книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Так же, как и ранее, при pi = р\ (г = 1,..., к) мы получим аналог определения 1.1 устойчивости по наборам мер {р*, ... , />*}, {р\ для случая постоянно действующих возмущений внешних данных.

В конкретных приложениях значения этих возмущений при конечно же, неизвестны, поскольку флуктуации внешних полей имеют стохастическую, а не детерминированную природу. В таком слу­ чае должны быть заданы их основные вероятностные характеристики — законы распределения в пространстве и по времени, математические ожидания, дисперсии, моменты высших порядков, — а в качестве функций / ? i Д($) взяты вероятностные меры, построенные тем

или иным способом.

§3. Устойчивость процессов деформирования относительно возмущений материальных функций

Гораздо менее исследованным по сравнению с описанными в предыдущем параграфе является направление, связанное с устойчи­ востью относительно возмущений материальных функций. Процесс В протекает теперь в теле со свойствами отличными от тела, в кото­ ром протекает основной процесс А. Кроме того внешние и начальные данные этих процессов, по-прежнему, могут различаться.

Выпишем ниже определяющие соотношения неизотермического связанного процесса деформирования [167], при котором единствен­ ными независимыми параметрами состояния служат тензор-процесс скоростей деформаций Vjj и температура Г. В области ft при t > О имеем семь соотношений

где d = T - T0 , T0 — температура в недеформированном состоянии, и закон Фурье

определяющие соотношения (3.1), (3.2) замыкают систему (21 уравне­ ние) в области (2 относительно компонент тензоров напряжений (Тц и скоростей деформаций Уц, векторов скорости v* и притока тепла

а также скалярных функций: температуры Т , удельной энтропии s и плотности р. Внешними данными здесь являются объёмные силы pFi и мощность внутренних источников тепла pq.

Материальные функции, входящие в (3.1)-(3.6) и определяющие термомеханические свойства среды, суть следующие тензоры чётного ранга: тензор вязкостей СфГ, тензор теплопроводности A,j, матрица которого в силу второго закона термодинамики неотрицательно опре­ делена; тензоры термомеханической связности и скалярная функция а, которую можно выразить через одну из теплоёмкостей ср или cv.

Как и ранее, все параметры основного процесса А — как 21 неизвестную величину так и перечисленные выше материальные функ­ ции тела, в котором этот процесс происходит,— будем помечать индексом «о». Аналогичные параметры для процесса В отличаются от предыдущих на величины 6viy6vijy... уST; SQijy ... у 6а, причём предполагается, что известно, как возмущения материальных функций зависят от времени и координат.

Пусть система мер {7i(0> • »7т(0} характеризует изменение со временем каждой из тп материальных функций для процесса В. Так, например, в качестве норм для оценок тензора четвёртого ранга Cijki и тензора второго ранга Qij можно выбрать следующие

(3.7)

где Qu — интенсивность тензора Q.

Дадим определение устойчивости процесса А относительно на­ чальных возмущений параметров основного движения, постоянно действу­ ющих возмущений внешних данных и возмущений материальных функций тела.

Определение 3.1. Процесс А называется устойчивым по парам метрик {(pi.pi),(р2,р2),. . . (Рьр*)} « по системам мер {ри .. .,/3,} и {71,... ,7т}, если для любого набора е = {£i,•••,£»} существуют

Ш х М ъ ^ ^fc+f+l ) IW (M )II72 ^ ^fc+J+2 ) ••• )

(3.8)

\\6а(х, t)\\jm<

при t > t®, имеют место неравенства (2.2) при t > Не­

устойчивость основного движения согласно определению 3.1 можно рассматривать и в частных случаях, когда внешние данные либо начальные данные не варьируются и совпадают в процессах А и В. При этом все функции времени либо все постоянные следует положить равными нулю. Если же внешние силы и начальные данные не варьируются вообще, то речь идёт о чув­

ствительности данного движения к физико-механическим свойствам материала. Особый интерес здесь представляет случай, когда мате­ риал тела, в котором протекает процесс А, не обладает какими-то свойствами (соответствующие материальные функции равны нулю), а процесс В реализуется в теле, этими свойствами обладающем. Отметим характерные случаи:

1. Устойчивость изотермического (Qij = 0, R^ = 0, а — 0, Aij = 0) либо несвязанного (Qij = 0, Rij = 0) процесса к возмущению термомеханических либо связанных свойств. Сюда надо отнести класс задач о конвективной или тепловой неустойчивости первоначально стабильного (в классе чисто механических возмущений) движения или состояния покоя.

2. Устойчивость линейно вязкого течения относительно возму­ щения пластических свойств. При значениях предела текучести rs больших нуля в возмущённом течении могут возникнуть недеформируемые области (жёсткие зоны), которых в принципе нет при rs —0. Эти области начинают образовываться вблизи тех точек, где в основном движении интенсивность напряжений минимальна. Их наличие может существенно сказываться на характере течения. Так, например, вязкое течение Пуазейля в плоском слое при возмущении предела текучести реализуется в двух несвязанных между собой пристеночных слоях, и граничные условия для такого течения будут уже совершенно иными.

3.Устойчивость идеально пластического течения Сен-Венана относительно возмущения вязких свойств. С вариациями такого рода связаны проблемы единственности основного движения, поскольку введение в пластическую модель вязкости делает диаграмму аи ~ vu взаимооднозначной.

4.Устойчивость движения упругого тела относительно возму­ щения внутренней и внешней (рэлеевской) вязкости, причём потеря

Следует отметить, что понятие «устойчивость материала» в меха­ нике сплошной среды введено достаточно давно Д.Друккером [243]. В случае, если процесс деформирования двумерен либо трёхмерен, это понятие не столь ясно как при одномерном растяжении или сжатии. Строгое определение гласит [159, 243], что в любой квазистатической системе перемещений от равновесной конфигурации работа, проделанная системой сил, поддерживающей равновесие, должна быть положительной. Речь идёт о работе, выполняемой системой дополни­ тельных сил на дополнительных перемещениях (так называемой работе второго порядка), в которую не включается работа, выполненная си­ стемой сил в невозмущённом состоянии (работа первого порядка). Другими словами, нагруженная равновесная конфигурация устойчива, если приложенная система сил не совершает работы.

В[76] также различается устойчивость в малом и устойчивость

вбольшом. «В прямом смысле устойчивость в малом — обычное требование, невыполнение которого означает, что конструкция будет самопроизвольно отклоняться от своего равновесного состояния при фиксированной нагрузке. Кривые нагрузка-прогиб или а ~ е при про­ стом нагружении имеют положительный наклон. Устойчивость в малом для цикла и устойчивость в большом характерны для большинства пла­ стичных конструкционных металлов и пластичных конструкций при рабочих нагрузках и умеренных перегрузках. Условия устойчивости материалов часто неявно подразумеваются в методиках и нормах про­ ектирования, но нельзя предполагать, что эти условия имеют силу и для композитов, поскольку они не являются законами природы»11*.

Из процитированного отрывка следует, что несмотря на тер­ мин «устойчивость материала» имеется ввиду всё-таки устойчивость конкретного движения с заданными параметрами либо чаще всего равновесия конфигурации. «Предельное состояние материала» следует понимать как состояние, в котором внешние нагрузки в заданном движении либо равновесии достигли своих критических значений. По­ сле этого поведение системы неустойчиво в том смысле, что процесс разрушения будет ускоряться и без дополнительного нагружения12*.

и)См. [761, с. 19.

12)Расхождение в терминологии, возможно, объясняется неточностью дословного перевода с английского языка сочетаний «stability of material», «unstable materials» и т. п. в переводных работах [76, 159] и в более поздних русскоязычных статьях, уже использо­ вавших эти термины.

где Jp — скорость /?-ой реакции, и обобщённым уравнением притока тепла

определяющие соотношения (4.1)-(4.4) замыкают систему (2\+5М уравнений) относительно 21 термомеханической величины, перечи­

мощность внутренних источников тепла pq и стехиометрические ко­ эффициенты иархг\ Индекс /3 в (4.2), (4.4)-(4.6) при суммировании пробегает значения от 1 до числа химических реакций в данной точке тела.

К материальным функциям, введённым ранее в § 3, надо добавить

Понятие устойчивости процесса А относительно немеханических взаимодействий различных компонентов в каждой точке области ft также основывается на подходе Ляпунова—Мовчана и может быть математически описано с помощью определений аналогичных 2.1, 2.2 и 3.1. Процесс В характеризуется теперь не только термическими и механическими величинами (v° + 6v)(xyt), (а° + 6a)(xyt) 9 ... , (#° + £#)(£,£), но и концентрациями веществ (са + <5са)(ж,£) ( j ] e дса = 0).

ограничивают вариации концентраций 6са в возмущённом движении. С другой стороны, вариации новых материальных функций РуК

fta , x*a\ C^a^ \ описывающих химико-механические свойства

I3*i/a0 > 0, если вещество а входит в правую часть /7-ой реакции и vap < 0, если

,4*Достаточно основательный обзор современных представлений о понятии хими­ ческого потенциала применительно к теории фазовых превращений в механике сплошной среды дан в [62J.

вещества, могут быть оценены в соответствующих функциональных пространствах.

Неустойчивость данного процесса в многокомпонентной среде по отношению к немеханическим (химическим) взаимодействиям означа­ ет, что при малом варьировании начальных, внешних данных и мате­ риальных функций значения концентрации в возмущённом движении сильно отличаются от своих значений в основном движении. Образова­ ние новых веществ с новыми физико-механическими и термическими свойствами говорит об изменении внутренней структуры материала. Следствием этого является изменение в возмущённом состоянии плот­ ности, модулей упругости, вязкостей и других характеристик, а также наличие новых поверхностей раздела и границ фаз. Вопросы устойчи­ вости и закритического состояния в данном случае довольно сложны и поэтому практически не исследованы.

Типичными материалами, в которых внутренняя структура — важный параметр состояния, являются композиты, описываемые мате­ матическими моделями с разрывными по координатам материальными функциями определяющих соотношений [164]. Согласно постулату макрофизической определимости Ильюшина все эти материальные функ­ ции могут быть найдены из опытов с макроскопическими образцами. Однако таких опытов может понадобиться слишком много, в этом случае можно найти осреднённые материальные функции, входящие

вэффективные определяющие соотношения (например, с помощью опытов с представительными образцами).

Конструкционные особенности внутренней структуры композита определяют сложное, порой малопредсказуемое поведение всего тела

вцелом. Так, композит, составленный из анизотропных элементов, на макроуровне может проявлять изотропные свойства (хаотически ориентированные короткие стальные волокна в бетоне на масштаб­ ном уровне, значительно превышающем длину волокна) и наоборот (длинные стальные волокна в резиновой матрице). Система полостей в упруго-пластической матрице превращает её в композит со сдвиговым

иобъёмным модулями меньшими чем у материала матрицы. Этот ком­ позит проявляет значительные пластические изменения объёма, хотя материал матрицы сам по себе несжимаем. Система же параллель­ ных длинных цилиндрических отверстий в матрице приводит уже к макроанизотропии как в упругой, так и в пластической областях.

Эти и другие примеры [113, 134] свидетельствуют о том, что мно­ гие важные макроскопические свойства композита могут быть скрыты, если не проводить тщательного теоретического и экспериментального анализа его поведения. Сказанное относится и к проблеме устойчи­ вости композитов относительно возмущения внутренней структуры, а

также химического взаимодействия компонентов15*. Например, нали­ чие малой объёмной доли кобальта как пластического связующего в цементированном карбиде вольфрама позволяет реализовать в этом композите прочность равную прочности самих частиц карбида вольф­ рама [76].

В композитах, армированных длинными цилиндрическими во­ локнами, при растяжении или сжатии типичное нарушение струк­ туры — разрыв одного или нескольких волокон и, как следствие, перераспределение напряжений. После разрушения слабейших воло­ кон невозмущённый процесс остаётся устойчивым, но диаграммы нагружения и разгрузки уже не совпадают (хотя материал ведёт себя упруго). В композитах же без связующего таких, как ткани с большим количеством параллельных волокон малого диаметра, трос и других, перераспределение нагрузки происходит квазистатически. Соседние волокна при этом равномерно воспринимают нагрузку с разрушенных волокон.

Перераспределение напряжений через матрицу приводит к то­ му, что изменение упругих свойств материала происходит только в крайне ограниченной области вблизи места разрушения. Пластичность матрицы, а также способность взаимного проскальзывания волокна и матрицы локализуют область микроразрушения и играют важную роль в обеспечении надёжности композита при растяжении-сжатии. Таким образом, один из принципов создания волокнистых компо­ зитов (волокнитов) с устойчивой внутренней структурой заключается в обеспечении возможности плавного перераспределения нагрузок от вышедших из строя элементов к работающим. Неустойчивость здесь трактуется как начало обвального (неуправляемого) разрушения всей структуры.

§5. Потеря устойчивости при численном моделировании процесса

Число точных аналитических решений в задачах механики доволь­ но ограничено. Большая их часть собрана в классических монографиях и является учебным материалом в соответствующих курсах. Решение же, получаемое с помощью численных или аналитико-численных ме­ тодов, должно удовлетворять наперёд заданной точности, кроме того,

15*Что касается последнего, то химические процессы взаимодействия волокон с матрицей хотя и зависят от времени и напряжений, но период их протекания чаще все­ го значительно больше чем рассматриваемое время нагружения и разгрузки. Поэтому для описания текущего состояния в теле можно использовать методы, применяемые для стационарного анализа.

до него желательно добраться с наименьшими затратами. Эту пробле­ му условно можно разбить на ряд этапов [167]: постановка задачи; доказательство корректности постановки; дискретизация задачи и до­ казательство корректности приближённой задачи и её «близости» к исходной; выбор численного метода решения; программирование на компьютере; анализ численных результатов и их сравнение с экспери­ ментом.

Вместе с тем основным требованием, предъявляемым на практике

крешению задачи механики, является его устойчивость по отношению

ктем или иным возмущениям. Для анализа устойчивости важно знать осреднённые характеристики, безразмерные параметры и числа, с достижением которыми своих критических значений связан переход системы в качественно иное состояние. Возникают вопросы:

—можно ли численно выявить критические параметры, при которых некоторый физический процесс теряет устойчивость, если ха­ рактеристики этого процесса заранее неизвестны и сами суть решения некотрой краевой задачи?

—что означает потеря устойчивости при численном модели­ ровании: некорректность дискретизированной задачи (например, не­ устойчивость разностной схемы) или нечто, реально происходящее в физическом теле?

Ответы на эти вопросы далеко не очевидны и, вероятно, неод­ нозначны. При анализе численных результатов в каждой конкретной задаче они имеют свои особенности. Приведём в качестве примера задачу об эволюции радиуса пузырька в вязкой среде под действи­ ем давления на бесконечности [81]. Численный анализ задачи Коши основного движения показывает, что сушествуют,два режима сжатия пузырька. Если безразмерное давление на бесконечности р0с не пре­ вышает критического значения р*, то радиус пузырька R с течением времени t плавно уменьшается до нуля. Если же давление больше этого значения, то происходит резкое схлопывание пузырька, чем теоретически и объясняется явление кавитации.

Какова же причина такого поведения численных кривых R(t) при достаточно большом безразмерном давлении? Можно дать три различных ответа на этот вопрос:

а) это есть устойчивое певозмущённое движение, получающееся

врезультате решения задачи Коши при рх > р*;

б) при р х > р* певозмущённое движение потеряло устойчивость относительно малых начальных и действующих возмущений; неустой­ чивое же решение численно выявлено быть не может в принципе, поэтому результат вычислений — картина того, как ведёт себя система после потери устойчивости;