книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfДифференцируем уравнение (4.12) по л: и подставляем его в вы ражение (4.15); подставляя также в это выражение зависимость (4.14), получим
d2w |
(4.17) |
1хг° = — 2а дхдг |
Аналогично подставляя (4.13) и (4.15) в уравнение (4.16), по лучим
Е— ~ — д*ш • дх 4а2 дгдх2'
после интегрирования по х имеем
1 |
d2w |
. |
п , ч |
U = ------------------------ |
дхдг |
b |
Р (2 ). |
4*2 |
|
’ |
При х ^ со перемещение |
и -» 0 |
и ---------->0, следовательно, |
р (z) = о. Таким образом, |
|
дхдг |
горизонтальные перемещения связаны |
||
с вертикальным соотношением |
|
|
|
= _ 1_ |
д2w |
£ |
4а2 |
дхдг |
|
|i = 0) уравнение (4.17) примет |
|
При соотношении G = — (так как |
||
вид
_____ 1_ d2w
Тдгг ~ |
« дхдг ' |
По аналогии с плоской задачей для пространственной
ц = ±_
4аз дгдх ’
_ 1 |
|
d2w |
# |
_ |
|
1 |
д2^ |
4а2 |
|
дгду |
' |
^хг |
|
ах |
дгдх |
_ |
1 |
d2w |
# |
_ |
1 |
d2w |
|
^уг |
ау |
дгду |
’ ^ху |
|
2ах ау |
дхду ’ |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
Г - |
1 |
/ 1 |
ЭЪг |
I |
1 |
дЪ г \ |
1ху |
4 |
\*х |
ду |
' |
ау |
дх ) ' |
Приведенные уравнения связывают средние перемещения и по вороты малых элементов эквивалентной сплошной среды. Эти урав нения аналогичны уравнениям неразрывности деформаций в теории упругости, но отличаются от последних в связи с тем, что зернистая
среда в отличие от среды упругой не способна воспринимать растя
гивающие усилия. |
соотношения справедливы |
Нетрудно видеть, что приведенные |
|
и для переменного по глубине модуля |
упругости. |
§ 3. ДЕФОРМАЦИЯ СЛОЯ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ОТ ЛИНЕЙНОЙ НАГРУЗКИ
Безраспорные среды имеют ограниченную мощность. Обозна чив мощность через hlt получим деформацию массива от нагрузки, распределенной по линии
(рис. 4.3):
w = — Гa2dz. (4-18)
Е о
Подставив в выражение (4.18) вместо о2 соответ ствующую зависимость для напряжений, получим
ценной мощности от линейной нагрузки |
2г dz. |
Интегрируя, получим следующую зависимость для осадки маесива
Из выражения (4.19) при Xх = 0 получим] зависимость от верти кального перемещения (ос:адки) массива мощностьюw hx по линии приложения нагрузки
- |
2± |
л / Ж . |
“ |
Е |
V 2д ’ |
§4. ДЕФОРМАЦИЯ ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ЛИНИИ
При решении вопросов о распределении напряжений в безраспорных средах было установлено, что слоистые системы могут при водиться к однородным эквивалентным средам.
Осадка слоистой системы по оси z складывается из суммы де формаций слоев. Так, для двухслойной системы, изображенной на рис. 4.4, перемещение будет складываться из деформаций верхнего слоя wl и нижнего слоя w2, т. е.
|
w = w1 + w2. |
|
(4.20) |
|
Из зависимости (4.19) при а = ах и Е = |
Еи для |
деформации верх |
||
него слоя |
имеем |
|
|
|
J J - l - i / г л |
|
1— Ф |
> 4 * |
|
wL■ |
2* F V 2/tj / |
2 |
|
(4.21) |
|
|
|
||
где £ x |
модуль упругости материала верхнего слоя. |
|||
Для определения деформации нижнего слоя воспользуемся фор мулой (4-18) при h1 = h 2 и Е = Е2.
Подставляя в эту формулу выражение для напряжений во вто-
В формуле (4.22) величина h.A + Л2 = /гэ, тогда
" т, \ / i [ |
( - |
- V * » 1“ р ( - ц |
|
|
2С) + |
(4.23)
П о д с т а в и м теперь в з а в и с и м о с т ь (4.23) з н а ч е н и е
Н ^ .
После подстановки и преобразований имеем
Подставим теперь выражения (4.21) и (4.24) в формулу (4.20); после преобразований получим
Из соотношений (4.21) и (4.25) имеем
w = wa— w J — — 1V U . /
где w3— деформация от заданной нагрузки однородного массива толщиной h3, состоящего из материала нижнего слоя;
Щ — деформация от заданной нагрузки верхнего слоя.
§ 5. ДЕФОРМАЦИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ НАГРУЗКИ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПОЛОСЕ
Для решения вопроса о деформации многослойной системы плоской задаче докажем следующее утверждение.
Если деформация слоя
w = т J J |
( - |
(4-26> |
и —Ь
&
а предел интегрирования h3 связан с некоторой величиной зависи мостью
K = |
(4.27) |
то выражение (4.26) через зависимость (4.27) может быть представ лено в виде
о -ь
Произведем замену переменной интегрирования в выражении (4.26) подстановкой
z ~ t ——, |
(4.29) |
ai |
|
где t — новая переменная интегрирования: |
|
dz = — dt |
(4.30) |
«1 |
|
Пределы интегрирования по новой переменной получаем из выражения
|
|
|
t = z -2L; |
(4.31) |
|
|
|
|
a |
’ |
|
при |
z = 0 |
t1 = 0; |
|
|
|
при |
z — h3 |
t2 = h3-^~. |
|
(4.32) |
|
Подставив выражение (4.27) в формулу (4.32), получим |
|||||
при 2 = Иэ |
t2— h. |
переменной, вместо |
(4.26) получим |
||
Произведя замену |
|||||
|
|
о |
—ь |
|
|
Или меняя |
обозначение переменной |
интегрирования, |
|||
|
|
|
|
|
(4.-33) |
о —ь
Таким образом сформулированное выше положение доказано. Определим теперь деформацию многослойной системы от произ
вольно заданной нагрузки (рис. 4.5).
Общая деформация многослойной системы складывается из суммы деформаций отдельных слоев, т. е.
w2 — деформация второго слоя в системе; |
|
|
w3 — деформация |
третьего слоя в системе; |
|
w4 — деформация четвертого слоя в системе; |
|
|
wn — деформация |
п-го слоя в системе. |
|
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое выражения (4.34) |
зная |
|
что |
‘ |
|
|
1 |
(4.35) |
|
w ‘ ^ T i i ° ‘ ‘ d z ' |
|
где wt — деформация /-го слоя;
Рис. 4.5. Расчетная схема к определению осадки мно гослойной системы от произвольно заданной верти кальной нагрузки в плоской задаче
—модуль материала /-го слоя;
—толщина /-го слоя;
°г/ — функция распределения напряжений в /-ом слое. Напряжения в /-ом слое
|
° z z — ai ( ^ „ ( / - I ) + |
Z ) |
- ) m V |
-exp f - |
</;, (4.36) |
!0n (1 - 1) + г) |
2(ЛИ(/-1) + z) |
rAe ^n(/-i) ~~ эквивалентная толщина всех вышележащих слоев, приведенных по распределению напряжений к рас сматриваемому слою;
z — координата по вертикальной оси рассматриваемой
точки при положении начала координат на границе раздела верхних слоев и данного слоя.
Подставляя выражение (4.36) в зависимость (4.35), получим
= |
(Лп('-о + * )dz- |
(4-37> |
Для верхнего слоя системы деформация |
|
|
|
1 ? (z) dz, |
(4.38) |
где hx — толщина верхнего слоя;
z — координата, отсчитываемая от поверхности соответствую
Для |
щего однородного массива. |
|
|
второго слоя системы |
|
|
|
|
|
|
(4,39) |
где Ег — модуль материала второго слоя; |
|
||
h2 — толщина второго слоя; |
толщина верхнего |
слоя по |
|
Ка-\) — приведенная эквивалентная |
|||
_ |
распределению напряжений |
к материалу второго слоя; |
|
z — координатапо вертикальной оси, отсчитываемая |
вниз от |
||
|
верхней границы второго слоя. |
|
|
Произведя замену переменной интегрирования в выражении
(4.39) подстановкой |
|
Л „.+5 = г, |
(4.40) |
получим
1лЭ2
щj «г(2)*;
АП1
ИЛИ |
|
|
|
= i b |
(z)dz - |
о2 (z) dz, |
(4.41) |
где кэ2 — полная приведенная толщина двух верхних слоев по рас пределению напряжений к материалу второго слоя.
Согласно доказанному в данном параграфе положению второй интеграл выражения (4.41)
".U |
*1 |
(4.42) |
1 "2(z)dz = |
J (г) dz, |
|
0 |
0 |
|
где
(4.43)
После подстановки выражения (4.42) в зависимость (4.41) полу чим
1 1>э2 |
1 |
1,1 |
(4.44) |
Щ = -=- f ®s(2)dz — — |
Го,(г)&. |
||
Ег J |
Ег “1 |
J |
|
Значение второго интеграла |
выражения |
(4.44) определим из |
||
формулы (4.38) |
|
|
|
|
|
N , (z)dz = Elw1. |
(4.45) |
||
|
о |
|
|
|
Подставляем это значение интеграла в формулу (4.44): |
||||
|
|
^Э2 |
|
(4.46) |
^ = |
|
$ °*(z)dz- T 2 f |
||
“ |
Wi- |
|||
|
0 |
2 |
|
|
Заметим, что первый член выражения (4.46) представляет де формацию сжатия от заданной нагрузки однородного слоя толщи ной /гэ2, состоящего из материала второго слоя. Учитывая это, по
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
щ = «>* — Е2 |
|
|
(4.47) |
||
где |
|
|
|
|||
|
|
1 1'э? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.48) |
|
|
®э2= -jr j' °2{z)dz. |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
Определим деформацию третьего слоя. Согласно формуле (4.37) |
||||||
деформация этого слоя |
|
|
|
|
|
|
ш3 = |
1 Л? |
г) £ , |
(4.49) |
|||
— |
j °з (йпа + |
|||||
|
|
с з |
о |
|
|
|
где Е3 — модуль материала третьего слоя; |
|
|
||||
— толщина третьего слоя; |
|
|
|
|||
z — координата рассматриваемой |
точки в третьем |
слое при |
||||
положении начала координат на границе раздела вто |
||||||
рого и третьего |
слоев; |
|
|
|
||
Выполняя те же операции, что и при определении деформации |
||||||
второго слоя, преобразуем выражение (4.49) |
|
|||||
1 V |
|
1 |
Лэ2 |
(4.50) |
||
— |
\ |
°3{ z ) d z - - ± - ^ - |
as{z)dz. |
|||
£3 |
J |
|
Е 3 |
«2 |
J |
|
где
^эЗ = '^П2 + ^3 — ^1 + ^2~ + ^3*
Определяя из выражения (4.48) значение второго интеграла вы ражения (4.50), получим
ЛЭ2 |
(4.51) |
J o 2(z)dz = ш э2£ 2 |
|
0 |
|
После подстановки выражения (4.51) в зависимость (4.50), получим
«<8= “<33 — fr® * . |
(4.52) |
1 *?
(4.53)
t 3 J
Рассмотрим теперь деформацию я-го слоя. Согласно зависимости (4.37), деформация его
|
|
hп |
|
|
|
|
|
w" = Т I |
|
(Л" <»-» + |
*)dz' |
(4-54> |
|||
|
|
Сл о |
|
|
|
|
|
где Еп — модуль материала я-го слоя |
(последнего); |
|
|||||
hn — толщина его; |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
(л-1) |
= h |
а" |
* |
|
|
|
"п |
|
п в (л -1) |
а л_ , |
|
||
Производя в выражении (4.54) замену переменной интегриро |
|||||||
вания подстановкой |
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
К (л-1) "Ь 2 ~ z> |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
Лэл |
|
|
|
|
wn = — |
/, |
f 0n(z)dz; |
|
|||
|
|
|
J |
|
|
|
|
или |
|
|
|
п (л-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Лпл |
|
|
. |
лп (л—1) |
|
|
й)п ==— |
f |
°л{z)dz — — |
f |
on{z)dz, |
|
||
где |
к |
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лпл - К + Лп (л-1)-
Учитывая доказанное в данном параграфе положение, получим
|
1 Лпл |
|
1 |
„ |
|
,1э({Г1) |
(4-55) |
||
wn= — |
{ an(z)dz — — T JL- |
f °n(z)dz- |
|||||||
|
Еп |
j |
|
Еп |
п |
1 |
|
|
|
1 |
f оп(z) dz = wnn, |
j |
Лэ ( п - 1 ) |
°п (z)dz = w3(n_i)I |
|
||||
Обозначив — |
- — |
|
|
f |
|
||||
En |
J |
|
|
Ln-i |
|
i |
|
|
|
|
|
F |
an |
= |
E |
э(л-!)» |
|
||
|
|
|
" -1 «л_1 |
|
|
|
|||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
получим |
|
Wn = wnn-----• |
|
|
|
|
(4-56) |
||
|
|
|
|
E n |
|
|
|
|
|
Подставив |
эти |
выражения деформации |
слоев системы в фор |
||||||
мулу (4.34), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Е |
|
|
|
Е |
|
|
w = w1+ w2 — - ^ w 1+ w ,3 — - f w !>i + w!A — |
|
||||||||
|
|
|
Еч |
|
|
|
Е3 |
|
|
|
|
+ |
-f1- WП1 |
W - ' l w |
|
|
Еп 3 ( « - ! ) • |
||
Группируя члены в выражении (4.57), имеем |
||||
II аэ |
1 |
/ Е э ( п - 1 ) |
| |
^ - 1 |
Д Е п |
j “’Мл- l l + |
|||
|
|
|
Е 4 |
|
\ Е з |
Ь +® -' |
+ 1 — |
— 1 |
(4.57)
) а’эЗ +
(4.58)
Таким образом, в случае произвольной нагрузки деформация слоистой системы может быть представлена через деформации от заданной нагрузки эквивалентных однородных слоев из материалов, образующих заданную систему.
При этом следует подчеркнуть, что толщины эквивалентных однородных слоев не зависят от характера нагрузки, а определяются лишь толщинами слоев конструкции, порядком расположения их в системе и механическими характеристиками соответствующих материалов.
§ 6. Д Е Ф О Р М А Ц И Я М А С С И В А ОТ В Е Р Т И К А Л Ь Н О Й С О С Р Е Д О Т О Ч Е Н Н О Й Н А Г Р У З К И
Подставив в формулу (4.18) выражение для напряжений от сос редоточенной нагрузки, получим
о