книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

найдено напряжённое состояние в предположении о том, что девиатор напряжений не зависит от расстояния до оси конфузора. Поле скоростей в области течения построено в [207]. Аналогичная задача для конического конфузора (задача Соколовского—Шилда) впервые исследована в [196] и затем в [216].

Различные аспекты теории течения Сен-Венана между неподвиж­ ными поверхностями, связанные с технологией выдавливания матери­ ала в виде тонкого листа, приведены в [5, 90, 100, 154, 237]. Наиболее полный обзор работ по данной тематике дан в монографии [82].

Ниже рассматривается возможность идеальножёсткопластичес­ кого течения внутри канала с криволинейными сходящимися стенками под действием давления на бесконечности. Найдены формы стенок, при которых компоненты девиатора напряжений постоянны вдоль ли­ ний тока. Доказывается, что наряду с классической формой конфузора возможен профиль в виде сходящихся логарифмических спиралей. Для таких конфузоров аналитически определяются поля скоростей и напря­ жений в области течения. Устанавливается связь между давлением на бесконечности и расстоянием между стенками, при которой возможно <псевдорадиальное» течение.

15.1. Постановка задачи о течении в плоском конфузоре с криво линейными стенками. Деформирование идеально пластического материала с пределом текучести

при сдвиге rs происходит внутри плоского кон­ фузора с неподвижными шероховатыми стенка­ ми, имеющими форму криволинейного цилиндра. Скорости всех точек перпендикулярны образую­ щей цилиндра (Ох3) (рис. 16).

Введём в плоскости поперечного сечения конфузора невырожденную систему ортогональ­ ных координат qj = qj(xk) с коэффициентами Ламе #(_/), диагональной фундаментальной ма­ трицей gjk и символами Кристоффеля второго рода Г”*, j,fc,ra = 1,2. Пусть на стенках кон­ фузора q2 —ft и q2 = ft, а расстояние от оси (Охз) до отверстия, из которого материал вытека­ ет в виде тонкого листа, вдоль координатной ли­ нии q2 = q2o равно gwРассматриваются плоские деформации, так что течение занимает область

О = {<7i > Q\o\ ft < qi < ft}-

Включим в базис обезразмеривания величи­ ны {т.5, gw, Vf)}, где Vo — характерная скорость

vQ{ = vlf в точке (qWl <feo), т. е. на выходе конфузора27). Далее соотно­ шения выписаны в безразмерном виде.

Определяющие соотношения для несжимаемой идеальнопласти­ ческой среды Сен-Венана, связывающие девиатор sjk тензора напря­ жений (Tjk и тензор скоростей деформаций Vjk, запишем как

и условие несжимаемости*28*

(15.3)

вместе с соотношениями (15.1) замыкают систему уравнений в области Q относительно компонент вектора v и функции давления р. На гра­ ницах q2 = /?i и q2 = /?2 задано условие прилипания гГ = 0. При q > I приложено сжимающее давление, распределённое некоторым образом по qi и являющееся причиной конфузорного течения материала.

В терминах тензора Sjk уравнения (15.2) перепишем следующим образом:

{а; 7} = {(1;2),(2; 1)} ; еа7 — символ Леви-Чивиты

Исключив из уравнений равновесия (15.4) функцию давления и учиты­ вая определяющие соотношения (15.1), задачу можно свести к одному

27)Здесь и далее под v4) = Vj, <rqjqk = (Tjk и т.д. понимаются физические ком­ поненты векторов и тензоров в ортогональной системе координат. Запятая в индексе означает частную производную по соответствующей координате qj .

28*Скобки в индексах означают, что данная величина формально не является век­ тором или тензором. В (15.2) и (15.3) суммирование происходит по повторяющимся ин­ дексам, не заключённым в скобки.

15.3. Возможные ортогональные системы координат. Найдём все пары координатных линий в плоскости (gj,g2), соответствующих ортогональным системам координат, коэффициенты Ламе которых удовлетворяют требованиям (15.8). Алгебраическая система уравнений

относительно частных производных dxj/dqk (dx\/dq\ = а\ dx2/dq\ = 6; dx\/dq2 = с; dx2/dq2 = d) недоопределена и имеет общее решение

Я ( . )

Функцию a(gi,g2) находим из условий равенства смешанных произ­ водных

Рассмотрим два случая, соответствующих (15.8), (15.9).

Случай 1. Решая систему (15.12) при Я(2) = Я(д|), Я (|) = Я'(д|), получим а = Я'8шд2; Ъ— ±Н' cosg2; с = Я cosg2; d — THs\nq2, т.е.

Так как система координатных линий остаётся прежней при любой диагональной замене координат q°{ = q°\(q\)\ g2 = ^2(^2) [163], про­ изводя в (15.13) замену q\ = Я(д|); g2 = g2, придём к полярным координатам (г = g?; $ = д|). Эквипотенциальные линии (окружно­ сти и лучи) в данном случае соответствуют классическому плоскому конфузору с прямолинейными стенками (д2о = 0; р2 — Анали­ тическое решение задачи о пластическом течении Сен-Венана в таком конфузоре (задачи Надаи—Хилла) приведено в [207, 275]. Оно имеет вид

к

126 ГЛАВА 4

где

г (\+а2)/а2

Таким образом, искомой ортогональной сеткой на плоскости (х\,х2) являются два семейства логарифмических спиралей (15.20) (С',' > 0, с? > о, А ф 0). Так как на стенках плоского конфузора qi — qi — p2, то он имеет характерную форму, изображённую на рис. 17. Найденные криволинейные формы стенок конфузора (15.20), в котором осуществляется идеаль­

Отметим здесь аналогию с плоским движением ньютоновской несжимаемой жидкости, а именно, с точным решением Гамеля, опре­ деляющим траектории частиц в виде логарифмических спиралей в копфузоре с криволинейными стенками [112].

15.4. Аналитическое решение задачи для спиралевидных конфузоров. Подсташшя (15.9) последовательно в (15.6), (15.7) и (15.4) и избашшясь от функции давления, получим обыкновенное уравнение, которое имеет интеграл

Из первого же уравнения (15.4) следует распределение давления в Q

где C(q2) — пока неизвестная функция. Её физический смысл — распределение давления на выходе конфузора. В случае конфузорного течения Р > 0, в случае же диффузорного — Р < 0.

Проводя в (15.22) использованную выше замену переменой д2 <—< F(q2), получим уравнение

F2,2 dqi

В зависимости от знака выражения P 2-4(l +.А2) = R интегралы (15.24) записываются по-разному: при R = 0

Используем условия прилипания на стенках конфузора. В силу (15.5), (15.7) и того, что модуль касательного напряжения достигает максимума (|s,2| = 1) при q2 ~ /3\ и q2 —/?2, граничные условия для р имеют вид: <р((3\) = 7г/2, р(р2) = 37г/2 либо р(@\) = 37г/2, р(/32) = тг/2. Подставив их в (15.25) — (15.27), можно найти постоянную интегри­ рования С, а также связать /3|,/32 с интенсивностью Р давления, заданного по закону (15.23). Эта связь необходима и достаточна для существования течения, при котором девиатор напряжений не зависит

1,1237. Численный анализ показывает, что для того, чтобы область Q была ограниченной по q2 необходимо приложить достаточно большое давление Р : Р > 2у/2. Таким образом, из трёх случаев (15.25)—(15.27) реализуется только случай (15.26). Отметим, что при Р = 5, как взято в числовом примере, внешняя стенка спиралевидного конфузора описывается уравнением q2 « 2,0313.

§16. Схлопывание сферического пузырька в вязкопластической и нелинейно-вязкой среде

При схлопывании сферического пузырька в несжимаемой иде­ альной жидкости скорость поверхности пузырька, направленная к его центру, перед самым схлопыванием неограниченно растёт как г_3/2. Большие приращения местных давлений (порядка сотни атмосфер) считаются возможной причиной возникновения кавитации [9, 103J.

В вязкой жидкости при наличии поверхностного натяжения суще­ ствуют два режима схлопывания [81, 291]: при давлении на бесконечно­ сти меньшем критического пузырьки схлопываются за неограниченное время; при давлении большем критического в некоторый момент происходит быстрое схлопывание, сопровождающееся неограниченной кумуляцией энергии. Численный анализ этих явлений выполнен в [3, 19]. Влияние релаксационных эффектов в вязкоупругих жидкостях в рамках общей модели Максвелла учтено в обзоре [21], а некоторые результаты физических и численных экспериментов приведены в [227, 249, 296].

Ниже описывается эволюция радиуса пузырька в вязкопласти­ ческой среде и нелинейно-вязкой жидкости с логарифмическим и тригонометрическим упрочнениями. Проводится сравнение получен­ ных результатов с имеющимися классическими для ньютоновской жидкости.

16.1. Движение границы пузырька в сферически неоднородной среде и постановка задачи Коши. Рассмотрим эволюцию сферичес­ кого пузырька радиуса R(t) в несжимаемой вязкопластической среде

с произвольным упрочнением, параметры которой могут зависеть от расстояния до центра. Будем предполагать, что движение среды в сферической системе координат, связанной с центром пузырька, ра­ диальное (ve — Vtp — 0). Тогда из условия несжимаемости следует, что