книги / Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел

Величина Q принимает то же значение, что и в формулах (9.3). За­ метим, что I] < оо в силу того, что $(£) = 0 и оговорённых выше требований на г;°(ж3). Разделим действительную и мнимую части в (10.4), получим

/ sv°"(att + sv°)

Систему (10.5), (10.6) можно рассматривать как систему двух уравнений для а* и а**. После её решения подробный анализ должен быть проведён с основным параметром устойчивости а*.

Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда граница жёсткой зоны в возмущённом процессе деформируется незначительно, и можно

82 ГЛАВА 3

принять, что её уравнение в любой момент времени имеет вид жз = £. Вместо условий (10.2) будем иметь

которые получаются из решения соответствующих изопериметрических задач. Здесь A2(s) — минимальный положительный корень уравнения S\ 2£ = (2s2 - A2) tg(A£/2), a A3(s) — минимальный положительный корень уравнения Asin (\Д£) sh (\А£) = «2[1 - cos(\/A£) ch (ч/А^)Ь

Следствие 1. Если

^ А|(«)тг2 + 2тг2(1 + 2x/q)s2 + s4£2

то а* < 0.

Следствие 2. Если

(10.13)

то а* < 0.

Следствие 3. Если

(10.14)

то а* < 0.

Для получения нижних оценок критического числа Рейнольд­ са Re* найдём минимальные по s значения правых частей нера­ венств (10.12)—(10.14). Из (10.12) следует, что Re* > 2ir2/(q£2) и са­ мые медленно затухающие возмущения длинноволновые. Неравенство (10.13) даёт Re* > 27г2[2(1 + 2x/g)]l/2/(g£2), а неравенство (10.14) — qRe* > ?r3/(£3So) + 4х7Г5о/(д£) + 2\/2s2, где s0 — корень уравнения 4s3\/2 + 4irxs2/(q£) - 7Г3/£3 = 0.

На рис. 9 по полученным выше оценкам построены три достаточ­ ные границы устойчивости 1-3. В силу независимости следствий 1—3 можно дать общую нижнюю оценку критического числа Рейнольдса

Для течения Пуазейля в узком смысле (v°(x3) выбирается в виде (10.1)) необходимо везде положить q = 2/£. Как и для течения Куэтта, все три кривые на рис. 9 неубывающие. При к —►0 они стремятся к значениям 19,74; 27,91; 26,38 соответственно, однако прямого вязкого предела в данной задаче нет, поскольку граничные условия (10.2) или (10.7) не сводятся при х - ^ 0 к классическим условиям вязкого течения Пуазейля в плоском слое.

10.2. Плоскопараллельное движение тяжёлого слоя по наклонной плоскости. Анализ устойчивости соответствующего движения ньюто­ новской жидкости выполнен в [72, 87, 218, 219] для однослойной структуры и в [208] для двухслойной. В [4] изучено изотермическое течение вязкого слоя по наклонной плоскости и показано, что оно менее устойчиво чем чисто гидродинамическое. Если вязкой диссипа­ цией можно пренебречь, то конденсация стабилизирует, а испарение дестабилизирует поток.

84 ГЛАВА 3

Классическое решение задачи о стационарном движении вяз­

ны плотность тела р, а также величины h и V) жёсткая зона Пг

V = pg£2h2 sin (3/(2/х). В случае rsFr > sin (3 сдвиговых гравитационных усилий для выведения системы из состояния покоя недостаточно.

Как видно, основное течение (10.16) полностью совпадает с течением Пуазейля (10.1) в области {0 < ж3 < £}, кроме того граничные условия 0303 (10.2) либо (10.7) на границах этой же области имеют место и здесь23*. Следовательно, математические постановки краевых задач возмущённого движения в п.п. 10.1 и 10.2 идентичны, и все оценки устойчивости вязкопластического течения Пуазейля могут быть перенесены на движение тяжёлого слоя по наклонной плоскости.

§11. Диффузия вихревого слоя в вязкопластической среде

Предыдущие два параграфа были посвящены исследованию устой­ чивости стационарного вязкопластического сдвига. Здесь же рассмо­ трим класс задач о сдвиговом плоскопараллельном деформировании, возбуждаемом скачком скорости либо касательного напряжения вдоль границы слоя. Таким образом, сам невозмущённый процесс является неустановившимся.

11.1. Тангенциальный разрыв скорости на границе полуплоскости.

Рассмотрим деформирование полуплоскости П = {ж3>0, -оо<Ж|<оо}, занятой несжимаемым вязкопластическим материалом. Невозмущён­ ный одномерный сдвиг такой полуплоскости параллельный грани­ це #3 = 0 характеризуется профилями скорости v\(ж3,£) = г>°(ж3,£), сдвигового напряжения <Г|3(ж3,£) = <т0(ж3,£), а также максимальной

23)Заметим, что совпадение граничных условий в этих двух течениях имеет ^ieсто только, если предел текучести материала отличен ог нуля, и зону О/ от свободной границы слоя отделяет жёсткая прослойка. В случае же ньютновских жидкостей гранич­ ные условия в этих двух задачах принципиально различны из-за появления свободной границы.

скорости скольжения U°(x^yt) = \dv°(x^t)/dx^\ и максимального ка­ сательного напряжения T°(x^yt) = \a°(xyyt)\.

Поскольку характерного размера в области ft нет, включим в ба­ зис обезразмеривания наряду с плотностью р и характерной скоростью верхней границы полуплоскости V динамическую вязкость материала р. Уравнение (8.12) устойчивости одномерного сдвига вязкопласти­ ческого материала относительно двумерных возмущений перепишется следующим образом

где ip(x\yx iyt) = 0(жз,^)ехр(г5Ж|); ф = ф*+iф** — комплекснозначная

Функция v°(xi,t) имеет две непрерывные производные по жз в области вязкопластического течения. Штрихом обозначены частные производ­ ные ПО Ж3.

Существенное различие уравнений (11.1) и (8.12) состоит в том, что в силу выбранного обезразмеривания в (11.1) входит только один коэффициент, учитывающий физические свойства материала, а имен­ но, предел текучести при сдвиге, в то время как в (8.12) имеются два таких параметра — к и Re. Так как вязкость в данной задаче включена в безразмерный базис, то в коэффициенты (11.1) число Рейнольдса не вошло. Поэтому, если устойчивость течения имеет место при какомто значении р, то она будет также иметь место при любом другом положительном р.

Если в начальный момент времени система находится в покое, а при t > 0 граница жз = 0 движется с некоторой переменной скоростью V(t), не изменяющейся и в возмущённом движении, то граничные

Воспользуемся методом интегральных соотношений для анализа линеаризованной краевой задачи (11.1), (11.3) в области вязкопла­ стического течения ft/ = ft. Для этого умножим обе части (11.1) на

комплексно-сопряжённую функцию ф и проинтегрируем от 0 до ос. Получим

Заметим, что в области П в отличие от ограниченных по толщине областей неравенства Фридрнхса. связывающие J(> с Jf и Jf имеют тривиальный вид I 2 ^ 0, Jf ^ 0, т.е. константы при /0, входящие в эти

неравенства, равны нулю. Последнее утверждение для функций с гра­ ничными условиями (11.3) иллюстрирует следующий пример. Возьмём однопараметрическое семейство функций ф(х,а) = а5/2аге-аа\ а > О, принадлежащих Н2(0) и удовлетворяющих (11.3). Для этого семейства I 2 = а2/ 4, l\ = За4/4, и при достаточно малом положительном а интегралы I\,l\ можно сделать сколь угодно близкими к нулю. В то же время / (2 не зависит от a: ll —3/4.

Таким образом, верхней гранью правой части (11.6) является это же выражение с отброшенными вторым и третьим слагаемыми, а неулучшаемой оценкой левой части будет следующее неравенство

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 11.1. Достаточным условием устойчивости процесса диф­ фузии вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости является совокупность следующих требований, предъявляемых к функции F(t),

Эти условия надо проверять для конкретных невозмущённых профилей скорости v°(x^t).

11.2. Устойчивость точного решения задачи о диффузии вихревог слоя в вязкопластической полуплоскости. Данная задача о нахожде­ нии иевозмущённого процесса в скоростях полностью совпадает с соответствующей задачей для вязкой несжимаемой жидкости. Так как жёстких зон по сечению нет, то и решение v°{x$tt) будет совпадать с

Сумма первых двух слагаемых в (11.14) удовлетворяет условиям а), б) теоремы 11.1, что говорит об устойчивости возмущённого движения в случае постоянной скорости границы. Третье же слагаемое после замены q —>т cos2 q представим в виде

Пусть V(t) растёт на бесконечности пропорционально f : V(t) = А ? , v > 0. Тогда согласно (11.14), (11.15) и известному интегралу

J* / 2 cos2" lq dq = ^у-Т (1/ + ^

запишем

для произвольной функции /(ж3,1), получим аналог (11.5)

- —(I? + S2IQ) ~ 8 J№У°'(ф'ф)»<1хз -

(11.19)

- l\ - 2s2/? - s4/o - 4rss2/ 2 + U Ш , t) .

Так как область вязкопластического течения в любой момент ограничена по толщине, то имеют место нетривиальные неравенства Фридрихса

Здесь и до конца параграфа верхняя грань, если это не оговаривается специально, берётся по интервалу о < хг < £(<).

Таким образом, одной из возможных оценок сверху левой части (11.19) будет следующая

d_

Jt In (if -I- S2IQ) ^ sup |v°'| - 2

( 11.21)

Отличием (11.21) от аналогичного ему неравенства (11.7) является присутствие последнего слагаемого, связанного с изменением толщины области течения. Покажем, что независимой от ф оценки сверху для выражения |0'|2(£,£)/(lf+s2Io) подобрать нельзя. Для этого представим ф(хз,£) своим рядом Фурье на интервале 0 < ж3 < £(£), удовлетворяя при этом граничным условиям (11.18)

Тогда