книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Итак, из всех гармоник п е N в вязком пределе наиболее опас­ ны осесимметричные, что подтверждается классическими результата­ ми [112, 242, 251, 293].

§ 13. Идеальножёсткопластическое течение Куэтта

Как показано в п. 7.5, необходимым условием справедливости общих оценок устойчивости, выведенных там, является неравенство Т# > 0. Это отсекает, например, идеальножёсткопластические течения (течения Сен-Венана). Однако для последних тоже можно сформули­ ровать линеаризованную краевую задачу устойчивости в возмущениях.

13.1. Постановка обобщённой задачи Орра—Зоммерфельда. Вос­ пользуемся уравнением (8.13) и выпишем его для идеальнопластиче­ ской среды. Для этого надо формально устремить число Рейнольдса

в бесконечность. В пределе Re оо будем иметь уравнение второго порядка

где безразмерный предел текучести т3 —x/Re отражает уже не отно­ шение вязких и пластических свойств среды, а характеризует лишь пластические свойства.

При т3 = 0 уравнение (13.1) сводится к хорошо изученному уравнению Рэлея. К соответствующему течению применимы теоремы из теории устойчивости идеальной жидкости — условия Рэлея и Фьортьофта—Хойланда, а также теорема Ховарда о полукруге [104] — связанные со знаком кривизны профиля скорости внутри области течения. Современный обзор вопросов о разложении по собственным функциям в задаче Рэлея, а также новые результаты, относящиеся к устойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости, приведены в [197].

Известна возможная неединственность решения уравнений дви­ жения идеальнопластических тел [146]. Одному и тому же сдвиговому напряжению т3 соответствует, вообще говоря, бесконечно много зна­ чений v°l. Следовательно, для плоского течения Куэтта в качестве основного профиля можно выбрать любую функцию г;°(ж3), прини­ мающую заданные значения в точках 0 и 1. Граничные условия в возмущениях имеют при этом вид

104 ГЛАВА 3

длины волн превышают всякие линейные размеры Земли. Следователь­ но, ограничение (13.9) в геофизических и геотектонических задачах не оказывает существенного влияния на устойчивость идеальножесткопла­ стического течения в плоском слое.

13.3. Течение Куэтта в узком смысле и длинноволновое прибли­ жение. Рассмотрим подробнее краевую задачу (13.1), (13.2) в случае линейного профиля скоростей по толщине: v°(x3) = Ж3, 0 < Х3 < 1,

что представляет собой течение Куэтта в узком смысле. Уравнение (13.1) перепишется в виде

a после замены независимого переменного ( = 2(s x $ -ia -2ic) сводится к уравнению Уиттекера

d2<b

которое имеет фундаментальное решение

связанная с вырожденной гипергеометрической функцией Ф( 1+ гс, 2; С) соотношением

М-,с:1/2(С) = СеЧ/2Ф(1+*с,2;С) =

которое неявно описывает зависимость частоты а от волнового числа 5. Далее следует подставить (13.13) в (13.12) и (13.15) и получить уравнение, содержащее четырёхкратные степенные ряды по (о($,а) и £i(s,а). Аналитическое исследование в этом направлении, есте­ ственно, затруднено. Поэтому ниже остановимся на длинноволновом приближении в данной задаче.

Разложим в ряд Тейлора по s вблизи 5 = 0 функцию D(s,a) в соотношении (13.15) и удержим первые два ненулевые члена этого разложения. Так как Со(0,or) = (i(0,а), то D(0,а) = 0, и будем иметь

d 2D

градиентом давления в течении Пуазейля, переменной скоростью гра­ ницы в течениях Куэтта и т.д.) [2, 11, 16, 25, 34, 84, 130, 131, 184-187, 240, 294], а именно явной зависимостью материальных функций от времени при постоянных внешних воздействиях. Приводится также постановка линеаризованной краевой задачи устойчивости одномер­ ного наследственно вязкопластического сдвига относительно малых возмущений.

14.1. Наследственно вязкопластическое течение Пуазейля в плос­ ком слое. Пусть максимальное касательное напряжение Т(х,t) и максимальная скорость скольжения U(x,t) связаны следующим обра­

зом

о

с регулярным ядром M(t) ^ 0, описывающий релаксацию вязкости. Рассматривается плоскопараллельное течение материала со ска­

лярными соотношениями (14.1), (14.2) в слое 0 < ж3 < ft, причём причиной сдвига является постоянный по времени перепад давления Vp по оси Oxj (обобщённое течение Пуазейля). В качестве бази­ са обезразмеривания проще всего выбрать тройку величин {Vp,p,ft}.

Роль числа Рейнольдса Re выполняет комбинация у/ph3Vp /р, без­ размерный же предел текучести равен rs/(hVp).

Единственное уравнение движения относительно продольной скорости v\(ж3,£) = v(x,t) в безразмерных переменных принимает следующий вид

Наследственно вязкопластическое течение реализуется в двух не свя­ занных между собой пристеночных слоях 0 < х < £(t) и 1-£(t) < х < 1, где £(t) — неизвестная граница, отделяющая зону течения от жёсткой прослойки.

Таким образом, на границах х = 0, х = £(t) и при х = 1/2 (из со­ ображений симметрии относительно оси х = 1/2) должны выполняться условия

В качестве начального условия можно взять соответствующее стацио­

Из выражения (14.8) видно, что, если для некоторого ядра ре­ лаксации предельное при а —►О значение А равно нулю (напри­ мер, для степенного ядра), то пре­ дельный профиль, если он суще­ ствует, представляет собой линей­ ную функцию. Для экспоненци­ ального ядра, релаксирующего до нуля, как было найдено выше, А0 = у^йе/п. Предельные профи­ ли скоростей для некоторых А0

Д()1 < ^02 < ^03 < ^>4

изображены на рис. 15. Видно, что, если А0 > 1 (время релаксации мало), то почти весь слой за исключе­ нием тонкой пристеночной области практически не движется. Если же Ао < 1 или Ao « 1, то определяющую роль играют мгновенные свойства материала.

Полный анализ длительного поведения материала в пространстве оригиналов может быть основан на разложении изображения (14.8) в ряд по а [117].

14.3. Постановка линеаризованной задачи устойчивости. Приведё постановку линеаризованной краевой задачи устойчивости одномерно­ го наследственно вязкопластического сдвига. Подставим в уравнения движения в возмущениях (6.11) проварьированные с учётом (14.1) векторные определяющие соотношения

и далее стандартным путём придём к одному уравнению относительно функции тока ^(жь ж3,t)