книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

замкнутой форме получены критические условия локализации сдвига. В случае более общего плоского движения начало локализации по­ лос сдвига рассмотрено в [222]. Установлены критические условия их образования, наиболее вероятные направления развития, а также по­ лучены оценки скорости роста зарождающихся полос сдвига. Сходным вопросам посвящены работы [312, 315].

Анализ неустойчивости деформирования простого сдвига вяз­ копластического материала, обладающего свойством деформационного разупрочнения, выполнен в [231]. Предложена методика решения лине­ аризованной начально-краевой задачи и устойчивости невозмущённого процесса деформирования на конечном интервале времени. Основную роль играют два безразмерных коэффициента, один из которых опреде­ ляет вязкие свойства, а другой кинематику деформации. Установлены соотношения подобия между этими коэффициентами.

В [311] исследовано зарождение и развитие шейки в круглом полимерном образце из вязкопластического материала при одноос­ ном растяжении. Начало образования шейки обусловлено введением начальных геометрических возмущений. С помощью метода конеч­ ных элементов найдено распределение напряжений на разных стадиях нагружения и эволюция профиля образца.

Математическим аспектам существования, единственности, ус­ тойчивости, а также нахождению точных решений нестационарных краевых задач вязкопластичности посвящены работы [22, 57, 162, 177, 188, 223, 226, 228, 239, 245, 250, 283, 298]. Ссылки на многие другие работы приведены в монографиях [67, 102, 155, 174] и подробных обзорах [123, 229, 231, 235, 312].

Ниже на основе методов интегральных соотношений, развитых в главе 2 применительно к устойчивости деформирования тел с произ­ вольным скалярным соотношением, исследуется устойчивость вязко- и идеальнопластических течений. В каждой из конкретных задач при­ водятся достаточные интегральные оценки устойчивости основного процесса в том или ином функциональном пространстве [35, 36, 42, 43, 45, 48-51].

§8. Обобщённая задача Орра—Зоммерфельда для процессов деформирования вязкопластических тел

8.1.Оценки устойчивости вязкопластических течений как следстви полученных в §7. Как важный частный случай общих определяющих соотношений, результаты которого будут использованы в данной гла­ ве, рассмотрим вязкопластические течения (материалы ИльюшинаБингама). Функция М(17), входящая в (6.2), и функция T(U) имеют

Видно, что в качестве оценивающей функции А2(£), входящей в (7.36), можно взять

где Лд определяется геометрией области из леммы 7.1, a Al(t) в свою очередь является оценивающим параметром в неравенстве

ft

для любой функции tp € W^2*(fi) с граничными условиями (7.30). Входящая в утверждение общей теоремы 7.2 функция F(t) в

случае вязкопластического течения запишется следующим образом

оо

Формулировки теорем 7.2, 7.3 с учётом (8.8) останутся прежними дословно, а признак устойчивости стационарного течения (следствие теоремы 7.4) сформулируем следующим образом.

Теорема 8.1. Для устойчивости стационарного вязкопластическо­ го течения v°(x) в плоской области Q с односвязной границей достаточно выполнения условия

Слагаемые с числом Рейнольдса («вязкие» слагаемые) и безраз­ мерным пределом текучести («пластические» слагаемые) входят в (8.8), (8.9) с одним и тем же знаком, при этом увеличение Йе компенсиру­ ется ростом т5. Это говорит о стабилизирующем влиянии параметра пластичности на течение ньютоновской жидкости, если AJ > 0 и о его нейтральном влиянии, если Лг = 0. В любом же случае введение в

линейно вязкую модель нелинейности в виде пластического слагаемого при указанных выше ограничениях на геометрию области и граничные условия дестабилизировать исходное течение не может. В качестве приведённого числа Рейнольдса Яе' следует брать

а также в последующих работах [128, 217]. Он следует из самого скалярного определяющего соотношения (8.1). Критические значения обобщённого числа Рейнольдса были получены в [124], где также выведены зависимости критического числа Рейнольдса и критерия Хёдстрема.

При масштабном моделировании существуют два критериальных уравнения: La = /(H i), И2 = д(Hi), где La — число Лагранжа, Hi — число Ильюшина [129], И2 — число Ильюшина—Олдройда.

Найдём теперь оценивающую функцию Аг(£), используя резуль­ таты п. 7.5 для тел с произвольным скалярным упрочнением. Согласно, например, оценке (7.51) имеем

(8. 11)

Из (8.6), (8.11) следует Аг = 0, и величина А совпадает со своим значением для течения ньютоновской жидкости. Оценки устойчиво­ сти любого вязкопластического течения, удовлетворяющего условиям (7.30), вычисленные на основании (7.51), не будут отличаться от оценок устойчивости соответствующего вязкого течения. Нечувствительность к параметру пластичности т3 в модели (8.1) объясняется достаточным характером этих оценок.

8.2. 0 3 0 3 для одномерного вязкопластического сдвига. Для основ ного состояния (7.18) уравнение (8.3) упрощается и имеет вид

Представляя ,£) в виде отдельной гармоники возмущения = 0(жз)ехр(г$Ж1 + at), преобразуем (8.12) к спектральному виду

(8.13)

Последнее слагаемое в левой части (8.13) учитывает влияние пла­ стических свойств материала по сравнению с вязкими. Без этого слагаемого соотношение (8.13) совпадает с классическим уравнением Орра—Зоммерфельда.

Так как основное движение происходит в слое 0 < ж3 < I, то кинематические граничные условия при ж3 = 0 и ж3 = 1 имеют вид

£ i,... ,6лг определяются из основного течения. Пусть ж3 = £ — одна из составляющих границы £ г, на которой U0= 0. Тогда условие (7.26) запишется в форме

Связь константы Н и значения ф(() следует из закона движения (7.27) поверхности £ г:

Таким образом, 0303 для одномерного плоскопараллельного вязкопластического сдвига заключается в решении уравнения (8.13) в слое П при выполнении условий (8.14) на границах слоя и условий (8.16), (8.17) на границах жёстких зон, уравнения которых в основном и возмущённом процессах могут различаться.

Грубость оценок типа (8.11), найденных для вязкопластических материалов из общих соотношений §7, заставляет более точно изучить устойчивость таких течений. Этому посвящены последующие парагра­ фы этой главы. Особое внимание в них уделяется вопросам вязкопла­ стического сдвига. Это объясняется тем, что интегральные оценки устойчивости, полученные в §7 для течений в слое О = {0 < ж3 < 1} либо в кольце П = < г < R2}9напрямую неприменимы, поскольку в данных случаях границы ft неодносвязны. Сдвиговые же течения наиболее часто встречаются на практике в технологических задачах обработки металлов и полимеров давлением; перекачки дисперсных систем (нефте-, торфопродукты, ил, жидкая глина, цементные раство­ ры, пищевые массы и др.) в трубопроводах и их движения в открытых каналах и шнеках; деформирования смазочных материалов; медленного течения геофизических структур в поле силы тяжести.

(х/д:?йе)

Из (9.4), (9.6) следует

Теорема 9.1. Пусть a(s,Re,x) — произвольное собственное число 0303 для течения Куэтта. Тогда

Достаточным условием устойчивости движения, следовательно, является отрицательность правой части неравенства (9.7).

mo a* < 0.

Доказательство следует из теоремы 9.1, очевидного соотношения SIQI\ < (I2 + S2IQ)/2 и неравенств Фридрихса ij ^ iT2IQ, ^ 47Г2/ 2,

Для того, чтобы получить нижнюю оценку критического числа Рейнольдса Re*, необходимо найти минимальное значение правой ча­ сти (9.8) по s. Проводя соответствующий анализ, придём к следующему результату: если х ^ q/2, то Re* > 87т2/q, и самыми медленно затуха­ ющими будут длинноволновые возмущения s —►0; если 0 < х < q/2, то Re* > 47г2[2к/д + (3 - 4x/q)l^2]/q, и самыми медленно затухающими будут гармоники s = 7г[(3 - 4х/д)1/2 - 1]|/2.

По выведенным достаточным оценкам устойчивости на плоскости (x/q; qRe) (рис. 7) постороена кривая 1. Для вязкого предела (х —►0)

Доказательство аналогично предыдущему, в нём надо использо­ вать ещё одно неравенство Фридрихса: А > А А -

Найдём нижнюю оценку критического числа Рейнольдса Re*, пользуясь следствием 2: qRe* > 47г[А|(1 + 2x/q)]^2. При этом самыми медленно затухающими будут гармоники s = [А|/(1 +2x/q)\xfl. Кривая

то а* < 0.

Доказательство аналогично доказательству следствия 2.

По данной оценке самым медленно затухающим возмущением будет возмущение с волновым числом s<>, являющимся корнем уравне­ ния s3+ (ir/y/l)xs2/q - ж\\/(2 у/2) = 0. Следовательно, нижняя оценка

имеет вид qRe* > 27rAi/so + 47rxs<>/g + 2\/2s2. Соответствующая кривая 3 изображена на рис. 7, при к —►0 она стремится к дЯе$ = 72,25 (вязкий предел).

Достаточные интегральные оценки устойчивости (9.8)-(9.Ю) не­ зависимы, поэтому можно дать общую нижнюю оценку критического

т. е. область параметров под верхней огибающей кривых 1-3 — область абсолютной устойчивости вязкопластического течения Куэтта. Для течения Куэтта в узком смысле везде необходимо положить q — 1.

Как видно, все три кривые 1-3 являются неубывающими, что позволяет сделать важное предположение о стабилизирующем влиянии

в [261, 262], поэтому носят название оценки Джозефа. Затем они были уточнены в [89, 319].

9.2.Оценки фазовой частоты колебаний. Обратимся теперь к

теорема будет справедлива как для вязких жидкостей, так и для вязкопластических тел. Сформулируем её как и в [261].

Доказательство полностью переносится из [261].

Заметим, что, как и в вязких течениях [320], фазовая скорость a**/s может выходить за пределы основного потока [v^in; г4а.г]-

22* Поскольку полученные оценки не точные, а достаточные, то речь может идти

только о предположении, а не о строгом утверждении.