книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

и решение дискретизированной задачи не имеет ничего общего с решением континуальной.

Экспериментальные наблюдения показывают, что, действитель­ но, при достаточно большом внешнем давлении имеет место кавита­ ционное схлопывание пузырька, поэтому ответ в) неверен. Различие в ответах а) и б) представляет в большей степени теоретический интерес, поскольку оба они подтверждают качественное изменение реального физического процесса при р^ = р*, что и важно для при­ кладного исследователя. В данной же задаче можно точно указать, какой ответ верен. Для этого заметим, что безразмерный параметр р^ обратно пропорционален динамической вязкости среды, окружающей пузырёк. Следовательно, для идеальной жидкости р^ = оо, те. заве­ домо роо > р*. Но в случае идеальной жидкости задача сводится к классической задаче Рэлея, которая имеет точное аналитическое ре­ шение. Из этого решения следует, что время схлопывания конечно, а скорость в момент схлопывания обратно пропорциональна радиусу в степени 3/2. Таким образом, следует выбрать ответ а).

Хорошо известны примеры потери устойчивости численных про­ цессов, отвечающие варианту ответа в). Они соответствуют нарушению признака устойчивости (например, спектрального для линейных задач) численной схемы. Формулировка этого признака включает в себя как физико-механические характеристики системы так и параметры схемы, не имеющие отношения к континуальной задаче.

Вопросы устойчивости, затронутые в §§3-5, достаточно новы, и им предстоит посвятить отдельные исследования. В этой главе огра­ ничимся лишь общими концептуальными положениями, возможными определениями устойчивости по набору мер (аналогичными опреде­ лениям Ляпунова—Мовчана) и кругом тех задач, которые могут быть промоделированы на основе подобного подхода.

Глава 2

Общая линеаризованная задача устойчивости нелинейных течений

Исследование устойчивости невозмущённого состояния в физиче­ ском теле относительно малых возмущений приводит к линеаризован­ ной краевой проблеме, включающей в себя систему линейных по ско­ ростям уравнений в области, систему граничных условий, снесённых на невозмущённые поверхности тела, и, возможно, начальные условия. В случае стационарного основного движения эта проблема сводится к задаче на собственные значения. Примером здесь служит классическая задача Орра—Зоммерфельда для одномерного сдвига вязкой жидкости [18, 58].

Подобная методика применима и при изучении устойчивости тел с нелинейными определяющими соотношениями. Структура соот­ ветствующих уравнений здесь существенно сложнее чем в линейной модели. Для вязкопластических течений задача осложняется наличи­ ем жёстких зон, границы которых могут меняться в процессе воз­ мущённого движения.

Данная глава посвящена постановке и анализу линеаризованной краевой задачи устойчивости тела с достаточно общей связью напря­ жений и скоростей деформаций, допускающей как упрочнение, так и существование предела текучести. Основное течение рассматривается в трёхмерной либо двумерной области, на границе которой заданы условия одного из трёх типов. Обсуждаются случаи, когда трёхмерная картина возмущений может быть сведена к двумерной. На основе метода интегральных соотношений строятся различные независимые оценки устойчивости основного течения. В эти оценки входят физиче­ ские свойства материала, геометрия области и максимальная скорость скольжения в невозмущённом состоянии. Основные результаты форму­ лируются в виде нескольких теорем и следствий из них [37, 39, 44, 45].

§6. Общая краевая задача устойчивости относительно малых возмущений

6.1.Типы определяющих соотношений материала. Пусть тяжёло изотропное несжимаемое тело с плотностью р занимает в момент t физическую область Q эйлерова пространства с декартовой системой

координат (ОХ1Х2Х3). Эта область ограничена кусочно-гладкой поверх­ ностью Е (Е = Е„ U Е5 , Е„ П Es = 0). Выделим также в Q некоторую совокупность Пг подобластей Пп с кусочно-гладкими границами Еп , причём ЕГ{ могут иметь общие точки с Ev либо с Ея.

Определяющие соотношения в теле Q, связывающие напряжения (Tij(x,t) и скорости деформаций Vij(x,t) 9 могут быть представлены в виде объединения векторных (тензорных) и скалярных определяющих соотношений. Векторные соотношения связывают девиатор напряжений (sij(x,t) = 0^(£,£) + p(x,t)6ij) и девиатор скоростей де­ формаций, который в силу несжимаемости совпадает с самим тензором скоростей деформаций Vij(x,t).

Известно [163, 164], что общий вид изотропной потенциальной

инварианта J — VijVjkvki. Условие потенциальности означает, что

3UdMi/dJ = 0M2/0U.

Если же изотропная тензорная функция (6.1) ещё и квазилинейна, то М2 = 0, Mi = М(£7), что соответствует нелинейно-вязкой жидкости

Величина М представляет собой отношение максимального ка­ сательного напряжения Т = (s,jSfJ/2)l/2 к максимальной скорости скольжения U. Скалярное определяющее соотношение Т = T(U) для векторно линейных тел (6.2) характеризует собственно реологию мате­ риала. В случаях, когда кривая T(U) выпукла вверх (Т## < 0), говорят, что материал обладает мягкой характеристикой, а если вниз (Тв# > 0), то жёсткой16^ [167]. Единственная физически линейная модель, описы­ ваемая соотношениями (6.2), имеет место при М = /г = const и назы­ вается ньютоновской жидкостью с динамической вязкостью fi. Среды, для которых Urn T(U) = 0, принято называть нелинейно-вязкими жид­

костями, а для которых lim T(U) = rs > 0, — вязкопластическими

и-*о

,6*Жирная точка • в верхнем индексе всюду означает производную от данной ве­

личины по скалярному аргументу U.

телами с пределом текучести при сдвиге rs. Деформирование таких тел происходит лишь там и тогда, где и когда T(x,t) > т5, остальная же область Qr занята жёстким ядром течения [145]. Таким образом, граница Ег определяется из условия

ках Qr материал ведёт себя как вязкоупругое тело. Здесь возникает до­ полнительная задача об определении напряжённо-деформированного состояния внутри Qr уже в терминах тензоров а и £.

Выберем одной из физических величин, входящих в базис обезразмеривания, плотность р. В качестве двух других могут быть выбраны характерные скорость V и линейный размер h области П. В таком базисе величины, обратные безразмерной вязкости и безразмерно­ му ускорению силы тяжести д, как известно, называются числом Рейнольдса Re — pVh/p и числом Фруда Fr — V 2/(gh). Если дина­ мическая вязкость материала р зависит от Z7, то число Re также является функцией U. Если же в этом случае р надо включить в базис обезразмеривания, то будем выбирать значение р при U —>0, как это сделано в § 16. Введём в рассмотрение также число к — rsh/(pV) 4 ха­ рактеризующее влияние пластических свойств по сравнению с вязкими

ииграющее важную роль в теории вязкопластичности [91].

6.2.Постановка начально-краевой задачи устойчивости. Уравне­ ния движения и условие несжимаемости в безразмерных переменных

F&(x,t) = 0, Er : Fr(x,t) = 0 допускают представления Ху — f v(x\,x2,t),

Для постановки начально-краевой задачи четыре уравнения (6.4), (6.5) и шесть уравнений (3.4), из которых в силу (6.5) только пять независимы, следует замкнуть в области шестью определяющими со­ отношениями среды 5 = £(v) или v = g(s), из которых независимы также только пять, задать граничные условия (6.3), (6.6), (6.7) на по­ верхностях, движущихся по закону (6.9), и начальное условие (6.8). В результате решения и определения четырнадцати функций в ft (три компоненты v,-, функция давления р, и две пятёрки независимых ком­ понент тензоров 5 и v) из (6.3) можно найти закон изменения границ £ Г| жёстких зон.

Для статически определимой исходной начально-краевой задачи по найденному полю напряжений строится величина T(x,t) и в случае, если она принимает значение т8 на множестве, объёмная мера кото­ рого равна нулю, из (6.3) однозначно определяются поверхности Егг, ограничивающие жёсткие зоны (жёсткие ядра) Qri. В случае же стати­ чески неопределимой задачи, решаемой в скоростях, единственность решения зависит от класса функций, в котором оно ищется. Если векторное поле v(x,t) разыскивается в классе непрерывно дифферен­ цируемых вплоть до границы ft функций, то поверхности жёстких зон £ п и само поле скоростей определяются однозначно. В против­ ном случае возможна неединственность решения. Примером может служить плоское вязкопластическое течение Куэтта в горизонтальном слое, где наряду с прямолинейным профилем скоростей решениями будут всевозможные ломаные профили, в которых вертикальные от­ резки (области ftri) чередуются с отрезками, равнонаклонёнными к горизонтали. Распределение вертикальных отрезков по толщине слоя может быть произвольно.

Существенно требование того, чтобы объёмная мера множества £ г была равной нулю, т. е. чтобы это множество действительно было «поверхностью» в R3. Контрпримером является одномерное сдвиговое идеальнопластическое течение в плоском горизонтальном слое, где T(x,t) = т8 в области слоя17\ и профиль горизонтальных скоростей может быть произвольным даже в классе непрерывно дифференциру­ емых по толщине слоя функций [146]. Распределение жёстких зон по толщине здесь также произвольно.

Основное движение, являющееся решением поставленной на­ чально-краевой задачи, как и в главе 1, будем помечать индексом «о». Для исследования устойчивости согласно определению 2.1 предполо-

|7*Это есть скалярное определяющее соотношение идеальнопластического материала.

жим, что на основное состояние системы наложены малые возмущения

V/ — Vj "Ь &V{, V(j — Vjj "Ь 6Vij , (Ту —(Т1 j <5(Ту ,

(6.10)

р = р° + 6р, Sij = Sy + 6s,j .

Так как в дальнейших формулах будут встречаться величины, входящие только в правые части равенств (6.10), то будем опускать знак S у возмущений.

Линеаризуем уравнения (6.4), (6.5), (3.4) вблизи основного дви­ жения, считая квадраты безразмерных возмущений всех величин много меньше самих возмущений. Получим

Варьируя определяющие соотношения, взятые в общем виде (6.1), после некоторых преобразований найдём, что

Открывающиеся и закрывающиеся скобки в индексах означают опе­ рацию альтернирования. Тензоры четвёртого ранга W°jkl и V^fc/ за­ висят только от основного состояния системы, поэтому помечены индексом «о», причём зависит лишь от кинематики невозмущённого движения. Этот тензор имеет стандартные типы симметрии Vjjkl = Vjiki = Vkljj. а кроме того V°iki = 0 в силу несжимаемости основного течения и Уцц = 1 в силу нормировки.

Линеаризуя далее уравнение (6.9), получим закон движения воз­ мущённых поверхностей Е^, Ев, Ег, Ес

Кроме того потребуем, чтобы

Таким образом, трёхмерная краевая задача устойчивости нелиней­ ного течения заключается в решении четырёх уравнений (6.11), (6.12), куда с помощью (6.13), (6.14) подставлены выражения £ через ?, с граничными условиями (6.18) — (6.20) и, возможно, (6.22), (6.23), выполненными на поверхностях, определяемых уравнением (6.24). Для нестационарного основного течения присоединим и начальное усло­ вие (6.25). Примером такого нестационарного течения может служить процесс диффузии вихревого слоя (одномерный сдвиг полуплоскости с начальным разрывом скоростей либо напряжений вдоль границы), устойчивость которого будет изучена в следующей главе.

6.3. Общая схема метода интегральных соотношений и основные теоремы. Приведём ниже общую схему применения метода инте­ гральных соотношений для анализа линеаризованной краевой задачи устойчивости некоторого невозмущённого процесса деформирования.

Этот метод, использованный ранее в задачах устойчивости одномер­ ного плоскопараллельного сдвига в слое идеальной (задача Рэлея), вязкой (задача Орра—Зоммерфельда), идеальной стратифицированной (задача Тейлора—Гольдштейна), а также вязкой стратифицированной (задача Дразина) жидкостей, позволяет получать довольно общие (в основном, достаточные) признаки устойчивости. В широком смысле он включает в себя использование различных интегральных неравенств (типа неравенств Фридрихса, Пуанкаре, Шварца) и априорных оценок в различных функциональных пространствах. В силу сложной струк­ туры уравнений устойчивости в области (несмотря на их линейность) и невозможности выписать их точные фундаментальные решения для дальнейшей подстановки в граничные условия, учитываются лишь общие характеристики невозмущённого процесса такие, как физико­ механические параметры, геометрия области, профиль скорости. На­ чиная с первых классических результатов по устойчивости течений идеальной жидкости (теорема Рэлея о точке перегиба, теоремы Фьортьофта и Ховарда о полукруге) вплоть до современных исследований, учитывающих рейнольдсову и рэлеевскую вязкости тела, электромаг­ нитные свойства и другие эффекты, метод интегральных соотношений нашёл широкое применение (см., например, обзор [104}).

Пусть жёсткие зоны в области течения ft отсутствуют, а вся поверхность £ , ограничивающая ft, состоит из части £ v, т. е. на ней заданы только кинематические граничные условия, не меняющиеся при переходе от основного движения к возмущённому:

Пусть также каждая компонента v — элемент вещественнознач­ ного пространства 1^(П) со стандартной в нём нормой [178]. Умножим обе части (6.11) на Vi, просуммируем по г и проинтегрируем по ft. Тогда с учётом (6.12), (6.26) получим

где

ii(t)=J vUa•

Из неравенства Шварца, применённого к первому слагаемому в правой части (6.27), следует цепочка неравенств

Оценка снизу второго интеграла в правой части (6.27) может производиться двумя путями. Первый из них основан на чисто алге­ браических преобразованиях, а именно на минимизации квадратичной формы: SijVij = SijVij = W°jklvklVij ^ KvijVij, где компоненты W°jkl

имеют вид (6.15). Таким образом, имеем