книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfДифференцируя выражения (5.52) и (5.53) по г, а выражение (5.54) по х, затем по у и подставив их в уравнения (5.62) и (5.63), получим
а2и |
р |
д2и |
1 |
а /'d2w |
р |
d2w\ |
||
а*2 |
£ |
а/2 |
2а* ал: \f z 2 |
~Е |
dtг)" |
|||
|
1 |
|
а3 |
/ аш |
_Р_ |
Г |
(5.64) |
|
|
4ахау дхду2 |
|
|
О |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
д2и |
|
р |
а2о |
_ |
1 д td2w |
|
||
ду2 |
Е |
dt2 |
2ау ду■W |
|
||||
|
1 |
|
а3 |
1dw |
JL |
Г: |
(5.65) |
|
|
4ахау at/ax2 I * - |
|||||||
|
£ J ■ |
|
||||||
Полученные формулы позволяют по вертикальным перемещениям вычислить перемещения среды (по другим координатным осям), а также и повороты
|
|
1 |
|
Е |
д |
(dw |
р |
Г дЧо |
. \ . |
|
Тдгг |
|
G ' хг |
2axG |
d x \ d z |
Е |
J |
dt2 |
/ * |
||
_ |
_1_ |
_ |
|
Е |
д (d w ___ р_ Гд*ю . \ |
|||||
г “ |
G |
~уг ~ |
2ayG д у [ д 2 |
Е J |
dt* |
У |
||||
Ъу-- |
|
|
|
Е |
а2 |
/ dw |
|
\ |
d- ^ d z ) . |
|
|
у |
4я,<хус |
дхду 1* |
Е |
||||||
|
|
J |
w |
) |
||||||
_ Е_ |
|
как |
(1 = |
0) эти формулы примут вид; |
||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(dw |
- ЕрJf—dt2 |
|
|
|
|
|
|
- |
ах1 |
дха |
(\кдг |
dz )\ ; |
|
|||
|
|
|
|
|
'dw |
|
— dz'l ; |
|
||
|
Ь г ~ |
' |
5 |
( |
|
|
||||
|
£ |
fdt2 |
|
^ |
|
|||||
|
|
|
ау |
дУ |
\vд2 |
J |
|
|
|
|
|
|
_ |
1 |
а2 |
1dw ___Р_ f ^ y |
|
||||
|
|
2ахау дхду |
|
Е |
) |
|
) |
|
||
( 5 .66)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
(5.70)
(5.71)
4 И. И. Кандауров |
81 |
Г л а в а 6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДЛЯ БЕЗРАСПОРНОЙ СРЕДЫ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ОСАДОК СКАЛЬНЫХ ТРЕЩИНОВАТЫХ ОСНОВАНИЙ *
§1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В.А. Флориным отмечалось, что наряду с использованием схем теории упругости необходимо создавать другие модели, эквива
а)
_ L
Рис. 6.1. Схема к расчету скального трещиноватого основания
а — безраспорнос (блочное) зернистое ос нование; б — скальное трещиноватое ос нование; в — упругое основание
лентные |
по своим |
обобщенным |
свойствам |
реальной |
трещиноватой |
скальной |
породе. |
|
Здесь |
предлагается новый под |
|
ход в решении некоторых проблем ных задач для скальных трещино ватых оснований.
Для исследования напряжен ного состояния и деформаций скаль ного трещиноватого основания в условиях, далеких от нарушения прочности основания или сооруже
ния, можно использовать |
следую |
щие методы: |
___ |
а) применение теории упругости |
|
к изучению напряженного |
состоя |
ния и деформаций скального моно лита без трещин;
б) применение теории вероятно стей и математической статистики к изучению напряженного состоя ния и осадок скального трещино ватого основания, состоящего из разобщенных трещинами отдельных блоков;
в) комбинированное использова ние теории упругости и теории, по строенной для безраспорной среды, для изучения скального трещинова того основания, занимающего про межуточное положение между мо нолитом и основанием блочного строения (рис. 6.1).
* Материал данной главы доложен на 2-м Всесоюзном съезде по теоре тической и прикладной механике 30 января 1964 г.
Если рассматривать скальное трещиноватое основание как про межуточное между упругим основанием и основанием блочного строения, то значения напряжений и деформации в нем будут про межуточными между значениями, вычисленными для упругого ос нования и основания блочного строения. Например, для напряже ний и осадок
°2 упр ^ |
°2 СК |
32 6-1* |
И Уупр < |
< |
“ W |
ах упр |
ах ск |
ах бл» |
Gy упр |
ск |
°у бл» |
х упр |
хск |
хбл* |
где о2ск, |
ахск, тск — напряжения |
в |
скальном |
трещиноватом |
|||
|
|
основании; |
|
|
|
|
|
° г у п Р, ° ,у п р . |
^ у п р » |
хупР — напряжения |
в |
упругом |
полупростран |
||
|
|
стве; |
|
|
|
|
|
»а*бл» а^бл» |
тбл — напряжения |
в |
блочном |
массиве; |
|||
|
Доупр — осадка |
упругого |
массива; |
||||
|
|
wCK— осадка |
скального |
трещиноватого осно |
|||
|
|
вания; |
блочного основания. |
||||
|
wz бл — осадка |
||||||
Величины напряжений и осадок скального трещиноватого осно вания могут быть вычислены как математические ожидания, т. е.
°2 СК |
^упр°2упр |
^7бл°гбл* |
ах СК = |
*7упр°* упр "Ь *7бЛ°ДСбЛ1 |
|
ау ск ~ |
Уупрау упр |
Ябл^убп* |
ХСК = |
*7упрх упр “Ь |
*7блхбл» |
^СК = |
*7упр^упр + |
^бл^бл'» |
*7упр 4 “ Ябл = |
1, |
|
где <7у„р — вероятность приближения |
реального скального основа |
|
ния к упругому монолитному основанию;
q6n — вероятность приближения скального трещиноватого ос нования к основанию блочного строения.
Для вычисления напряжений и деформаций в упругом монолит ном основании используется теория упругости, а для вычисления напряжений и деформаций в основании блочного строения — тео рия, построенная для безраспорной среды. Что касается вероятно стей приближения, то они должны определяться по характеру раз вития трещин в скальном трещиноватом основании на основе геоло гических обследований.
§ 2. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Для вертикальных напряжений от линейной нагрузки ранее была получена формула
Р У 7 ( ах2\ |
|
з’= -тЬ -ехр(-^)- |
(6.1) |
|
По вертикальному напряжению вычисляются горизонтальные и касательные напряжения
J_d°z |
_ |
|
Р У а (— 2х)а |
ехр ( - £ ) |
||
2а дх |
~ ' |
|
УЪ* |
2г |
|
|
|
|
1 |
д2аг . |
|
|
|
|
|
' 4а2 5а:2 ’ |
|
|
|
|
|
Р У а |
|
|
|
|
|
|
УьГг |
|
|
|
|
|
|
= |
1 ^2дг |
1 |
дтхг , |
|
|
|
|
4а2 дх2 |
2а |
дх |
* |
|
|
dx |
= — 0г + — ^5.. |
|
|
||
|
2z |
2г |
дх |
|
|
|
Из выражения (6.2)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
— — — 2ат |
(6.6) |
|
дх |
*2 |
|
Тогда выражение (6.5) примет вид |
|
|
1 |
|
|
Подставив это выражение в формулу (6.4), получим |
|
|
— i f f |
- 1) - |
«б-»> |
§ 3. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ
Вертикальные напряжения (рис. 6.2) в безраспорном зернистом основании от нагрузки, распределенной равномерно по полосе, оп ределяются выражением
■— |
1 p l / ^ exp[ - i < * - 5)2] d5- |
(6.9) |
|
Заменой переменной
(6. 10)
(6.П)
выражение (6.9) приводится к виду
(6. 12)
Рис. 6.2. Расчетная схема к определе нию напряжений в плоской задаче от нагрузки, равномерно распределенной по полосе
• , - - f ( * [ < « + » > / т ] - ® [ < ' - « 1 / 1 ] ) |
(6.13) |
||||||||||
|
|||||||||||
Касательные напряжения |
|
|
,1 { |
ут ] - |
|||||||
2а |
дх |
4а |
дх |
L 1 |
^ |
|
|||||
1 |
даг |
р |
д |
|
|
|
\ |
ф / и — 6) |
|
|
|
V7Йг*Н |
' а (х + Ь)* \ |
e x |
p |
( - ^ |
i ) |
|
|||||
) |
2г |
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.14) |
Горизонтальные нормальные напряжения |
|
|
|
|
|||||||
|
|
дх |
_____ ^ |
|
А |
Тр у |
п |
(*+*->- |
) - |
|
|
* |
2а |
|
4 а / 2 т zaz |
дх |
[СХР ( |
|
2г |
|
|||
(6.15)
( в .16)
§4. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ПОЛОСОВОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
При нагрузке (рис. 6.3), заданной уравнением
/(*) = ■? ( l - | - ) , |
(6.17) |
вертикальные напряжения выражаются зависимостью
+ ь
2Ь
fa
(6.18)
1*-Ч
Рис. 6.3. Расчетная схема к определению напряжений в плос кой задаче от нагруз ки, распределенной на полосе по закону
параболы
Подстановкой значений из (6.10) и (6.11) преобразуем это выражение
0' = р { у к |ехр(“ т ) л -
I Л
dt-
~ 2ху /Гт | |
<е* р ( - т ) Л |
+ т |
J |
/,ез1р(_ т ) Л ] - |
(6л9) |
|
/| |
|
|
/, |
|
|
|
Группируя правую часть и интегрируя ее, получим |
|
|||||
b~ |
ab2 |
( |
- 4 |
) Л - |
р е*Р( - 4 |
) х |
X |
V 2т:а |
/ й У + Р е х р 1 |
- Т ) Х |
|
||
ti* |
|
|||||
2л:
(6.20)
Учитывая, что tx = (л: + Ь) |
= (х — Ь) j X y . |
лучим
|
|
X 2 _____ Z _ \ |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
V' |
" &2 |
ct&2J |
|
|
|
|
|
|
|
i / i |
|
|
|
«(Х-ЬУ- |
+ (6 — *) ехр |
° (д:2^ |
)г |
)] |
||
[ <' + 4 ' ’4>(' |
2 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Касательные напряжения |
|
|
|
|
(6.21) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
_____ _______ ____ 1_ д_ |
|
(‘ - £ - г - ) х |
|
|
|||||
Хг |
|
2а |
дх |
2а |
дхг ( - т |
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
exp |
|
а-±х ~ 6)2 j + |
(6 — *) ехр |
- (* + б)2 |
|
(6.22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
* / I h |
( - !Ч * ) - - “ > ( - ^ ) ] + ^ / £ |
|
X |
|||||||
|
х |
[ « |
« |
р ( - ^ |
) - . . р |
( - - - ^ ) ] } . |
|
№.23, |
||
Группируя члены правой части, получим |
|
|
|
|||||||
+ s i t |
с - |
г |
- |
а |
|
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.24) |
|
Из этого выражения с учетом (6.22) имеем |
|
|
|
|||||||
|
да2 _Рх |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~дх |
~~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.25) |
|
Дифференцируем это выражение по х :
^ - Ж т г в - ф(тг^)]+
Рх |
2 / а |
|
ь2 |
уъ |
|
|
*(* 4- ьу- |
|
* т ы - |
|
|
|
а (* — Ь) ехр (_ ^ ) ] |
(6.26) |
2й. = 2.Гф(£±*у1\_ф[£^‘ уггГ)1+ ^ Д |
- х |
|
||||||||||
ад:2 |
|
Ь2L |
\ /г |
/ |
|
I У 2 |
/J |
У 2т.г |
Ь2 |
|
||
|
|
х Н - Т ) - " ' ’( - ^ ) ] + |
|
|
||||||||
|
|
|
+ £ J ^ J L ( i _ J i L _ 2 - U |
X |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/2 z z |
г |
\ |
62 |
аЬ21 |
|
|
|
|
х [(х + |
Ъ) exp (— а{х + Ь)*') — (х — Ь) exp |
|
|
. |
(6.27) |
|||||||
Учитывая |
(6.27), для |
горизонтальных напряжений |
получим |
|||||||||
ог = — \ф ( -Хр У а ) - ф ( х- ^ У ^ ) \ + |
Рх Vа |
|
|
|||||||||
г— X |
|
|||||||||||
х |
4а2Ь2 [ |
\ У г |
I |
|
\ У г |
)\ |
а2Ь2 У 2тг |
|
||||
|
|
Х [еХР(' |
. i M |
) _ |
exp(_i< £rz*>ij] + |
|
|
|||||
|
|
|
2z |
|
|
|
2г |
|
|
|
||
|
|
|
|
Р У'е |
|
|
|
)х |
|
|
||
|
|
|
+ |
• г У 2т.г |
|
ь2 |
ab2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
S ( |
|
|
|
|
|||
х [(х + |
Ь) ехр ( - |
° (ЛГ+ Ь)г) - |
(х - |
6) ехр ( - |
?(дс~ ',)г)| . |
(6.28) |
||||||
Таким образом формулами (6.21), (6.24) и (6.28) определяется напряженное состояние зернистого безраспорного основания от параболической полосовой нагрузки.
§ 5. СОСРЕДОТОЧЕННАЯ ВЕРТИКАЛЬНАЯ НАГРУЗКА
Решение уравнения (3.56) для вертикальных напряжений при граничных условиях;
при х = у = 0 |
аг = — Р |
при 1*1 > 0 |
о2 = О |
|< /|> ° |
|
При д:-> ± оо |
|
|
|
|
|
у |
+ оо о2-^ О |
|
|
|
|
Z |
ОО |
|
|
|
|
имеет вид |
Sara., |
( |
*хХг + *уУ2\ |
|
|
|
~ |
|
|||
|
в' = - р |
] / & £ е х р [ |
----------* “ )• |
(6 -29> |
|
Это решение совпадает с полученным ранее для тех же граничных условий.
Дифференцируя это выражение по x t получим
у , — |
|
|
|
— - Т - |
Подставляя (6.30) в выражение (3.49), получим |
||||
|
|
1 |
х |
|
*2 |
|
2 |
г |
2 |
Аналогично получаем значение i yz: |
|
|||
"■ |
|
1 |
У |
|
— ----------— а,. |
||||
уг |
‘ |
2 |
г |
2 |
|
|
|||
Дифференцируя выражение (6.30) по х, имеем |
||||
д2ог |
|
|
|
X <?аг |
дх2 |
|
|
|
z дх |
(6.31)
(6.32)
Подставляя сюда значение первой производной из (6.30), полу-
д2аг |
= |
_ |
J _ |
|
|
|
|
|
|
дх2 |
~ |
*х z |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем |
это |
значение производной |
в |
уравнение (3.51): |
|||||
|
|
|
\ |
4 |
Z2 |
----- — 0 - |
4axz \ |
Z |
(б-33) |
|
|
|
4axz ) |
) |
|||||
Аналогичным образом получаем значение оу : |
|||||||||
|
|
0„ = (— |
z2 |
W |
4аyz \ |
z |
(6.34) |
||
|
|
у |
\ |
4 |
4аyz ) |
) |
|||
Дифференцируем выражение (6.30) по у: |
|
||||||||
д2аг |
|
|
х |
|
д а , |
х I |
у |
\ |
|
дхду |
|
|
Т Ну |
~ ~ *х ~Г(~ °’уТу °2 ~ ах°'иху, |
|||||
1 |
ху |
ху |
'ху =-■2---- а*аУ |
z- |
= 7Т аг- |
4ахау J |
4г2 |
Таким образом, определены все компоненты напряжений для вертикальной сосредоточенной нагрузки.
§ 6. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ РАВНОМЕРНО ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКУ
Вертикальные напряжения от такой нагрузки (рис. 6.4) опреде ляются выражением
|
|
- |
ф ( / Г ^ ) ] - |
(6-35) |
|
0 |
- Касательные напряжения: |
||||
г |
|
- „ |
р ( - ^ ) ] |
х |
|
|
|
||||
У |
|
хИ т г ^ )- |
|||
0 |
д |
||||
- |
ф ( т г > / % )]; |
(6.36) |
|||
|
|
||||
|
2Ь- |
|
а»(У + а)2| |
|
|
Рис. 6.4. Расчетная схема к опреде |
|
|
|||
лению напряжений |
от нагрузки, |
|
|
|
|
равномерно распределенной по пло |
|
|
|
||
щади прямоугольника |
|
|
|
||
х [ф( у г ^ “")—ф ( у г ^ “*)]: |
<637> |
||||
х [ « р ( - |
(6.38) |