книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

и координатами осей устанавливается следующими зависимостями:

Зависимостью (3.5) выражается распределение усилий между частицами. Для определения средней величины напряжения разде­

§ 2. НЕРАВНОВЕРОЯТНАЯ ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ ВЫШЕЛЕЖАЩИХ ЧАСТИЦ НА НИЖЕЛЕЖАЩИЕ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКЕ

Средний размер зерна, приведенный в формуле (3.7), может при­ нимать любые значения. Выразим этот размер по оси z через размер зерна другого материала зависимостью

Сравнивая формулу (3.9) с аналогичной формулой для верти­ кальных напряжений в плоской задаче, находим, что зависимость (3.10) может рассматриваться для определения вертикальных на­ пряжений в зернистой безраспорной среде при неравновероят­ ном распределении усилий между частицами. Средний расчетный

F — площадь интегрирования; £,Y| — переменные интегрирования.

Для доказательства этого утверждения используем решение о

распределении напряжений в безраспорном массиве от нагрузки, заданной уравнением

Р = Blf(x, у).

Распределение напряжений от такой нагрузки выразится уравне­

От снятия слоя толщиной 2 = 21 и замены связей реакциями напряжения В массиве не изменились и определяются выражением (3.16). В новой, представленной на рис. 3.4 системе эти напряжения для г > 2Хможно рассматривать как вызванные нагрузкой по урав­ нению (3.17) и расположенной на поверхности вновь образованной

системы. Для новой системы начало координат перенесено по оси 2 на zL, т. е.

где z — коорДината рассматриваемой точки во вновь образованной системе.

Рассмотрим далее распределение напряжений в слоистой среде от произвольной нагрузки на поверхности.

Пусть нагрузка на поверхности среды распределена по площади F и задана уравнением

Напряжения в верхнем слое системы от нагрузки, заданной уравнением (3.27), получим в виде

Заменив связи реакциями и отбросив верхний слой, образуем новую расчетную схему; нагрузка на поверхности будет равна ре­ акциям связей и определится из выражения (3.28) при z = h{.

Таким образом, функцию напряжений во втором слое необхо­ димо искать от нагрузки на его поверхности, заданной уравнением (3.29).

На основе доказанного выше, выражение для вертикальных на­ пряжений от такой нагрузки определится зависимостью

2 (hi3i/ + z)

Для решения вопроса о распределении напряжений в третьем слое образуем новую расчетную схему, отбросив в исходной системе два верхних слоя и заменив связи реакциями. Начало координат во вновь образованной системе расположим на ее поверхности. Ось z направим по вертикальной оси исходной системы.

Выражение для нагрузки во вновь образованной системе полу­ чим из (3.33) при z = А2:

Поступая как и в предыдущем случае, получим следующую за­ висимость для напряжений от нагрузки по выражению (3.34):

Из приведенных зависимостей видно, что в пространственной задаче для анизотропной безраспорной среды необходимо вычис­

Подставляя эквивалентные толщины в общую формулу, получим для напряжений в п-ом слое

X

X \ /(S. v) exp

Анализ полученных решений показывает, что для произвольно заданной вертикальной нагрузки на поверхности среды вопрос о распределении напряжений в пространственной задаче решается путем введения независимых эквивалентных толщин по двум вза­ имно-перпендикулярным вертикальным плоскостям и вдоль осей х и у. Если аХп = аУп = ап, но аХп =f=<**(„_/) Для всех слоев, то

т. е. в частном случае получаем формулу для эквивалентного слоя, как и в плоской задаче.

§4 . БЕЗРАСПОРНЫЕ СРЕДЫ И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Любой массив среды под действием внешних нагрузок постоянно находится в статическом или динамическом равновесии. Выделим некоторый объем среды из массива (рис. 3.5), и проанализируем, какие силы на него действуют при условии, что среда обладает рас­ пределяющей способностью.

Размер выделенного объема по оси х равен Лх, по оси z — Аг и по оси у равен единице. Поскольку среда обладает распределяю­ щей способностью, то естественно предположить, что в среднем ин­ тенсивность вертикального давления по верхней грани объема больше, чем по нижней. Кроме того, давление по нижней грани в силу большого выравнивания его с глубиной более равномерно рас­ пределено, чем давление на верхней грани. Поэтому равнодейст­ вующая Р„ по верхней грани приложена к рассматриваемому объему среды с большим эксцентрицитетом, чем равнодействующая Рн по нижней грани.

Поскольку равнодействующая по верхней грани отличается от равнодействующей по нижней грани, для равновесия выделенного объема необходимо к боковым граням приложить касательные силы (напряжения).

В местах швов эти силы воспринимаются связующими блоками. Если в среде швы не перевязаны, то такая среда не способна распре­ делять давление на большую площадь и в блоках такой среды не возникают перерезывающие усилия. Для уравновешивания момента сил, создаваемого вертикальными усилиями, необходимо к боковым граням выделенного объема приложить горизонтальные усилия также с эксцентрицитетом и разные по величине (опять же с учетом распределяющей способности среды). Поскольку эти усилия также различны по величине, то равновесие выделенного объема вдоль оси х будет соблюдено при наличии по горизонтальным граням

объема касательных на­ пряжений (усилий).

Таким образом, рав­ новесие выделенного объема безраспорной зер­ нистой среды возможно лишь при наличии вер­ тикальных, горизонталь­ ных и касательных уси­ лий.

На рис. 3.6 изобра­ жен выделенный объем под воздействием всех составляющих напряже­ ния. При этом точки приложения горизон­ тальных и вертикальных равнодействующих сил перенесены в центры гра­ ней выделенного объема

при одновременном учете возможного за счет этого изменения ве­ личин касательных составляющих. Тогда вертикальная равнодей­ ствующая при усреднении напряжений по верхней грани

Рга = {ог + ^ А^ Л -,

по нижней грани

Горизонтальная равнодействующая по левой грани

Да,

р * - ( «I о,. + = * Л ,)л ^

Дх

по правой грани