книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

ческий критерий бифуркационной потери устойчивости представлен в двух основных формах — форме Брайана и форме Тимошенко. Для описания закритического поведения упругих элементов конструкций рассмотрены задачи в нелинейной постановке.

Основы теории устойчивости упругопластических систем были заложены в конце XIX века Т. Карманом, а в середине XX века развиты А. А. Ильюшиным. В [94] изложена строгая теория бифурка­ ций и устойчивости за пределом упругости, хорошо соответствующая экспериментальным данным. В этой теории докритическая стадия деформирования описывается простым процессом нагружения. При бесконечно малом же продолжении процесса за точку бифуркации нагружение становится квазипростым. Исходя из этого для описания докритического этапа применяется теория малых упругопластических деформаций, а затем для анализа процесса выпучивания деформацион­ ная теория. Таким образом, в данной теории момент перехода процесса из докритического в закритический режим учитывается посредством «переключения» определяющих соотношений, что соответствует изло­ му траектории деформации. Как показано в [85], теория устойчиво­ сти Ильюшина согласуется с экспериментами значительно лучше чем аналогичные подходы, построенные на основе теории течения с изо­ тропным упрочнением и теории пластичности для траектории средней кривизны (несмотря на то, что последние две теории охватывают более широкий класс траекторий деформаций).

В [85, 86] построена модифицированная теория бифуркаций и устойчивости упругопластических процессов. В основе принятой здесь методолгии лежит общий принцип: процесс нагружения системы ста­ новится неустойчивым, если сколь угодно малое его продолжение вызывает быстрый рост перемещений и деформаций в каких-то точках тела. Все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок принимаются за возмущения, и об устойчивости исходного процесса нагружения судится по пребыванию возмущённой системы в окрест­ ности основного процесса. Следовательно, выпучивание системы с начальными несовершенствами так же, как и послебифуркационное поведение идеальной системы (без начальных несовершенств), интер­ претируются как некий возмущённый процесс. Критическое состояние этого процесса имеет место в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре). Достижение же предельной точки принимается за критерий неустойчивости в квазистатике, а соответствующая нагрузка считается критической.

Вариационные принципы применительно к устойчивости неупру­ гого поведения тел изложены в монографиях [145, 175, 295]. Наличие диссипации в таких средах приводит к тому, что потенциальной

функции, строго говоря, не существует. Её заменяет функционал пе­ ременных состояния, зависящий от внешних параметров (например, функции нагрузки от времени для вязкоупругих систем).

Неустойчивость как причина наблюдаемого качественного из­ менения состояния тела в [102] и ряде других работ связывается с появлением в процессе деформирования бифуркационных (BN) и псевдобифуркационных (FIBN) точек. Границу устойчивых состояний определяет точка бифуркации ВО, отвечающая условию неединствен­ ности решения. Первый в истории деформирования момент неедин­ ственности первых приращений внутренних параметров определяется точкой Б'1 равноактивной бифуркации процесса. Если BN-точки в процессе отсутствуют или им предшествуют ПБЫ-точки, то неустой­ чивость (выпучивание, прощёлкивание) наступает после прохождения N таких точек.

К энергетическим и бифуркационным методам анализа устойчи­ вости следует отнести и аппарат теории катастроф [54,171]. Принимает­ ся, что n -параметрическое семейство функций состояния V(x\,... ,жт ; cj,... ,сп) механической системы зависит от т переменных состояния и п управляющих параметров. Классификация критических точек V разной степени вырожденности и описание качественного поведе­ ния системы в окрестности этих точек составляют сущность мате­ матической теории катастроф применительно к задачам устойчивости упругого либо термодинамического равновесия. Существуют два основ­ ных принципа-критерия потери устойчивости: принцип максимального промедления и принцип Максвелла [306]. Согласно первому из них состояние системы определяется в любой момент локальным (ста­ бильным) или метастабильным минимумом функции состояния до тех пор, пока он существует. Данный принцип обычно применяется при описании градиентных динамических систем, когда мы не располагаем способом узнать, стал ли некоторый отдалённый минимум глобально устойчивым или ещё нет. Принцип Максвелла гласит, что состояние системы определяется глобальным минимумом функции состояния. Такой принцип применим для систем, характеризуемых функцией рас­ пределения. Уровень шума (флуктуаций) может оказаться достаточным для преодоления потенциального барьера и переведения системы в качественно другое положение с меньшим значением потенциальной функции6*.

Бифуркационное множество в гс-мерном пространстве, постро­ енное на основе принципа максимального промедления, определяется

Такое явление в термодинамике носит название «фазовый переход» или «фазовый

скачок».

Поскольку последнее условие локальное (т.е. зависит лишь от произ­ водных F), то и множество называется локальным бифуркационным. При использовании же принципа Максвелла бифуркационное множе­ ство определяется из уравнений Клаузиуса—Клапейрона и называется нелокальным.

С помощью аппарата теории катастроф в [40, 305] получены критические нагрузки и найдены формы потери устойчивости сжато­ го линейно упругого стержня с нелинейными связями. Качественное механическое различие описанных выше бифуркационных множеств на примере устойчивости сжатой по контуру прямоугольной упругой пластины с реологическими подкрепляющими элементами проиллю­ стрировано в [253]. Изучение потери устойчивости подкреплённых упругих пластин, оболочек и других элементов конструкций с пози­ ции теории особенностей проведено в многочисленных работах (см., например, [244, 254, 282, 307].

Предпринималась попытка7^ перенесения качественных методов теории катастроф на наследственно-деформируемые тела и связанной с этим классификации особых точек в задачах о закритическом по­ ведении элементов конструкций при ползучести. Эта классификация основана на продолжении основного движения за границу устойчиво­ сти. В [64, 65] с помощью первого метода Ляпунова получен критерий динамической устойчивости при консервативном и неконсервативном нагружениях. Подход, использованный в [64], отличается тем, что об устойчивости равновесного положения наследственно деформируемо­ го тела судится по квазистатике, т.е. динамическими слагаемыми в возмущённых уравнениях пренебрегается.

В монографии [67] излагаются некоторые вопросы квазистатической устойчивости трёхмерных тел для нелинейно вязкоупругой,

7^См. Бондаренко Ю.Л.У Громов В. Г Основные теоремы о квазистатической не­ устойчивости и послекритическом поведении наследственно-деформируемых оболочек. Тула, 1985. 20 с . - Деп. в ВИНИТИ 04.10.85,N« В;

Бондаренко Ю.Л., Громов В. Г. Примеры качественного анализа нестационарных бифуркаций, разветвлений, катастроф наследственно-деформируемых систем. Тула, 1985. 28 с . - Деп. в ВИНИТИ 04.10.85,N9 В;

Громов В. Г Неустойчивость, бифуркации, катастрофы установившихся движений наследственно деформируемых тел: Дисс. ... доктора физ.-мат. наук. Тула, Тульский политехи, ин-т, 1984. 371с.

вязкопластической и упругопластической (теория малых упругопласти­ ческих деформаций и теория течения) сред, а также вопросы термовы­ пучивания и устойчивости при ползучести. Как отмечается, для общего линейного реологического тела термин «устойчивость» имеет смысл, отличный от смысла устойчивости при упругих деформациях, так как малое отклонение от положения равновесия вызывает необратимые деформации. Критическая сила в этом случае — наименьшая сила, при которой могут появиться соседние равновесные формы.

В [67] и более поздних работах выделяются три подхода в ис­ следованиях устойчивости трёхмерных деформируемых тел. Первый подход заключается в наложении трёхмерных вариаций на большие докритические деформации. Это оправдано при изучении конструкций, изготовленных из каучукоподобных материалов, а также в задачах гео­ физики о складкообразовании. Второй подход заключается в примене­ нии трёхмерных линеаризованных уравнений при малых докритических деформациях. Он имеет обширную область применения, включающую устойчивость металлических и тонкостенных конструкций, изготовлен­ ных из жёстких материалов с малой сдвиговой жёсткостью. При третьем же подходе, связанном с именами Л.С. Лейбензона и А. Ю. Ишлинского, используются уравнения Ламе, а параметр нагружения вводится специфическим образом в граничные условия. Анализ задач при этом существенно упрощается, так как параметр нагружения не входит в основные уравнения, а, следовательно, и в характеристические уравне­ ния устойчиовсти.

Среди других методов и подходов необходимо отметить метод, связанный с непосредственным анализом уравнений равновесия в воз­ мущениях. Векторное уравнение в возмущениях скалярно умножается на вектор вариации перемещений, на границе области обращающийся в ноль, а затем полученное скалярное соотношение интегрируется по всей области тела. Применяя интегральные неравенства, можно по­ лучить достаточные оценки устойчивости равновесия в зависимости от формы области, вязкоупругопластических свойств материала, за­ даваемых нагрузок и перемещений. Такая методика применительно к анализу устойчивости вязкоупругих стержней и пластин отражена в [75, 80, 172) и некоторых других работах этой же научной школы. Об анало­ ге прямого анализа линеаризованных уравнений равновесия в задачах о течении материала (по существу, это метод интегральных соотно­ шений) подробнее пойдёт речь в последующих главах. Результатами здесь являются достаточные интегральные оценки устойчивости в тех или иных функциональных пространствах известного либо частично известного исходного течения.

§2. Устойчивость относительно малых и конечных возмущений параметров основного движения, внешних, начальных данных и геометрии области

широкое применение в механике сплошной среды. В гидро- и га­ зодинамике хорошо известны метод сращиваемых асимптотических разложений и метод деформированных координат [23]. В теории упру­ гости и пластичности методы возмущений основываются на введении малого параметра, который характеризует возмущение граничных усло­ вий [88]. В монографии [150] изложены современные асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, в частности, методы сингулярных возмущений, используемые в тех случаях, когда непо­ средственные разложения по малому параметру непригодны во всей области. Обширная библиография работ по развитию и применению методов теории возмущений в канонических и неканонических обла­ стях и методов вариации формы границ содержится в [68, 114, 151].

В [91] дана постановка краевой задачи устойчивости вязкопла­ стического течения относительно малых возмущений. Линеаризация уравнений движения проводится вблизи основного состояния, причём это состояние считается известным из тех или иных геометричес­ ких или физических соображений. Возмущения накладываются как на уравнения границы тела, так и на известные кинематические и динамические поля внутри области течения. Внешние данные — по­ верхностные нагрузки и скорости границ — не варьируются. За счёт этого система уравнений, получающаяся после подстановки фунда­ ментальных решений линеаризованных уравнений движения в ли­ неаризованные граничные условия на невозмущённых поверхностях, однородна. Характеристическое уравнение в данном случае связывает параметр частоты возмущения по времени и волновое число (волновые

ях в качестве основных течений вязкопластической среды выбраны растяжение-сжатие бесконечной полосы и растекание толстостенной полой сферы под действием внутреннего давления. В последнем случае одним ,из типов возмущений, наложенных на одномерное растекание v°(r,t), принимается эксцентриситет внутреннего отверстия трубы. Та­ ким образом, в [91] устойчивость основного движения исследуется относительно малых вариаций начальных данных и геометрии области.

Устойчивость вязкопластического течения полосы, круглого прута и круглой пластины изучены в [95, 96] с точки зрения эйлерова подхода.

26 ГЛАВА 1

Критерий устойчивости основного движения в этих работах связан с тем, что в любой точке границы тела угол между вектором перемещения в данной точке и вектором возмущения границы должен быть тупым. Если же этот угол острый, то движение считалось неустойчивым.

Более полный обзор решённых задач об устойчивости вязко- и идеальнопластических течений, моделирующих различные физические являения и технологические процессы, дан в главе 3.

Приведём ниже возможный взгляд на понятие «устойчивость основного движения» физического тела по отношению к начальным ли­ бо постоянно действующим возмущениям. Эта концепция существенно зависит от типа возмущений, накладываемых на систему. Предполага­ ется, что известно решение некоторой краевой задачи, описывающее процесс деформирования твёрдого тела со временем. Это означает, что известны векторные поля скорости гГ(ж,£) и перемещений u°(x,t), тензорные поля напряжений <т°(ж,£), деформаций £°(ж, t) и скоростей деформаций г7°(ж,£), скалярные поля температуры T°(x,t), давления p°(x,t), плотности p°(x,t) и, возможно, другие параметры (связанные поля, условия фазовых и химических превращений одних компонентов в другие и т.д.) как функции эйлеровых координат х и времени t. Из­ вестен также закон изменения границ JFa(x,t) = 0 области, в которой происходит движение. В эту систему границ включаются поверхности, на которых заданы кинематические и динамические условия, условия разрыва или раздела сред, а также поверхности жёстких зон. Если все перечисленные поля не зависят явно от времени, а, следовательно, все границы тела в эйлеровом пространстве неподвижны, то процесс деформирования является стационарным или установившимся.

Пусть наряду с описанным выше процессом (условно процес­ сом А), который называется основным либо невозмущённым и помчается индексом «о», протекает ещё один процесс В, вообще говоря, напрямую никак не связанный с первым. Причиной, по которой эти два процесса рассматриваются вместе, является их близость в неко­ торый момент времени t = to. Если to — величина конечная, то без ограничения общности можно перенести начало временного отсчёта в этот момент и считать to = 0. Значение to может быть равно и -оо8^.

Понятию «близость», использованному в предыдущем абзаце, естественно, придаётся строгий математический характер. В зависи­ мости от того, какие характеристики процессов А и В совпадают при t = to, а какие нет, различают типы начальных возмущений.

При <0 процесс А вовсе не переходит в процесс В, а они протекают независи­

мо друг от друга в двух телах, вообще говоря, с разными определяющими соотношениями. Поэтому не возникает вопрос, откуда взялся процесс В или что привело к возникновению возмущённого движения?

Наиболее классический вид начальных отклонений — возмущения векторных полей скоростей 6v(x,t$) и перемещений 6u(x,tо), тен­ зорных полей напряжений 6a(x,to), деформаций 6e(x>tо) и скоро­ стей деформаций 6v(x,to), скалярных полей температуры 6T(x,to), давления 6p(xrto), плотности 6p(x,to) как функции эйлеровых ко­ ординат. Границы области тела также получили некоторые началь­ ные приращения 6Fa(x,to), а = 1 , 2 , Это означает, что про­ цесс В при t — t0 имел характеристики v(x,to) — (v° +6v)(x,to), Z(x,to) = (a° + 6z)(xy to) и т.д. и протекал в области, ограниченной поверхностями Fa(x, to) = (Fa + *о) = 0, а — 1,2,..., п. Строго заданные в начальный момент t — to функции 6v16<r}...,6Fa служат начальными условиями для некоторой начально-краевой задачи.

Проследим за развитием процесса В при t > to. Пусть матери­ альные функции в телах, где реализуются А и В, как и внутренняя структура этих тел, одни и те же. Кроме того массовые силы и за­ данные на возмущённых границах Fa(x,t) = 0 нагрузки, кинематика, температура и другие внешние параметры не изменяются. Таким обра­ зом, можно сформулировать начально-краевую задачу для процесса В или задачу возмущённого движения. Её решениями будут функции координат и времени v(x,t), <r(x,t), ... , определённые в области с системой границ Fa(x,t) = 0. Эти решения могут сильно отличаться от соответствующих решений, характеризующих процесс А, и иметь собственные качественные особенности, поэтому знаки вариаций в них носят пока чисто условный характер.

Введём набор мер {р^ръ • • • ,/>*}, описывающих начальные от­ клонения 6v(x,to), 6a(x,to), ... , 6Fa(x,to), причём каждая из них является функционалом в своём функциональном пространстве. Ана­ логично будем рассматривать набор текущих мер {р\(t), р2(0>..., Pk(t)}, описывающих развитие возмущений 6v(x,t), 6a(x,t),... , 6Fa(x,t) со­ ответственно.

Определение 2.1. Процесс А называется устойчивым по парам

Sv, 6а, ..., &Fa как функции х и t > £0- Если они удовлетворяют требованиям (2.3) и (2.4), то процесс А заведомо устойчив (и даже асимптотически устойчив) по отношению к начальным возмущениям своих параметров. Если же одно из условий (2.3), (2.4) оказывается невыполненным, то процесс А не будет асимптотически устойчивым, но будет ли он устойчив по Ляпунову—Мовчану, т. е. согласно опреде­ лению 1.2, ничего сказать заведомо нельзя10^.

Ограничения (2.3), (2.4) на заранее неизвестные решения имеют аналогию с полуобратным методом Сен-Венана во многих задачах механики сплошной среды. Если решение задачи не существует в классе выбранных ограничений, то это означает лишь неудачный выбор этого класса. Таким образом, невыполнение одного из требований (2.3), (2.4) — необходимое условие неустойчивости процесса А в смысле Ляпунова—Мовчана.

В случаях, когда основное движение тела не зависит от какойлибо координаты хр, допускается понижение числа независимых пе­ ременных в уравнениях в возмущениях. Это достигается выделени­ ем множителя exp(ispxp) во всех неизвестных функциях. Если же основное движение стационарное, то после выделения множителя exp(atf), а = а* + ш** £ С задача в возмущениях становится фак­ тически статической. После подстановки фундаментальных решений однородных линейных уравнений в однородные граничные условия мы придём к дисперсионно-волновому уравнению, связывающему а и sp. Критерием асимптотической устойчивости будет неравенство а* < О, выполненное при любых sp Е М. Следовательно, анализ устойчивости сводится к выяснению положения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения.

Описанная методика исследования устойчивости является клас­ сической, но на практике применяется достаточно редко. Дело в том, что фундаментальные решения можно выписать явно только в самых простых случаях основного движения. Обычно такими состояниями являются покой и равномерное прямолинейное движение среды, а класс соответствующих задач охватывает устойчивость равновесия раз­ личных структур с границами разделов в силовых или температурных полях (конвективная, плотностная либо гравитационная устойчивость). Для нетривиальных основных процессов фундаментальные решения записываются в виде рядов либо интегральных преобразований, что

,0^По этому поводу говорят, что неустойчивость «в малом» ещё не означает не­ устойчивости «в большом». Действительно, критические условия потери устойчивости относительно малых возмущений обычно бывают более сильными чем относительно ко­ нечных возмущений.

30 ГЛАВА 1

делает затруднительным численно-аналитическое исследование харак­ теристического уравнения. Здесь возникают вопросы сходимости и приближённой аппроксимации решений. Наконец, возможны случаи, когда само основное движение (процесс А) точно найти нельзя, а мож­ но определить численно либо экспериментально с некоторой степенью точности какие-то его характеристики. Тогда на помощь приходят интегральные методы анализа устойчивости, такие как метод срав­ нения [119], метод интегральных соотношений [104], прямой анализ уравнений равновесия [75, 80, 172] и другие. Результат применения подобных методов — получение достаточных интегральных условий устойчивости в виде достижения безразмерными параметрами зада­ чи своих критических значений. Именно эта информация зачастую представляет практический интерес.

Более общим классом возмущений чем начальные вариации пара­ метров основного движения являются наряду с последними постоянно действующие возмущения внешних данных: объёмных (pFi)°(xyt), по­ верхностных P-(xyt) сил, заданных на границе перемещений U?(xyt), скоростей Vi(xyt), температуры T?(xyt) и других связанных полей. Другими словами, внешние данные в задаче для процесса В следующие: [(pFi)° + 6(pFi)](x,t), (Рf + 6Pi)(x,t), ..., (Т° + 6T)(x,t), причём величины со знаком 6 — заданные функции времени и координат объёма либо поверхности тела.

Наряду с системой мер {рь • • •»Pk}, описывающих начальные от­ клонения параметров движения, введём ещё одну систему { ft(t)y..., /?/(£)}. Каждая из I функций времени ft — мера в функциональ­ ном пространстве, которому принадлежит соответствующая внешняя величина.

Обобщая определение устойчивости по двум мерам в смысле Ляпунова—Мовчана (определение 1.2), сформулируем понятие устой­ чивости относительно начальных возмущений параметров основного дви­ жения и постоянно действующих возмущений внешних данных.

Определение 2.2. Процесс А будем называть устойчивым по парам

6k+i(ё) такие, что для любого процесса В, удовлетворяющего нера­ венствам (2.1) при t = to и

\\б(рР)(хуЩр{ < 6к+1, \\6P(xyt)\\p2< 6к+2 , ... ,

\ m x M p ' < вк+1

при t > to, имеют место неравенства (2.2) при t > to-