книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Глава 1

Критерии и методы исследования устойчивости процессов деформирования

Задача устойчивости невозмущённого состояния деформируемо­ го твёрдого тела заключается в изучении поведения этого тела при создании определённого класса возмущений. Исходное состояние (ис­ ходный процесс) понимается устойчивым, если малые по некоторой мере возмущения вызывают малые по некоторой, возможно, другой мере отклонения параметров состояния от их невозмущённых значе­ ний.

Феноменологический подход в механике предполагает два спо­ соба задания возмущений при t ^ 0 — детерминированный и ве­ роятностный. Последний из них означает, что возмущения являются случайными величинами с заданными на основе экспериментов ста­ тистическими характеристиками. При детерминированном же способе описания поведения тела выделяется определённый класс возмущений, относительно которого исследуется устойчивость. Набор таких классов может охватывать широкий спектр механических и немеханических воздействий на систему, причём заранее неизвестно, какое из воз­ действий приведёт систему в критическое состояние, предшествующее потере устойчивости.

В данной главе даётся обзор исследований по устойчивости про­ цессов деформирования с концептуальной точки зрения. Проводится классификация типов потери устойчивости в зависимости от природы возмущений, накладываемых на основное состояние тела. В частности, выделяются [52]:

— устойчивость относительно малых и конечных возмущений параметров основного движения (скоростей, напряжений, температур и т. п.), внешних данных (массовых и поверхностных сил, заданных скоростей и перемещений на границах и т. п.) и геометрии области (вариации границ, поверхностей раздела);

—■устойчивость относительно возмущений материальных функ­ ций и правомерность различных предельных переходов по физическим параметрам;

—устойчивость самого материала по отношению к изменению его внутренней структуры (в основном, применительно к композиционным материалам) и немеханическим взаимодействиям;

—устойчивость численного процесса моделирования механичес­ кой задачи и возможная физическая интерпретация потери устойчиво­ сти численного процесса.

Каждому из этих четырёх направлений посвящены §§ 2-5 соответ­ ственно. Вместе с тем необходимо подчеркнуть относительную услов­ ность подобного деления. Неустойчивость, вызванная одной группой причин, зачастую приводит к более глобальной неустойчивости, объ­ ясняющейся другими причинами, и так далее. Но факт качественного изменения в тот или иной момент протекающего процесса, который и интерпретируется в широком смысле как потеря его устойчивости, — наблюдаемое явление. Задача исследователя заключается в построении математической модели как самого процесса так и возмущений, на­ кладываемых на него. Природа же выбираемых возмущений должна соответствовать природе ожидаемой потери устойчивости.

§1. Математические определения и критерии устойчивости процесса

Понятие устойчивости по Ляпунову решения обыкновенного дифференциального уравнения, сформулированное в конце прошлого столетия [127], исторически стало первым строгим математическим определением устойчивости процесса. Решение x(t) уравнения

е > 0 существует 6 > 0 такое, что для каждого другого решения x(t), удовлетворяющего условию ||ж(£о) —ж(^о)И < следует ||ж(£) -ж(£)|| < £ для всех t ^ £о- Устойчивость при t = £0 (а, следовательно, и при любом другом начальном моменте времени) эквивалентна непрерывной зависимости решений от начальных данных, равномерной по t .

Неустойчивость решения x(t) определяется как логическое отри­ цание предыдущего утверждения, а равномерная устойчивость по Ля­ пунову [161] как независимость 6 от to. Известны также определения притягивающего, эквипритягивающего, равномерно и глобально при­ тягивающего решений уравнения (1.1). Если же решение x(t) удовле­ творяет предыдущим четырём оперделениям и дополнительно устой­ чиво по Ляпунову2^, то оно называется соответственно асимптотически

Притяжение не означает устойчивость (см. контрпримеры в [1801 так же, как и

наоборот).

устойчивым [127], эквиасимптотически устойчивым [272], равномер­ но [132] и глобально [15] асимптотически устойчивым.

Один из методов исследования устойчивости, опирающийся на некотором явном представлении решения, в частности, бесконечны­ ми рядами, носит название первый метод Ляпунова. Другой же метод, известный как второй или прямой метод Ляпунова, использует вспомо­ гательные скалярные функции Ляпунова или функции типа Ляпунова (см., например, [213]).

Не останавливаясь подробно на самих формулировках, отметим здесь следующие классические понятия и утверждения теории устойчи­ вости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений: теорема Ляпунова [127] и теорема о равномерной устойчивости [161]; понятие устойчивости по отношению к части переменных [127] и со­ ответствующая теорема [179]; теорема Четаева о неустойчивости [213] и два следствия из неё, установленные значительно раньше и извест­ ные как первая и вторая теоремы Ляпунова о неустойчивости [127]; теоремы об асимптотической [127], эквиасимптотической [297] и ча­ стичной асимптотической [179] устойчивости. В [127] также доказаны утверждения о неустойчивости и асимптотической устойчивости, уста­ навливаемым по первому (линейному) приближению. Использование этих двух утверждений, связанных с анализом собственных значений матрицы А и характером убывания при ||а?|| —>0 вектор-функции F в уравнении

оказывается удобным во многих практических приложениях. Классические подходы в исследовании устойчивости систем обык­

новенных дифференциальных уравнений связаны со следующими те­ оремами: теоремы Барбашина и Красовского для периодических и автономных систем [14, 15]; теорема Матросова, касающаяся асимпто­ тической устойчивости [138р; теорема Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях (тотальной устойчивости) [133]; теоремы Калмана [263] и Якубовича [221] в частотном методе для управляемых систем [170]. Особое внимание уделим методу сравне­ ния [119], обобщающему давно известные теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости и, по-видимому, являющемуся предпо­ сылкой метод интегральных соотношений для уравнений с частными производными. В широком смысле метод сравнения устанавливает определённые динамические свойства в исходной модели в предполо­ жении, что некоторыми динамическими свойствами обладает вспомо-

В этой же работе с помощью данной теоремы проанализирована асимптотическая устойчивость произвольного невозмущённого движения гироскопа.

14 ГЛАВА 1

гательная модель. Примерами здесь могут служить теорема Штурма о нулях на отрезке, дифференциальные неравенства для систем обык­ новенных уравнений, интегральные неравенства типа Гронуолла и Вендорфа. Как и прямой метод Ляпунова, метод сравнения не требует точного решения уравнений возмущённого движения, благодаря чему находит широкое применение в приложениях.

Устойчивость критических точек дифференциальных систем, име­ ющих гамильтонову форму, напрямую связано с устойчивостью рав­ новесия механических систем с конечным числом степеней свободы. Ключевое достаточное условие устойчивости консервативной системы (теорема Лагранжа—Дирихле) утверждает, что положение равновесия будет устойчивым в каждой точке, где потенциальная энергия име­ ет изолированный минимум. Требование изолированности минимума является сильным, и известны примеры, когда при его отсутствии устойчивость имеет место (замечания Пенлеве) (см. [180]). Условия обратимости теоремы Лагранжа—Дирихле с использованием вспомо­ гательных функций описываются теоремой Четаева [213]. Обращения же с использованием уравнений первого приближения связаны с те­ оремой Ляпунова [127] и при более общих допущениях с теоремой Койтера [265].

Большое число классических исследований посвящено устой­ чивости равновесия механических систем с п степенями свободы при наличии диссипации и гироскопических сил. Сошлёмся здесь на исторический обзор [180] по этой тематике, затрагивающий обобщения теоремы Томсона—Тэта (утверждение Сальвадори), условия гироско­ пической стабилизации и дестабилизации, а также вопрос устойчивости точек либрации в ограниченной задаче трёх тел [136].

А. А. Мовчаном и А. М. Слободкиным в шестидесятые годы прове­ дено систематическое обобщение прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости механическим систем с бесконечным числом степеней свободы. В [141] рассмотрена тонкая упругая пластинка, шарнирно опёртая по двум сторонам и подверженная действию силы в своей

Пусть L(w, t) — класс функций, удовлетворяющих уравнению движения, граничным условиям шарнирного опирания и дополни­ тельным условиям гладкости (непрерывности по совокупности x,t

функций w, wxt, wxxt, wXXXXi wtt). Функция w(x,t) = 0 класса L, которой в R(w,p) отвечает одна фиксированная точка 0, называется невозмущённым движением, остальные же кривые из L возмущённым.

Определение 1.1. Движение w(x,t) = 0 называется устойчивым, если для любого £>0 существует 6(е)>0 такое, что для любого эле­ мента w(x, t) Е L, удовлетворяющего неравенству р[0, w(x, £0)] < б, имеет место неравенство р[0, w(x, t)] < е, t> to.

Вкачестве функции Ляпунова выбирается некоторый функцио­ нал, который в силу уравнений краевой задачи и неравенств Фридрихса при значениях нагрузки меньших эйлеровской является положительно определённым. Следовательно, из основной теоремы прямого мето­ да Ляпунова невозмущённое движение w(x, t) = 0 устойчиво, причём функцию р можно взять в виде (1.3).

Вработах [142, 144] дано определение устойчивости движения по двум метрикам:

Определение 1.2. Невозмущённое движение w° называется устой­ чивым по метрикам (р\,рг), если для любого £>0 существует 6(e)>0 такое, что для любого возмущённого движения w(wo,to,t), удовлетворяющего неравенствам p\(w°,wo)<6 и pj(w°, wo)<6 при t — to, имеет место неравенство p\[w°Jw(woitoyt)]<e при t>t0.

Из этого определения при pi=p2=P получается определение 1.1. Для процессов с запаздыванием можно дать следующее опреде­

ление устойчивости по двум метрикам:

Определение 1.3. Невозмущённое движение w° называется устой­ чивым по метрикам (p\,pi), если для любого е > 0 существу­ ет 6(e) > 0 такое, что для любого возмущённого движения w(wo, to, t),удовлетворяющего неравенствам р\[(W°,W(WQ,tQ, t)]<6 и P2[w°, W(WQ1to, £)] < 6 на начальном пути деформирования t°^t^to, имеет место неравенство p\[w°, 10(100^ 0,t)]<e при t > to.

Сформулируем теперь основную теорему Ляпунова—Мовчана [142-144], являющуюся достаточным условием устойчивости (а во многих случаях и необходимым условием, т.с. критерием устойчиво­ сти) процесса по двум метрикам.

Теорема 1.1. Невозмущённое движение устойчиво по метрикам (P\,Pi), если в силу уравнений краевой задачи существует положи-

ив силу неравенств Фридрихса положительно определена по мерам р5

иРе

о

Следовательно, по теореме 1.1 равновесие устойчиво по парам метрик

(*>5,Al) ИОб,Р4).

В случае бесконечной с обоих концов струны существует точное решение Даламбера задачи (1.5)

x - a t

из которого следует устойчивость по (ра^Ра) или просто по /94. Меж­ ду тем H(w) (1.6) не является положительно определенной ни по мере р4 (1.7) ни по соответствующей ей статической мере р4$

Интеграл энергии здесь даёт лишь частичное представление об устой­ чивости, которой может обладать система.

Более общим примером служит задача об устойчивости огра­ ниченного упругого тела в рамках линейной теории. Потенциальная энергия упругого тела записывается следующим образом

На границе Е = Eu |J £ , U ^иа заданы однородные граничные условия. Тогда из неравенств Корна

следует устойчивость равновесия по паре метрик (р1,р2), определяе­ мых (1.4).

Таким образом, интегральная мера H(w) как аналог функции Ляпунова не совсем физична в задачах устойчивости. Особенности понятия устойчивости равновесия в смысле Ляпунова для систем с

бесконечным числом степеней свободы отмечены в [192]. Эти особен­ ности опять могут быть проиллюстрированы на примере однородной упругой струны и краевой задачи (1.5) для неё. Основной вопрос заключается в следующем: малость каких величин5* (перемещений, скоростей, деформаций, более высоких производных от w по х и t) необходимо потребовать в начальный момент времени для того, чтобы равновесное положение струны и;(ж,£) = 0 было бы устойчивым по некоторой наперёд заданной мере? Или, другими словами, по каким парам мер равновесие w(x11) = 0 устойчиво на бесконечном интервале времени?

Частичный ответ на поставленный вопрос приведён ниже в таб­

лице.

Символы в каждой из строк показывают, какие производные w должны быть достаточно малы при t — 0 для того, чтобы величина, стоящая в этой строке слева, была мала при t > 0. Так, например, если

Pi\t=о = supx(\wxx(x,0)\ + |w*t(a?,0)|) < S, то p%(t) = supx(\wxx(x,t)\ +

\wxt(x,t)\ + |г%(ж,£)|) < e(£), и исходное состояние струны устойчиво по паре мер (рър%) и по мере pi.

Видно, что одновременная малость начальных отклонений и начальных скоростей вовсе не гарантирует малость скоростей и дефор­ маций даже на конечном интервале времени (если при этом не обеспе­ чена малость начальных деформаций). В этом состоит принципиальное различие понятий устойчивости по Ляпунову решений обыкновенных дифференциальных уравнений [127, 213] и уравнений с частными про­ изводными. Необходимость рассмотрения в случае последних понятия устойчивости по нескольким мерам иллюстрируется в [192] и на более

Везде в [192] малость величины понимается в смысле метрики рь (1.8), т.е. по норме пространства непрерывных функций.

сложных (двумерных и трёхмерных) примерах. Характер непрерывной зависимости решений уравнений с частными производными от началь­ ных данных (а именно с ним связано классическое математическое понятие устойчивости) может быть разнообразным и не иметь анало­ гов в теории обыкновенных уравнений даже на сколь угодно малом интервале времени. Итак, всякое определение устойчивости равнове­ сия механической системы с бесконечным числом степеней свободы, как подчёркивается в [192], должно удовлетворять основному требо­ ванию: «независимо от того, будет ли (в смысле этого определения) равновесие устойчивым или неустойчивым на бесконечном интервале времени, устойчивость должна иметь место на малом интервале вре­ мени. Таким образом, понятие устойчивости равновесия тесно связано с вопросами корректности постановки задачи Коши для уравнений возмущённого движения» [194].

Результаты аналогичного характера были получены и в [300], где показано, что равновесие невесомого упругого шара, закреплённого по поверхности, неустойчиво в том смысле, что малость начальных скоростей (при отсутствии начальных смещений) не обеспечивает в по­ следующем движении малости напряжений. Указанная неустойчивость проявляется на любом сколь угодно малом интервале времени.

Энергетический критерий устойчивости равновесного состояния упругого тела [233, 266], сформулированный Ляпуновым ещё в конце прошлого века, получил в [191] чёткое обоснование с позиций прямого метода Ляпунова и понятия устойчивости по двум мерам. Изучена устойчивость стационарного решения смешанной краевой задачи для одной нелинейной системы уравнений в частных производных, а в качестве примера рассмотрено равновесие гибкой упруго-растяжимой нити с произвольной зависимостью натяжения от коэффициента удли­ нения.

Дальнейшее развитие теория устойчивости по двум мерам приме­ нительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа (1.1) и функциональным уравнениям получила в работах [119, 137, 271]. В мо­ нографии [190] собраны решения многих задач устойчивости в механи­ ке сплошной среды, где с помощью прямого метода Ляпунова найдены критические значения тех или иных параметров. Среди таких краевых задач отметим примеры, моделирующие флаттер панели в потоке газа, колебания упругой хвостовой части самолёта, процесс в однородном химическом реакторе первого порядка с обратной связью и др.

В [282] на основе достаточного условия устойчивости равнове­ сия в форме Ляпунова—Мовчана анализируется равновесие упругой ортотропной прямоугольной пластины под действием тангенциальных нагрузок постоянной интенсивности, непрерывно распределённых в

20 ГЛАВА 1

срединной плоскости. Рассмотрены два варианта нагружения: консер­ вативное и неконсервативное (следящие за направлением касательной к срединной поверхности силы).

Построению функционала Ляпунова в задачах устойчивости упру­ гих стержней, пластин и оболочек посвящены работы [236, 268, 269]. Формулировки общих утверждений об устойчивости вязкоупругих тел с позиций прямого метода связаны с обобщением на континуальные системы соответствующих утверждений из теории устойчивости функ­ циональных уравнений с неограниченным последействием [107]. Такие обобщения в ряде задач для вязкоупругих стержней и одномерных конструкций сделаны в [74, 292].

Разнообразие имеющихся методов и подходов, напрямую не свя­ занных с построением функционала Ляпунова, объясняется различием в целях исследования устойчивости. Одни из них применимы только для процессов определённого класса, другие для определённых физи­ ческих моделей. Так, например, для процессов, заведомо неустойчи­ вых по общим определениям, важной является методика нахождения критического времени, т. е. времени, при прошествии которого ха­ рактеристики процесса достигают фиксированных значений (условная устойчивость или устойчивость на конечном интервале времени [1]). В обзорах по устойчивости деформирования вязкоупругопластических тел и элементов конструкций [1, 8, 28, 29, 116, 215] внимание акцен­ тируется на нескольких классических подходах. Остановимся в этом параграфе на них и дадим предпосылки некоторым другим методам, о которых подробнее будет идти речь в последующих параграфах.

Устойчивость деформирования с позиции энергетических методов сводится к вариационной проблеме экстремума некоторого функци­ онала, который в потенциальных системах является потенциальной энергией. Это бывает более эффективно, когда точное решение кра­ евой задачи затруднено из-за её сложности, а также привлечения термодинамики и анализа связанных процессов. В задачах устойчи­ вости упругих стержней, пластин и оболочек энергетические методы были применены Дж. X. Брайаном, С. П. Тимошенко и В. Ритцем. При их использовании прогибы *конструкции описываются бесконечными рядами с неизвестными амплитудами при каждой моде. Эти амплитуды определяются из принципа виртуальных работ (метод Рэлея—Ритца). Отметим здесь и метод Бубнова, состоящий в том, что постановка крае­ вой задачи заменяется условием ортогональности уравнения, в которое подставлено выбранное представление искомой функции, к самой этой функции [60].

Обзор задач устойчивости сложных упругих тел и анализ, выпол­ ненный на основе энергетических методов, дан в [6]. Здесь энергети­