книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfРассмотрим теперь вертикальную деформацию некоторого эле ментарного объема грунта (рис. 12.1, б), находящегося на глубине г.
Относительная деформация такого объема грунта
dw __ |
oz |
az |
(12.7) |
|
dz |
dp |
Е (г) |
||
|
dX
Подставляя значение для тангенса угла наклона по выражению (12.6) в зависимость (12.7), получим
dw __ |
о2 |
dz |
( 12.8) |
L (рс + 72) |
Из выражения (12.8) для вертикальной деформации рассматри ваемого элемента грунта получим зависимость
dw = - |
Qzdz |
(12.9) |
|
L (Pc H- tz)
На основе зависимости (12.9) вертикальная деформация всего грунтового массива определится как сумма деформаций малых эле ментов
w = Г------— — |
= Г—- — dz. |
(12.10) |
J МРс + 7*) |
J Е{г) |
|
0 |
0 |
|
При рассмотрении небольших толщин (h) массива выражение (12.10) примет вид
W = —i -А ajj z = |
4 А- JMZ- |
(12.11) |
Lpc о |
Е о |
|
В общем случае для переменного модуля деформации связь между напряжениями и перемещениями по другим осям можно выразить как
du. |
|
ах |
(12.12) |
|
dx |
~ |
Е(г) |
||
|
||||
dv |
_ |
су |
(12.13) |
|
ду |
|
Е (г) |
||
|
|
По аналогии с безраспорной зернистой средой для средних зна чений поворота элементарного объема грунта получим соотношения
|
1 |
(12.14) |
|
■ f"- |
а (г) |
||
'■«’ |
|||
|
1 |
(12.15) |
|
^ - |
а (2) |
||
|
|||
|
1 |
(12.16) |
|
Tjt* “ |
а (г) |
||
■'*»’ |
где G (z) — среднее значение модуля поперечного сдвига материала.
§ 2. С В Я З Ь М Е Ж Д У П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я М И
Формулой (12.10) в общем случае определяют вертикальное сме щение от вертикальной нагрузки. Для отыскания остальных состав ляющих перемещения через вертикальное воспользуемся соотноше ниями между компонентами напряжения и перемещения и физиче скими уравнениями.
Рассмотрим сначала плоскую задачу. Касательные напряжения
с вертикальными связаны следующим образом |
|
|
|||||||||
|
|
|
T „ = - v 2 - ^ - . |
(12.17) |
|||||||
Учитывая, что |
az = Е (z)—^—, |
|
а |
|
из |
выражения |
(12.14) |
= |
|||
= G(Z)*(*2, на основе |
зависимости (12.17) получим |
|
|
||||||||
|
G(z)-iX2 = — 4 z E ( z ) - ~ - |
(12.18) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д г д х |
|
|
Т в = |
- |
V2 - Ш |
- J 5 S |
- |
= |
- |
2 v Z - |
(12.19) |
|||
|
|
|
G (z) |
д г д х |
|
|
|
д г д х |
|
|
|
Учитывая далее, |
что |
|
I |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(12.20) |
||||
|
|
|
v a z - f - v 2z 2 — f - , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д х 2 |
|
|
|
а из выражения (12.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
•= £(*) — |
, |
(12.21) |
||||||
|
|
|
|
W |
|
д х |
’ |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е (Z) - |
- |
= |
v£ (2) — |
|
+ |
|
v2Z2£ (2) |
(12.22) |
|||
w |
ах |
|
w а2 |
|
^ |
|
w агах2 |
|
|
||
|
да |
dw . |
|
о |
о |
--------------- |
(12.23) |
||||
|
-------- = |
v ---------------U |
v 2z 2 |
||||||||
|
дх |
дг |
|
|
|
дгд х2 |
|
|
|||
Для сплошной равномерно распределенной вертикальной на |
|||||||||||
грузки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да |
_ |
dw |
|
|
|
(12.24) |
||
|
|
|
д х |
|
|
д г |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По аналогии с плоской задачей для пространственной имеем сле |
|||||||||||
дующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди |
|
dw |
|
V222 |
d3w |
(12.25) |
|||
|
~дх |
|
+ |
|
|
||||||
|
~ v ~aT |
|
|
|
д г д х 2 |
|
|
||||
|
|
до |
|
dw |
|
V222 |
d3w |
(12.26) |
|||
|
|
ду |
|
+ |
|
|
|||||
|
|
|
д г |
|
|
|
д г д у 2 ’ |
|
|
||
= |
о |
д2о> |
; |
(12.27) |
2vz |
дгдх |
|||
|
|
|
|
|
Т и2 = — 2vz-------; |
|
(12.28) |
||
iyz |
|
дгду |
|
|
|
|
|
|
(12.29) |
Из представленных соотношений нетрудно установить их взаим ную связь. Эти уравнения аналогичны уравнениям неразрывности деформаций в теории упругости, но отличаются от них, так как от ражают среду не сплошную, а состоящую из зерен. Уравнения вы ведены для переменного модуля сжимаемости материала по глубине
имодуля сдвига.
§3. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ЛИНИИ
При принятии постоянного по глубине значения модуля дефор мации грунта осадка слоя'ограниченной мощности вычисляется по формуле
1 л |
(12.30) |
w = — f a dz, |
Е ь
где Е — модуль сжатия грунта.
Для рассматриваемого случая загружения вертикальные напря
жения |
|
|
|
|
|
= - f У |
2™ ехр (— |
- ^ г ) • |
(12-31> |
После подстановки |
выражения (12.31) в формулу (12.30) |
получим |
||
“ ' “ |
- f - j / ^ |
j - r e x p |
( — - £ r ) * - |
(12'32) |
|
|
О |
|
|
Для решения интеграла произведем замену переменной интег
рирования подстановкой |
|
|
----- — |
= t , |
(12.33) |
2vz2 |
|
4 |
Тогда |
|
|
, = -----— У 2~V |
ехр (О dt. |
(12.34) |
2Е г
Интеграл выражения (12.34) является интегральной показатель ной функцией. Поэтому
(12.35)
где Ei ^ — интегральная показательная функция.
§ 4. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ
При постоянном по глубине модуле деформации грунта .осадка массива определяется по формуле (12.11).
Распределение вертикальных напряжений для рассматриваемого случая выражается зависимостью
• • - т [ ф ( т 7 Г - ) - ф ( т т г ) ] - |
<12 36) |
Подставив выражение (12.37) в формулу (12.11), получим
Р |
dz |
(12.37) |
2Е |
|
|
После интегрирования и некоторых преобразований получим следующее выражение для осадки грунтового основания ограни ченной мощности:
- У и , [ « + Ч E i ( - Л ± £ . ) _ ( , _ ц Е , ( ^ в - ) ] ) . (1 2 .3 8 )
2vA*
Для точек, находящихся на вертикальной плоскости, проходя щей через ось симметрии загруженной полосы, при х = 0 выраже ние (12.38) преобразуется к виду
|
|
|
||239> |
При равномерном загружении всего полупространства (Ь |
со) |
||
lim O j— |
*= 1; |
|
|
~ |
Vh |
) |
|
lim b Ei f— |
= 0 |
(12.40) |
|
/> „ |
v |
|
|
и выражения (12.39), (12.40) |
примут вид |
|
|
W 0 = W = |
ph |
|
|
. |
|
||
0 E
§ б. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ
Вертикальные напряжения в рассматриваемом случае
■ ~ н |
Ь2 |
И - ^ ) +
+ { ' - т Ы - ^ Р А - |
(,2“ > |
После подстановки в выражение (12.11) значения для вертикаль ных напряжений из формулы (12.41) для осадки получим такую за висимость:
о
О
(12.42)
+ (1- t ) | zexp( - J ^ r i ) £
После интегрирования и некоторых преобразований это выраже ние примет вид
w
Р
2Е
+ ~ ^ г У 2H ( * + 6)3|Ei
h? У 2v
+3b У к К2
+(2+ f ) exp(.
х\ ... ф ( x ~jL
A /V 1 |
\ A /v )]+ |
|
+ |
( х + Ь ) * \ |
|
2v/l2 |
) ^ |
{ х - ь у |
(12.43) |
|
2vA* |
||
|
Для точек, находящихся на оси загруженной полосы, при х = О осадка на основе выражения (12.43) выразится зависимостью
§ 6. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ И ПО ЗАКОНУ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вертикальные напряжения от нагрузки, распределенной по ли
нейному закону / (х) = Qx на полосе шириной b |
|
* . ~ f W 7 K ) - * ( T 7 Г ) ] + |
|
+ |
(12.44) |
|
|
После подстановки зависимости (12.44) в выражение (12.11), |
|
получим |
|
о
<“ ■«>
После интегрирования
|
& М ФЫ |
|
- Ф(-Т7 г)] + |
|||
/t2 |/2v |
Г |
/ |
*2 |
\ |
/ |
(д.__6)2\-| |
+ |
[ |
Р ( |
2vA* |
) |
е Х р ( |
2v/i2 )J + |
2 Ул |
||||||
+*(*-*)
При х = 0 этим выражением определится осадка в начале коор динат
Определим осадку грунтового массива от нагрузки, распреде ленной в пределах полосы шириной 2b по закону треугольника. Вертикальные напряжения для этого случая
а2 |
0_ |
) - 2' ф ( т 7 - ) +<' - ‘ >ф ( т |
7 г |
)] |
4- |
|
|
2 [<' + « ф (-7 7 г |
|
||||
|
Q z V 2v |
х |
|
(* -б )2У| |
||
+ |
2К« |
2V22 |
+ ехр ( - |
** |
/J * |
|
Подставим это выражение для вертикальных напряжений в фор мулу (12.11). Тогда для осадки грунтового массива от треугольной нагрузки получим
’ = ^ Я ^ + 6) ф ( т ^ ) - 2л;Ф( т 7 т - ) +
+ ( ^ - 6)ф ( т т г ) ] & + - | ^ 1г[ехр( - л^ ) -
“2exp(_‘^ ) +exp(_J^ i)Jdz- |
(12-46) |
После интегрирования и некоторых преобразований
+^ N - -£-)Ы - ^ ) ] •
§7. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ НАГРУЗКИ, ЗАДАННОЙ ПО ЗАКОНУ ТРАПЕЦИИ
Для решения этой задачи воспользуемся уже полученным зна чением осадки грунтового основания от нагрузки, заданной по за кону треугольника. Осадку от нагрузки, заданной по трапеции, определим как разность осадок от двух треугольных нагрузок. Тогда
- # [ < ' + ‘ >ф ( т 7 г ) + (' - ‘ , ф ( т 7 г ) -
+
- < * + ®>ф ( i p |
f ) - < * - “ )♦ ( i j ? f )] + |
+ |
2v/l2 |
V < |
—exp (- |
(* + B)2 |
|
2v/l2 ) - exp(J£i ^ 1)]- |
||
|
Приведенными формулами определяется осадка грунтового мас сива ограниченной мощности от нагрузки, заданной по закону тра пеции.
§ 8. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ
Распределение вертикальных напряжений от сосредоточенной нагрузки в однородном грунтовом массиве выражается зависимо стью
о |
4Р |
( |
г2 |
(12.47) |
|
2чг’- |
ех р ( |
2vz2 |
|||
|
|
где Р — сосредоточенная вертикальная нагрузка на поверхности массива.
После подстановки выражения (12.47) в (12.11), получим для осадки массива ограниченной мощности
W = |
г2 |
)dz. |
2vz2 |
||
После интегрирования |
|
|
ш= ^ |
^ [ 1~ФЫгг)]- |
|
Для полупространства (при h -> оо) это выражение примет вид
w = —- — ]/"2uv 2Ег у
§ 9. ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ
ЗНАЧЕНИИ МОДУЛЯ ДЕФОРМАЦИИ ПО ГЛУБИНЕ
При изменении модуля деформации грунта с глубиной по зависи мости (12.6) осадка грунтового массива от сосредоточенной нагрузки
л
w = |
Р г |
1 |
ехр |
dz. |
(12.48) |
2кЬ |
2(Рс + 7г) |
При рс -> О
ш= |
о |
|
(12-49) |
|
После интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
— |
ехр(------ — )• |
(12.50) |
|
|
2 - Z .f r 2 |
2v/i2 ) |
v |
' |
Из выражения (12.50) видно, что по мере удаления от точки прило жения нагрузки затухание осадки происходит весьма интенсивно. Для грунтового полупространства, т. е. при h -> оо,
2 - Z .fr2
Из этого выражения видно, что осадка поверхности грунтового полупространства по мере удаления от точки приложения нагрузки убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до рас сматриваемой точки. Это подтверждается решением, полученным
Г.К. Клейном [40].
§10. МАКСИМАЛЬНАЯ ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КРУГЛОЙ ПЛОЩАДКЕ
Вертикальные напряжения по оси загруженной площадки для рассматриваемого случая
ог = |
р [ 1 - е х р ( ------- g - ) ] , |
(1 2 .5 1 ) |
где р — интенсивность |
нагрузки на единицу площади; |
|
R — радиус круга загруженной площадки; |
материала. |
|
v — коэффициент распределительной способности |
||
Осадка массива по оси загруженной площадки при принятии постоянного значения модуля деформации (сжатия) грунта по глу бине и при распределении вертикальных напряжений по формуле (12.51) определится выражением
о
После интегрирования
®И. И. Кандауров
Определим максимальную осадку грунтового полупространства от рассматриваемой нагрузки.
Максимальная осадка однородного полупространства опреде
лится как предел выражения (12.52) при h -►оо; |
для |
решения |
||
этого вопроса определим предел |
выражения |
|
|
|
у = |
П т |
|
|
(12.53) |
Пользуясь правилом Лопиталя, |
находим |
|
|
|
_ _ R L expf _ _ ? L \ |
« , „ p |
|
|
|
y= lim----i t ---- \ |
**V--iin .------ |
= |
0. (12.54) |
|
A* |
|
vA |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая выражения (12.53) и (12.54), получим предел зависи
мости (12.52) |
|
V * . |
(12.55) |
£ У 2v |
|
где р — интенсивность нагрузки.
Формулу (12.55) можно выразить через площадь загруженной
площадки |
_ |
|
w0 = |
- ^ L , |
(12.56) |
|
ЕУ 2v |
|
где F — площадь загруженного |
круга. |
|
Заметим, что формула (12.56) по структуре аналогична зависи мости, полученной Н. Н. Ивановым экспериментально для разных штампов.
§11. МАКСИМАЛЬНАЯ ОСАДКА ОДНОРОДНОГО ГРУНТОВОГО МАССИВА ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НА КРУГЛОЙ ПЛОЩАДКЕ ПО ПАРАБОЛЕ
Рассмотрим случай, когда нагрузка распределена по площади круга и выражена уравнением
|
/(г) = 2 p (l- - £ - ) , |
(12.57) |
где р — среднее |
удельное давление на загруженной |
площадке; |
г — текущая |
координата; |
|
R — радиус загруженного круга.
Распределение вертикальных напряжений по оси загруженной согласно уравнению (12.57) площадки выражается зависимостью
• ■ - М '- т £ 4 '- “ '( - & ] ) • |
<,2И’ |