книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfот параболической нагрузки, распределенной по полосе. Поэтому
1+ -)ехр(- |
(х - Ь)* |
+ |
2vz2 |
+ ( ' - f ) “ P |
( - ^ ) ] ) x |
х ( ( ' - - £ - я и |
^ ) - * б £ ) ] - |
_ . ^ [ ( , + f ) . , P ( - J S |
E ) + |
||
а У г. |
|
|
|
+ ( Х------Б”) ехр( - |
(у + Q)2 |
( 11.21) |
|
2vz2 |
|
||
Для параболической нагрузки, распределенной по квадрату, |
|||
формула (11.21) при Ъ = а примет такой вид |
|
||
|
|
+ |
|
+ ( ‘ - f ) e x p ( - |
(х + Ь)2 |
X |
|
2vz2 |
|||
|
|
||
+
( 11.22)
Для точек, находящихся на вертикали, проходящей через угол прямоугольной площадки, зависимость для напряжений получим из этой же формулы, приняв х = Ь\ у = а:
Pz°- |
2V^2v |
|
|
4 ba |
|
b |
\ г Y'* 1 . |
L V* |
- S L |
o l J a |
S . |
a |
w l w J |
||
Для точек, находящихся на оси загруженной площадки, зависи мость для напряжений получим из формулы (11.22), приняв
х = у = 0:
X
Для нагрузки, распределенной по прямоугольнику
Все полученные в данном параграфе формулы можно предста вить через среднее давление на площадку, если подставить значение
где рср — среднее давление на площадку. Горизонтальные нормальные напряжения
- 7 М , + т М - ^ ) +
+
х [ ф Ш - ф Ш ] - 7т Г [(1 + -9 “ р( - ^ ) +
х [ * Ш - * Й * ) ] - ^ Й О + i M - ^ ) +
+ ( '- т М - ^ ) Ч 1-
Касательные напряжения
PXZ'J
+
2vz2 +
Ч - т М - ^ Ш ‘
^ a■262 [ ф Ш - « ( 7 7 г ) ] х
* [ ф« 7 ? ) - ф« 7 ?)]-
Так же, как и для вертикальных напряжений, из этих общих формул можно получить частные значения.
§ 12. НАПРЯЖЕНИЯ В ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЕ ПРИ НАГРУЗКЕ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПЛОЩАДИ КРУГА (РЕШЕНИЕ Б. С. РАДОВСКОГО)
Поставленная задача (рис. 11.1, X) представляет практический интерес при расчете оснований сооружений с круглой подошвой.
Вертикальные нормальные напряжения в произвольной точке
М (г, z) полупространства могут быть определены путем интегри
рования решения [43] для сосредоточенной силы по площади круга
R 2*
°г(г' г) = |
f J ехр [_ ( р г |
+ r2~ 2rpcos?)]pdpd<p’ |
(11'23) |
||
где г, |
|
Оо |
рассматриваемой точки; |
|
|
z — координаты |
|
||||
R — радиус круга, по площади которого равномерно распре |
|||||
|
делена нагрузка интенсивностью р\ |
|
|||
|
v — коэффициент распределительной способности среды. |
||||
Для точек, расположенных под центром штампа (г = 0), |
интег |
||||
рал (11.23) |
значительно |
упрощается |
|
||
|
|
«,(0. *) = p [ l - e * p ( — £ - ) ] . |
(11.24) |
||
Однако |
вследствие |
трудностей |
интегрирования выражения |
||
(11.23) |
для произвольной точки массива отсутствует выражение для |
||||
определения |
напряжений. |
|
|
||
Р. А. Муллер, исходя из математической аналогии между про цессом распределения вертикальных нормальных напряжений в зернистой среде [63] и процессом блуждания броуновской частицы, показал, что распределение вертикальных нормальных напряже ний выражается дифференциальным уравнением параболического типа. Это уравнение при осесимметричной задаче в цилиндрических
координатах имеет вид |
|
|
|
|
fcz = |
v2 / д2аг |
J _ |
(11.25) |
|
дг |
[ дг2 |
г дг , |
||
|
Чтобы получить выражение о2 (г, z) для произвольной точки массива, проинтегрируем уравнение (11.25). Для приведения к ка ноническому виду дифференциальных уравнений параболического
типа заменим переменную |
по формуле |
и = -у- |
Получим |
||
_ |
v / d-*z |
, |
_j_ |
d*z \ |
(11.26) |
ди |
\ дг* |
^ |
г |
дг ) • |
|
Уравнение (11.26) решается при следующих условиях, опреде
ляемых внешней нагрузкой, |
при 0 < г < R\ |
|
|
р |
(11.27) |
||
- f ( r ) = |
|
R\ |
|
0 при г > |
|
||
а также при условиях |
|
|
|
az\r-о ^ °° - |
|
(11.28) |
|
о2—>0 и — — |
-> 0 при г -> ОО. |
|
|
Для решения уравнения (11.26) применяем преобразование |
|||
Лапласа |
|
|
|
F(r, s) = Гo2(r,u) e~sn du. |
|
(11.29) |
|
о |
|
|
|
Преобразованное уравнение (11.26) примет вид
d*F (г, s) ^ 1 |
dF(r, s) |
dr2 |
S)— ф - ] = 0 |
dr |
и представляет модифицированное уравнение Бесселя. Его общее решение
F(r, |
* ) - Ш - |
= А10( у |
Т г} + в К 0( У ^ г ) , |
|
где /Q( Т/ |
г) и /'Со ( |
"|/ |
г) — соответственно функции Бесселя |
|
' |
' |
|
' |
первого и второго рода нуле |
|
|
|
|
вого порядка от чисто мнимого |
|
|
А |
|
аргумента; |
|
|
и В — постоянные величины. |
||
Определяя постоянные из условия (11.27) и преобразованных ус ловий (11.28) и (11.29) с учетом некоторых соотношений, известных из теории Бесселевых функций, получим Лапласово изображение
искомой функции |
аг (г, |
2): |
|
|
|
|
|
||
при 0 < г < |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(r, s) - - f |
[l - |
R У |
^ |
1 , ( У ± |
г) К, ( ] |
/ ^ R); |
|
||
при г > R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где /j ( |/"-^- /?) |
и |
/(jf |
j / " |
R ) — соответственно |
функции |
Бес- |
|||
v |
' |
|
\ |
v |
/ |
селя |
перВОГо |
и второго |
рода |
первого порядка от чисто мни мого аргумента.
Оригинал полученного изображения отсутствует в каталогах; поэтому для обратного преобразования используем общую формулу
обращения Меллина |
т+*~ |
|
|
°z(r, и) = |
j exp (su)F(r, s)ds, |
|
7 - / 0 0 |
имеем |
|
7—» |
X |
|
|
X |
/?)]exp(s«)dtt. |
В соответствии с правилами операционного исчисления заменяем путь интегрирования в комплексной плоскости вдоль прямой, па раллельной мнимой оси, замкнутым контуром, имеющим разрез вдоль всей отрицательной части вещественной оси. Тогда получим
I f J |
Vi)'.(* |
<»•»> |
°z(r> w) = |
pR J J0(r, x ) J 1(R, x)exp(— 'Hix2)dx, |
(11.31) |
|
о |
|
где JQ(r, x) и J1 (R, x) — функции Бесселя первого рода соответст венно нулевого и первого порядка.
При г — 0 имеем
ог(О, u) = p R <\j |
J1 (Rx) exp (— чих2)(1х. |
(11.32) |
о |
|
|
Так как непосредственно вычислить последний интеграл затруд нительно, дифференцируя, получим
d- z (°' и) = —pR'f Г У, (R, х)ехр(— шх2)хЧх. |
(11.33) |
|
du |
J |
|
|
О |
|
Правая часть (11.33) содержит первый экспоненциальный инте грал Вебера, выражающийся через соответствующую экспоненци альную функцию. Подставив эту функцию в (11.33), получим после интегрирования
°г(0. “) = / ф — ехр( — |
(11.34) |
Подставив в выражения (11.31) и (11.34) значение z из уравне
ния и — — , получим искомую формулу для определения верти
кальных нормальных напряжений в произвольной точке массива
az(r, z) = pR J |
J0{rt x ) J l (R, |
*)ехр^---- dx, (11.35) |
о |
|
|
а для точек, принадлежащих оси симметрии, |
||
0*(°* |
= |
( - - £ - ) ] • |
Последняя формула идентична с выражением (11.24).
По формуле (11.35) построены изолинии вертикальных нормаль
ных |
напряжений (рис. 11.2, а). При вычислениях принималось |
_ |
_1_ |
v “ ~Г •
Можно показать, что выражение для вертикальных нормаль
ных напряжений, предложенное К. С. Теренецким, при |
г > R |
с достаточно высокой точностью аппроксимирует решение |
(11.35) |
при том же условии. |
|
Используя полученное выражение, можно вывести формулы для остальных компонентов напряжений.
Так, для касательных напряжений
Рис. 11.2. Линии равных напряжений от равномерно распределен ной нагрузки по площади круга для v= 1/3
а — вертикальных напряжений; б — касательных напряжений
Дифференцируя (11.30) и подставляя результат в (11.32), по лучим
(11.36)
V * (г> г) = ^ |
ехр ( “ |
h ( - £ ■ ) ’ |
причем для точек, лежащих на оси давления, тлг (0, г) = 0. По
формуле (11.36) построены изолинии касательных напряжении (рис. 12.2, б).
Для произвольной точки массива аналогично
o„(r, 2) = vor—^-Хг>г;
о, (г. z) = vo2 — PR exp
- ( '+ W H -
7 177
И. И. Кандауров
Для точек, лежащих под центром штампа,
°а (°- z) = (°- z) = v3z(°> z) - |
exp (---- |
. |
Таким образом, получены все компоненты напряженного состоя ния произвольной точки полупространства, состоящего из зерни стого материала.
§13. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПЛОЩАДИ КРУГА ПО ЗАКОНУ ПАРАБОЛЫ (РЕШЕНИЕ Б. С. РАДОВСКОГО)
Пусть характер распределения нагрузки по кругу (рис. 11.1, IX) выражен уравнением
P M - P . ( l - i ) .
Решая так же, как для равномерно распределенной нагрузки, дифференциальное уравнение
^2 = vz (д*г_ , J_ <*г
dz |
\ дг2 |
г дг |
при условиях, определяемых внешней нагрузкой,
°»|. 0^ ОО1 Р»(1 |
- '^ |
') |
п р и О < Г < Я ; |
J 0 \ |
R |
I |
при r > R , |
а также при условиях
о2 |Г-*0ф оо
о 0 И — 0 при Г ^ о о ,
дг
можно получить выражение для вертикальных нормальных напря жений в произвольной точке зернистого массива
аЛг, г) = 2 Р ° | /„(г, x)Jt{R,x)exp( — |
(11.37) |
О
где У0 (г, х) и J2 (R, х) — функции Бесселя первого рода соответст венно первого и второго порядка.
Определим напряжения в точках, лежащих на оси симметрии (г = 0). Из формулы (11.37) имеем
o,(0,z) = 2P0j Jt (R, х)ехр(— |
(Ц.38) |
В формуле (11.38) произведем замену переменной
|
|
k = xR\ |
dk — Rdx, |
|
получим |
|
|
|
|
oz(0,z) = |
2P0j* J2(k ) e x p ( - t k 2)-^-, |
(11.39) |
||
где |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцируем выражение (11.39) |
|
|||
—г (0, г) |
= — 2Р„ J |
J%(k)exp(— tk*)kdk. |
(11.40) |
|
а? |
о |
|
||
Из теории Бесселевых функций известно, что |
|
|||
|
Ji (k) = ^ - J 1(k ) - J , ( k ) . |
(11.41) |
||
|
|
к |
|
|
Подставляя (11.41) в выражение (11.40), получим |
|
|||
at |
г) = |
— 4Я0 ГЛ (6) ехр ( - /й!) dk + |
|
|
|
о |
|
|
|
|
+ 2P0jоJ0(k)exp(— tk*)kdk. |
(11.42) |
||
Первый интеграл правой части уравнения (11.42) нами рассмот рен при выводе формулы для вертикальных напряжений от на грузки, равномерно распределенной по кругу,
J J x (k) exp (— tk2) dk = 1 — exp^— |
(11.43) |
Второй интеграл представляет первый экспоненциальный ин теграл Вебера
I Л(А)ехр(— tk*)kdk=-^ -exp(— |
(11.44) |
Подставляя значения интегралов (11.43) и (11.44) в уравнение (11.42), получим
= - 4Р0 + 4Р0ex р j - JL) + ^ е х р ( - J L ) . (11.45)
Интегрируя уравнение (11.45), получим О2(0, 2) = — 4fP0p — ех р |—
где С — постоянная интегрирования. Из условия
°z(0, z)|'/-о -*■ Рt
имеем
С = Р0.
Таким образом, вертикальные напряжения в точках, находя щихся на оси z,
°2 (0» 2) = Р0 |
1 _2vz^ |
|
Я2 |
Это совпадает с ранее полученным решением для вертикальных напряжений по оси круга, загруженного параболической нагрузкой [43].
Дифференцируя формулу (11.37), найдем выражение для каса тельного напряжения в произвольной точке массива
•zr z = — 2P0vz j А (г, х) J2{R, *)ехр |
4х - |
о
Приводим выражения для определения других компонентов на пряжений
O0(r, 2 )= -nz (r, Z) — ^ r 1 rz\ |
|
||
(г, Z) = VO2(r, z) + |
2P0v2z2 j* Ai(r, X) |
(Л, х) exp |
xdx— |
— -у- j Л |
{г, X) Ji (R, х) exp |
dx |
|
§ 14. ДАВЛЕНИЕ НА ПЛОЩАДКУ, РАСПОЛОЖЕННУЮ НА НЕКОТОРОЙ
ГЛУБИНЕ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КВАДРАТНОЙ ПЛОЩАДКЕ
Определим суммарное давление на квадратную площадку, рас положенную на глубине z, от вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по такой же площадке на поверхности зернистого основания. Данная схема соответствует опытам, проводившимся Пенсильванским колледжем.