерес. Остановимся в данном обзоре на некоторых характерных задачах, моделирующих технологические процессы обра­ ботки материалов, поведение пластов земной коры при длительной нагрузке, динамическое взаимодействие элементов вязкопластических конструкций и др.

1) Вязкопластическое течение в конфузоре. Известно, что поиск стационарного решения в задаче о вязкопластическом течении под действием давления на бесконечности в плоском конфузоре в виде v(r,$) = V($)/r, как это делается для вязких жидкостей, и в коничес­

ком конфузоре в виде v(r,6) — V(0)/r2 приводит к противоречиям. С трудностями такого рода впервые столкнулись авторы работ [203, 204]. Ещё ранее в [27, 118] проведено кинематическое исследование процес­ са течения в конусе методом просвечивания рентгеновскими лучами, найдено экспериментальное распределение скоростей в конусах с рас­ творами 10°-25° и установлена формула для зависимости расхода от давления. Отмечено, что сдвиг скорее всего происходит по боковой поверхности цилиндра с диаметром, равным диаметру выходного от­ верстия (а, следовательно, этот цилиндр является жёстким ядром). Аналитический же поиск решения в таком виде опять не даёт ре­ зультата. Это говорит о том, что линии тока непрямолинейны, и их

семейство представляет собой сложную картину на плоскости либо внутри конуса.

В[Ю11 в случае плоского конфузора функция тока ^(г, в) ищется

ввиде гр = - Шг(в)г]~г. Основная функция ш\(в) определяет вели­ чину расхода; 0^(0) и шз(в) на расход не влияют, а лишь корректируют форму профиля. Доказано, что ядра потока в данном случае не будет. Аналогичный подход в задаче о вязкопластическом течении между дву­ мя коаксиальными конусами использован в [198]. Факт малого влияния корректирующих функций и>2, шз подтверждён и экспериментально на примере движения торфз в конической насадке с углами раствора 5°— 10°. В торфяную массу помещались свинцовые реперы, и с помощью рентгеновской установки фотографировалось их положение в процессе движения. Снимки показали, что линии тока очень близки к прямым, проведённым из вершины конуса.

Медленное вязкопластическое течение в коническом и плоском конфузорах при малом угле раствора исследовано в [69]. В качестве основного взято решение для пуазейлевского течения в цилиндри­ ческой трубе либо в плоском слое. Далее допускается, что течение происходит не в цилиндре, а в конусе с малым углом раствора /3. Получены формулы для расхода в первом приближении по (3. Такой же метод в случае материала Балкли—Гершеля избран и в [106].

Движение вязкопластической среды в плоском параболическом конфузоре вариационным методом изучено в [120]. Минимум функци­ онала энергии реализуется на действительном поле скоростей. К числу сложных движений внутри двугранных углов и соосных конусов следует отнести и вязкопластические течения, изученные в [210-212]. Высоко­ скоростное вязкопластическое течение, в котором безразмерный пре­ дел текучести много меньше безразмерной вязкости, и происходящее в коническом конфузоре, рассмотрено в [232].

В[314] решена задача медленного установившегося течения вяз­ копластического материала в сходящемся коническом канале приме­ нительно к процессам экструзии и литья под давлением. Параметры найденного процесса деформирования близки к соответствующим па­ раметрам ньютоновского течения в конусе под действием давления на бесконечности.

Ниже в §18 исследована задача о движении в плоском конфу­ зоре с прямолинейными стенками материала, в котором пластические свойства выражены слабо, т. е. близкого к ньютоновской жидкости. Ре­ шение начально-краевой задачи для такой среды сводится к решению соответствующей <«язкой» задачи и линеаризованной задачи первого приближения по безразмерному пределу текучести. Особое внимание уделяется асимптотическим границам жёстких зон, появляющихся при

возмущении предела текучести. Решение данной задачи позволяет су­ дить об устойчивости основного процесса (исходного вязкого течения) по отношению к возмущению материальных функций (появлению предела текучести).

2) Качение цилиндра по поверхности со слоем вязкопластической смазки. Смазочные материалы, изготовленные из дисперсных систем, находят применение в расчётах роликовых подшипников, использую­ щихся в железнодорожном транспорте. Впервые уравнения движения для случая качения цилиндра по поверхности, покрытой слоем пласти­ ческой смазки, проинтегрированы в [111], а вязкопластической в [НО]. Получены выражения для распределения давления в слое смазки, гру­ зоподъёмности смазочной прослойки и мощности, затрачиваемой на преодоление силы трения при качении. Отмечено, что в случае экспо­ ненциальной зависимости предельного напряжения сдвига и вязкости от давления существует предельная минимальная толщина смазочного слоя.

Результаты экспериментов [24] в работе [135] построены в виде зависимости коэффициента сопротивления течению Л от обобщённого числа Рейнольдса Re построенного по эффективной вязкости смазоч­ ного слоя: А « 64/Яе, 0,0002 < Re < 6.

В [234, 285] приведены эксперименты по определению зависи­ мости момента трения от нагрузки, скорости вращения вала в под­ шипнике скольжения, размеров подшипника и реологических свойств бингамовского материала, из которого изготовлена смазка.

Реодинамическая теория вязкопластической смазки развита в [202]. Течение в плоском подшипнике рассмотрено в области между бесконечной плоскостью, движущейся с постоянной скоростью, и на­ клонной к ней неподвижной плоскостью. Вся область разбита на три зоны со своими граничными условиями и со своим распределением скоростей и давлений. Доказано существование у поверхностей обеих пластин стопорных зон в случае k « /ii//&2 ^ 2, где h\ — ширина входного, a hi — ширина выходного отверстий. Найдены ширина h слоя, движущегося с постоянной скоростью (h = ft2(fc - 2)/(к + 1)) и условия устойчивости стопорных зон. Вязкопластическая смазка имеет свои преимущества по сравнению с вязкой. Во-первых, при к = 2 для вязкой смазки происходит разрыв масляной плёнки, что приводит к вытеканию масла из зазора, в вязкопластической же среде этого не происходит вследствие более равномерного распределения давлений на плоскость вкладыша подшипника. Во-вторых, существование сплош­ ных твёрдых стопоров обеспечивает полноту течения, причём входной стопор ограждает от попадания в смазочный слой воздуха. На особен­

ности поведения пластичных смазок в зоне трения по сравнению с ньютоновскими средами обращено внимание и в [109].

Плоское течение вязкопластической смазки в малом зазоре между изделием и внутренней поверхностью насадки при волочении рассмо­ трено в [108]. Приведены пять качественно различных схем течения

взависимости от скорости волочения, расхода и реологии смазочного материала.

Экспериментальное изучение вязкопластического течения сма­ зок при сложном сдвиге для разных температур приведено в [313]. Современные методы и результаты лабораторных испытаний вязкопла­ стических масел и смазок при трении, а также принципы подбора последних для снижения трения и изнашивания трибосопряжений изложены в [195].

3)Движение вязкопластической плёнки над вращающимся диском.

Квопросам деформирования слоя смазки тесно примыкают и задачи о движении вязкопластического слоя над вращающимся диском. В [70] найдено распределение vr(r, z) для такого движения и получено уравне­ ние в частных производных первого порядка, из которого определяется толщина слоя h(r). Аналогичная задача о равновесии и течении вяз­ копластического материала над вращающимся конусом рассмотрена

в[71]. Здесь определена максимальная толщина слоя смазки, который может оставаться в покое на поверхности конуса.

Определению толщины вязкопластической плёнки над враща­ ющимся диском посвящены работы [260, 273]. В [245] даны при­ ближённые аналитические решения для двух типов такого течения. В случае, когда вязкость и предел текучести не зависят от радиуса, толщина плёнки уменьшается с удалением от центра. Для среды с меняющимися параметрами картина может быть обратной.

Большой интерес представляло бы аналитическое решение вяз­ копластического аналога задачи Кармана. Поиск решения в том же ви­ де, как это делается в случае линейной вязкой жидкости, не приводит

крезультату из-за отсутствия автомодельности. Наиболее интересны здесь три вопроса: а) каково распределение жёстких зон при стацио­ нарном движении; б) с какой скоростью «подсасывает» вращающийся диск среду из бесконечности (z —►оо) и наблюдается ли этот эффект в данной задаче вообще; в) существует ли предельный переход в реше­ нии вязкопластической задачи Кармана к решению соответствующей вязкой задачи при устремлении предела текучести при сдвиге к нулю.

4)Сложный сдвиг вязкопластической среды. Задача о вязкопла­ стическом течении в зазоре между двумя круглыми коаксиальными трубами при совместном действии момента, приложенного к внутрен­ нему цилиндру, и градиента давления вдоль оси рассмотрена в [288,

289]. Приведены условия осуществимости течения в области. Решение справедливо, когда напряжение сдвига на стенках цилиндра в резуль­ тате поступательного течения намного превышает напряжение сдвига, возникающего вследствие вращения цилиндров. Это частный случай течения бурового раствора в кольцевом канале обсадных труб, при котором градиент скорости на стенке трубы, связанный с поступатель­ ным движением, намного превышает градиент скорости, возникающий в результате вращения внутренней штанги.

Экспериментальное изучение течения жирового солидола на сдво­ енном ротационном вискозиметре с коаксиальными цилиндрами, по­ зволяющем изучать взаимное влияние осевого и окружного течений с учётом концевых эффектов, приведено в [24]. Показано, что осе­ вое течение повышает сопротивление деформированию при окружном течении. Суперпозиция же двух указанных чистых сдвигов возможна лишь в первом приближении.

Комбинация вязкопластических течений Куэтта и Пуазейля в плоском зазоре изучена в [148]. Для наглядности характер течения поставлен в зависимость от двух безразмерных переменных, опре­ деляющих координаты точки на плоскости. Выявлены три области, отвечающие наличию, частичному наличию и отсутствию течения. Аналогичный подход осуществлён и для комбинаций течений Куэтта— Тейлора и Пуазейля между двумя коаксиальными цилиндрами. На изображающей плоскости построены пять областей с различным ха­ рактером деформирования.

Вязкопластическое течение между двумя бесконечными пласти­ нами под действием касательного усилия и градиента давления, напра­ вленного под произвольным углом к этому усилию, рассмотрено в [20]. Такая модель используется для анализа течения в канале экструдера.

В[129] реология жидкости описана моделью, образованной путём последовательного соединения вязкопластической и произвольной вяз­ коупругой моделей. Цилиндрическая труба заданного радиуса и длины вращается с постоянной угловой скоростью и равномерно движется вдоль оси внутри неподвижной и коаксиальной с ней цилиндрической трубы с вязкоупругопластической несжимаемой жидкостью. Подробно изучено стационарное течение при сложном сдвиге, а также определе­ ны границы ядра.

Вприближении тонкого слоя в [55, 57] рассмотрена общая задача течения вязкопластической среды, когда материальные точки гранич­ ных поверхностей смещаются по нормали по заданному закону. Поста­ влена также задача об определении закона деформирования материала

вузком канале при заданном распределении давления на границах этого канала. Полученные выражения расхода и давления позволяют

ставить задачи управления течением в тонком слое и оптимизировать эти процессы.

5) Сдавливание вязкопластической средымежду подвижными жёст­ кими плоскостями. Задача о сжатии вязкопластического слоя прямо­ угольными жёсткими плитами в предположении малости расстояния между плитами по сравнению с их размерами решена в [147]. По­ лучен следующий результат: вблизи плит всегда существует область течения, в которой преобладающую роль играют вязкие напряжения; оставшуюся среднюю область охватывает близкое к идеальнопласти­ ческому течение, параметры которого ищутся как некоторая поправка к классическому решению Прандтля. В [33] рассмотрено сдавливание вязкопластического слоя круглыми пластинами с отверстием в центре. Сделана гипотеза о наличии жёсткой зоны постоянной толщины в средней части зазора.

В [56] решение задачи о сжатии вязкопластической среды между круглыми параллельными пластинами при их соосном поступательном движении дано в безынерционном приближении тонкого слоя. Коэф­ фициент вязкости и предел текучести могут принимать произвольные значения. Учтено также изменение толщины жёсткого ядра в процессе сжатия.

Медленное сжатие вязкопластического слоя (трёхкомпонентная модель) между круглыми параллельными пластинами проанализиро­ вано с помощью вариационных методов в [321]. Получены верхние и нижние оценки решения, причём последние, как следует из экс­ периментальных наблюдений, довольно близки к точному решению. Сходным вопросам посвящена работа [299].

6) Удар вязкопластических элементов конструкций о жёсткую пре­ граду. Одномерная задача об ударе о неподвижную жёсткую преграду вязкопластического стержня конечной длины впервые была рассмо­ трена в [97]. Показано, что после удара возникают две зоны: в одной из них, примыкающей к преграде, возникает вязкопластическое тече­ ние, и поле скоростей удовлетворяет уравнению теплопроводности с неизвестной границей; в другой материал не деформируется. Для реше­ ния задачи используется приближённый метод Кармана—Польгаузена. Зона течения сначала увеличивается, а затем начинает уменьшаться, никогда не достигая свободного конца стержня. В некоторый момент эта область исчезает совсем, после чего деформирование прекращается. Схема численного решения данной задачи была позднее предложена

в[30]. Численно задача решалась в напряжениях, что дало возможность не выделять линию раздела вязкопластической и жёсткой зон. Переход

вжёсткое состояние при разгрузке после удара учтён в [115], а различие

ввязких свойствах при нагрузке и разгрузке в [214].

Удар жёсткого тела по вязкопластическому стержню рассмотрен и в серии работ [303, 308-310]. Соударение происходит с такой скоро­ стью, что возникают большие пластические деформации. Рассчитаны напряжения для случаев: а) постоянная скорость удара по полубесконечному и конечному стержню; б) удар жёсткого тела конечной массы по полубесконечному и конечному стержню. Если связь ин­ тенсивностей напряжений и скоростей деформаций произвольна, то задача сведена к решению нелинейного параболического уравнения с подвижной границей.

В [98] действительный стержень конечной длины заменён не­ которым схематическим, масса которого сосредоточена в конечном числе сечений. Между массами материал лишён инерции, но подчиня­ ется вязкопластическому закону. Задача сведена к последовательному решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с изме­ няющимся числом искомых функций. Численные результаты оказались близкими с аналитическими выводами работы [97].

Распространение волн в бесконечном цилиндрическом стержне изучено в [225]. Нелинейные определяющие соотношения линеаризу­ ются путём разложения корня из интенсивности напряжений в ряд Тейлора вблизи некоторого значения. Для подобной среды установле­ но, что при высоких частотах вязкопластический стержень ведёт себя как упругий.

Движение круглой защемлённой плиты, вызванное ударом сосре­ доточенной массы в центре, рассмотрено в [264]. Задача об ударном сжатии вязкопластического образца с постоянным поперечным сече­ нием и массой много меньшей массы бойка решалась в [139].

Классическая работа [316] посвящена распространению малых возмущений в пластической и вязкопластической средах. Линеаризация уравнений состояния проведена вблизи положения, отвечающего пред­ варительному одноосному нагружению тела, при котором материала вышел в пластическую область. Изучено, в частности, распространение осесимметричной продольной гармонической волны в цилиндрическом стержне, внешняя граница которого свободна от напряжений.

Свободно опёртая цилиндрическая оболочка под действием пря­ моугольного импульса равномерного давления (либо мгновенно разо­ гнанная из состония покоя до некоторой конечной скорости) про­ анализирована в [286]. Сделано предположение, что квазистатическое решение для идеально пластического материала хорошо аппроксими­ рует состояние в вязкопластическом теле вблизи предела текучести. При этом предположении уравнения состояния линеаризуются, и за­ дача сводится к линейному уравнению четвёртого порядка. Сходным проблемам посвящена и работа [290].

В[152, 199| рассмотрена задача динамического деформирования жёстковязкопластической нити, встречающей жёсткую матрицу, при действии на нить равномерно распределённого постоянного давления. Получены уравнение свободной части нити и условия в окрестности точки контакта.

Вопросам удара вязкопластического цилиндрического стержня конечной либо полубесконечной длины и вязкопластической нити о преграду посвящены также исследования [59, 73, 153, 246, 278].

В[121, 122] уравнения движения вязкопластической и термовяз­ копластической сред с произвольными скалярными соотношениями проанализированы с точки зрения их групповых свойств (см. так­ же [7]). Получен полный набор инвариантных решений первого ранга.

В[122] построены решения некоторых задач о течении и теплооб­ мене в ограниченных областях, в полуплоскости и в бесконечной среде при движении цилиндра. Точно решена автомодельная задача

овращении тонкого стержня с постоянным теплоотводом в тепло­ проводной вязкопластической среде. В [121] рассмотрена задача о продольно-поперечном движении среды со степенной зависимостью интенсивностей напряжений и скоростей деформаций. Современный обзор инвариантных свойств уравнений термовязкопластичности с раз­ личными скалярными определяющими соотношениями дан в [123].

Вданной главе приводятся решения некоторых задач о неста­ ционарном деформировании вязко- и идеальнопластических тел как в областях со сложной границей, так и с учётом движения границ жёстких зон [41, 46, 47, 252].

§15. Идеальножёсткопластическое течение внутри плоского конфузора с криволинейными стенками

Основной технологической операцией производства тонкого ли­ ста из различных термопластов, в частности, идущего на изготовление слоистых композитов, является медленное выдавливание исходных продуктов из фильеров и конфузоров с последующим охлаждением. Минимизация энергетических затрат на эту операцию обусловлена выбором профиля стенок, внутри которого перемешивания исходного продукта нет. Оптимизация формы стенок может быть связана с тре­ бованием радиальности ламинарного режима (в случае криволинейных стенок — «псевдорадиальности», т. е. равенства нулю соответствующей компоненты вектора скорости).

Задача о квазистатическом течении Сен-Венана внутри плоского клиновидного конфузора с прямолинейными шероховатыми стенками (задача Надаи—Хилла) впервые была изучена в [275]. В этой работе