книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

Произведем замену переменной интегрирования подстановкой

где Et (t) — интегральная показательная функция.

§ 7. Д Е Ф О Р М А Ц И Я С Ж А Т И Я М Н О Г О С Л О Й Н О Й С И С Т Е М Ы О Т П Р О И З В О Л Ь Н О З А Д А Н Н О Й Н А Г Р У З К И ( П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н А Я З А Д А Ч А )

Результаты, полученные в предыдущих параграфах, обобщим для случая произвольно заданной нагрузки при <хх = а.у = а.

Докажем следующее положение. Деформация сжатия слоя

оп

где Z7 — площадь распределения нагрузки;

<р; г — угол и радиус-вектор в цилиндрических координатах. Предел интегрирования связан с некоторой величиной зависи­

мостью (4.27), поэтому выражение (4.59) может быть представлено

в виде

h

Произведя замену переменной интегрирования в выражении (4.59) подстановкой (4.29), получим

w=- i Jt [ dt\ t t f ^ r)exp(_ f £ K

ог

Меняя обозначения переменной интегрирования, имеем

0 /•' Таким образом сформулированное выше положение доказано.

Пользуясь выражением (4.34), рассмотрим деформацию сжатия многослойной системы от произвольно заданной на поверхности

сматриваемому слою;

z — координата рассматриваемой точки по вертикальной оси при положении начала координат на границе раздела данного слоя с вышележащими слоями.

Подставив выражение (4.62) в зависимость (4.35), получим фор­ мулу (4.37).

Поступая далее, как и для плоской задачи, деформацию сжатия второго слоя определим выражением (4.47), третьего слоя — выра­ жением (4.52) и л-го слоя — (4.56).

В результате придем к выводу, что деформация слоистой системы для пространственной задачи вычисляется, как и для плоской за­ дачи, по формуле (4.58).

Г л а в а 5

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ДЛЯ БЕЗРАСП0РН0Й ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЫ

§ 1. С В Я З Ь М Е Ж Д У С О С Т А В Л Я Ю Щ И М И Н А П Р Я Ж Е Н И Й В П Л О С К О Й З А Д А Ч Е

При рассмотрении физических уравнений в статике отмечалось, что каждые две частицы (блок) связываются друг с другом через третий блок, в котором из-за разности вертикальных усилий на эти блоки возникают касательные напряжения. Отмечалось также, что разность усилий в соседних частицах пропорциональна перерезы­ вающему усилию в связующей частице.

Этими же свойствами будет обладать зернистая безраспорная среда в динамике. Но в отличие от статики на величины усилий здесь

будут оказывать влияние инерционные силы, зависящие от переме­ щения частиц. Поэтому при решении вопроса о соотношении составляющих напряжений в динамике необходимо рассматривать силы, вызывающие перемещения частиц.

Согласно рис. 5.1 перемещение частицы в вертикальном направ­ лении осуществляется под воздействием вертикальных составляю­ щих напряжений и сил инерции

Перерезывающее усилие в блоке, на который опираются два данных блока, определится как разность между выражениями (5.1) и (5.2):

После преобразований выражение (5.3) примет вид

Но для статической нагрузки ранее было получено такое соот­ ношение между касательными и вертикальными напряжениями

1 да,

(5.6)

2а дх

Из выражений (5.5) и (5.6) находим, что

Подставляя это значение в выражение (5.4), получим

Уравнения равновесия для плоской задачи при равенстве нулю объемных сил:

Дифференцируя выражение (5.8) по х, а (5.11) по z, имеем

Левые части выражений (5.12) и (5.13) равны. Приравниваем правые части

Обозначим

Подставляем в это выражение значение / из (5.15):

« 5 1 8 >

Учитываем также соотношение между вертикальными напряже­ ниями и перемещениями

Подставляя эти значения в уравнение (5.18), получим

Получено неоднородное уравнение гиперболического типа. Пра­ вая часть этого уравнения представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от t y а вторая от х и 2.

Уравнение (5.20) выражает вынужденные колебания безраспорного основания. Правая часть этого уравнения показывает, что воз­ мущению подвергается лишь та часть массива, которая распределяет статическую сосредоточенную нагрузку (рис. 5.2).

Если возмущающая нагрузка распределена по некоторой полосе и может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от /, а вторая от х, т. е.

то уравнение колебаний среды от такой нагрузки на основе выра­ жения (5.20) примет вид

Р . № " р ( - ^ > (5.Я)

Если нагрузка расположена не в начале координат, то выраже­ ние (5.22) примет такой вид:

где х0— координата середины полосы, по которой распределена нагрузка.

При подвижной нагрузке координата х0 является функцией времени. В этом случае уравнение (5.23) будет

Решение представленных здесь уравнений для того или иного случая позволит определить динамические вертикальные перемеще­ ния массива, по которым можно определить горизонтальные пере­ мещения и повороты, а также составляющие напряжения в плоской задаче.

Получим дифференциальное уравнение для горизонтальных пе­ ремещений, исходя из выражения (5.10).

Учитывая, что

а также соотношение (5.8), получим

или

(5.52)

(5.53)

(5.54)

Если учесть соотношение (5.19), то эти формулы можно предста­ вить в таком виде

При — = 0 формулы (5.55), (5.56) и (5.57) идентичны соот­

ветствующим формулам для статической нагрузки.

Из уравнений (5.33) и (5.34) получим следующие зависимости для горизонтальных перемещений

Учитывая, что

дох _ ^ д2и #

(5.60)

~дх2 ’

уравнения (5.58) и (5.59) примут вид