книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfИз выражения (11.7) легко установить, что для точек, находя щихся под полосой, при г -> 0 напряжение -> р, а для точек, на ходящихся вне пределов полосы загружения, при z -> 0 напряже ние о2 0, т. е. решение удовлетворяет граничным условиям.
Касательные напряжения
Горизонтальные напряжения определяются по формуле (11.4):
После дифференцирования и некоторых преобразований получим
§ 3. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НА ПОЛОСЕ ПО ЗАКОНУ ПАРАБОЛЫ
Пусть распределение нагрузки по полосе (рис. 11.1, VI) опреде ляется уравнением
Тогда вертикальные напряжения в любой точке грунтового мас-
сиваia
+ь
Через табулированные функции этот интеграл может быть пре образован
( 11.8)
Для точек, находящихся на оси 2, при х = 0 получим
Выражением (11.8) в общем виде определяется характер распре деления напряжений от нагрузки в пределах полосы по закону па
раболы.
Для вычисления касательных напряжений определим частную производную по х:
- 7 т г [ ( ' + ^ м |
- ^ ) + |
+ ( ‘ - т М |
^ ' |
Тогда касательные напряжения
PXZ'>
Ь2 [ф ш - ф (т
Для определения горизонтальных нормальных напряжений про дифференцируем по х выражение (11.9):
^ = - - И ф Ш |
- ф Ш |
- |
|
2Рх Г__ / |
(* + Ь)2^ |
|
|
b2z |/2^
Горизонтальные н ап ряж ен ия vP /. 3vz2
- ^ ( ' - ^ - ^ ) ! ф( т т ? ) - ф ( т # ) ] -
2vz2 -)]•
§ 4. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ЛИНЕЙНОЙ ПОЛОСОВОЙ НАГРУЗКИ
Пусть согласно рис. 11.1, II I нагрузка по полосе выражается уравнением
/ W = Q (* + Ь\ г д е Q _некоторая постоянная величина.
Вертикальные напряжения от такой нагрузки
ь
о
о, = -
гУч-
Q(b + x)
Для определения касательных напряжений продифференцируем по х это выражение:
Н в Ш - « ( 7 7 г ) ] +
|
+ ■ |
2Qb |
- exp ( |
(х--Ь)2)* \ |
( 11. 10) |
||
|
|
: 'У 2чк |
\ |
2vz2 |
) ’ |
|
|
тогда касательные напряжения |
|
|
|
||||
|
|
2QbV'i |
|
|
|
|
|
|
- - |
v |
t |
exv{ |
|
|
|
Для определения горизонтальных нормальных напряжений |
|||||||
продифференцируем по х выражение (11. 10): |
|
|
|||||
дЧг |
|
[exp (- |
j£+_QL\ |
Л _ |
26(JC— 6) ’ |
||
дх2 |
г V 27iv |
2vz2 |
j |
[ |
X |
||
|
|
|
|||||
X exp
{ x - b Y j j . 2vz2
горизонтальные напряжения
ад;2
х - ' ( - В Д
или
Q'* (Ь I х)
X exp ^ |
--------(x — b)2 |
|
2vz2 L)]- |
§ 5. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Для решения данной задачи можно использовать результаты предыдущего параграфа. Прежде всего вычислим напряжения от линейной нагрузки, изображенной на рис. 11.1, //; напряжения от такой нагрузки могут быть получены как разность напряжений от равномерно распределенной и линейной нагрузок.
Вертикальные напряжения
|
|
+ |
+ Qx ■ И т 7 г ) - ф ( 7 7 = ) - ф ( 7 7 г ) ] + |
||
|
|
( 11. 11) |
Горизонтальные нормальные напряжения |
||
|
|
+ |
+ |
Qvx |
|
|
И 77Г ) - Ф( Т ^ ) - Ф( Т ^ ) ] - |
|
|
+ |
|
— ( 1^ |
(— |
{— !iS f !L)] ■ <|1|2> |
Касательные напряжения |
|
|
’. ■ - ^ [ фШ |
+ф(77г)-2ф(т7г)]- |
|
<1U3>
§ 6. НАПРЯЖЕНИЯ В ЗЕРНИСТОМ ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ ОТ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Напряженное состояние зернистого грунтового основания от трапецеидальной нагрузки можно определить как разность напря женных состояний от двух треугольных нагрузок с разными осно ваниями, но одинаковыми наклонами граней, т. е. с одинаковыми величинами Q. Пусть нижнее основание трапеции (рис. 11.1, V) равно 2Ь, а верхнее 2В. Тогда, пользуясь зависимостью (11.11), для вертикальных напряжений получим
- “ р ( - |
( - |
] + |
+QB
На основании зависимости (11.12) имеем значение горизонталь ных напряжений
+
Qvfl |
/ X — В \ 1 |
Q'* |
Гф ( |
|
|
4- |
1г У 7 Л |
2 |
[ Ф ( |
+ |
|
|
|
|
х - В |
\ 1 |
|
|
г У ' ) |
|
Ф( z y \ |
)J |
|
2Qzv Y v |
Ьх |
\ |
|
|
+ |
|
Ъг'- |
1ехр ( |
2vZ2 |
||
|
|
V |
|
||
Пользуясь формулой (11.13) для касательных напряжений, по лучим
Н-
§ 7. Н А П Р Я Ж Е Н И Я О Т Н А Г Р У З К И , Р А С П Р Е Д Е Л Е Н Н О Й В П Л О С К О Й
З А Д А Ч Е П О З А К О Н У П О К А З А Т Е Л Ь Н О Й Ф У Н К Ц И И
Пусть согласно рис. 11.1, VII нагрузка задана выражением
f(x) = P1e x p ( - C lx% |
|
|
(11.14) |
||
где Plt Cj — постоянные параметры функции. |
|
|
|
||
Вертикальные напряжения от этой нагрузки |
|
|
|||
+« |
|
|
(* - е )2 \d l |
|
|
a*=_ lifer | е*р(-с^>ехр(- |
|
||||
|
2vz2 |
|
|||
Решим этот интеграл |
|
С ^ |
|
|
|
P i |
-ехр |
|
(ПЛ5) |
||
Vl+2,C,z* |
' " У \ |
Н -2ЧС& )' |
|||
Из сравнения этого выражения с (11.14) можно установить, что достаточно величину Pj разделить на выражение ]/~1 -+ 2Qvz2, а
Ci на квадрат этого выражения, чтобы получить формулу для вер тикальных напряжений.
Касательные напряжения
даг |
^ р |
2P iX |
С г |
X |
дх |
2 [ |
V 1 + 2vQz2 |
1 + 2vCiZ2 |
|
X exp |
1+ 2vCxz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2P1C1vxz |
-exp |
|
2C^xz |
|
/ ( l + 2-.С.г»)* |
(- 1 + 2vCxz2 • ) - 1 + 2vClZ2 |
|||
Для определения горизонтальных напряжений возьмем вторую производную по х от о2.
дЧг = |
2Сг |
4Ст; |
дхг ~ ~ |
1 + 2С^га ■ ° « + |
(1 + 2 Cxvz2)2 |
Тогда |
|
|
|
ах = V02+ v2 2 |
(1 + 2vCxZ2)2 |
------------- ат |
|
ИЛИ |
1+ 2Cxvz2 |
2 |
|
|
|
|
|
°л: = v I 1 + (1 + 2vC^ 2)2 |
1 + 2C>z2 |
’2 |
|
О.
где o2 определяется из выражения (11.15).
§ 8. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Формула (9.7) выражает вертикальное напряжение от сосредото ченной силы. Это же выражение является решением уравнения (9.60). Если в нем г2 заменить х2 + у2, то оно примет вид
В таком виде оно является решением уравнения (9.48). Исполь зуя соотношения (9.54) и (9.55), для горизонтальных напряжений получим:
Из зависимостей (9.43), (9.44) и (9.56) вытекают следующие вы ражения для касательных напряжений:
В цилиндрических координатах эти зависимости примут вид
§ 9. НАПРЯЖЕНИЯ от н а г р у з к и , о п и сы в а ем о й п о к а за т е л ь н о й
ФУНКЦИЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧЕ |
|
Пусть вертикальная нагрузка на поверхности массива |
выра |
жается зависимостью |
|
/(г) = Я1е х р ( - С / ‘), |
(11.16) |
где Рг и Q —- постоянные параметры. |
|
Вертикальные напряжения от такой нагрузки |
|
ехр[-С,(?* + V)]X
- |
- |
* |
п |
' |
|
|
|
|
х |
ехр | _ |
(X |
V + J y |
|
|
|
Решив этот |
интеграл, |
получим |
|
|
|||
|
|
|
Pi |
|
exp (------ V |
J |
|
|
|
1+ 2vClZ2 |
\ |
1+ 2vC,j2 |
|||
Сопоставление полученной формулы для вертикальных напря жений с выражением (11.16) показывает, что в рассматриваемом слу чае интегрирование сводится к делению параметров Р1 и С1 на вы ражение (1 4- 2vCj22).
Другие составляющие напряжения:
|
|
|
дг |
=~ Ч 1 + |
|
|
2С,г |
IX |
||
|
|
|
2vCiZ2 |
1 + |
2vCiZ2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
<V2 |
|
|
|
|
|
|
|
X ехр (---------), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V |
1 + 2 vCjZ2 Г |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2CLn z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2vClZ2 |
|
|
|
||
__ |
Л |
, |
4Сг>гCjvr2zг2 |
_ |
|
|
^ |
|||
|
[ |
|
(1 + 2vClZ2)2 |
1 + |
2C,vz2 / z |
|
||||
|
= |
-------— ------ f l |
+ |
1+ 2vC,z2 |
|
|||||
|
|
|
1+2C.VZ2 |
^ |
|
|||||
, = vo |
|
|
1 |
ftj. |
|
|
2CX'W |
|
||
z |
+ vz2— |
^-2- |
|
1+ |
2vC,z2 |
|
||||
1 |
|
' |
r |
dr |
|
|
|
|||
, = . + |
-------1 |
2C‘" 2 |
)<,, = ■ |
\ |
+ 2VC122 |
} |
Для напряжений на оси симметрии, т. е. при г = О, формулы принимают вид
|
о |
р1 |
= 0; |
|
|
1+ 2\Clz2 |
|
а |
а о |
к |
|
|
1 + 2vCjZ2 / 2 |
1 + 2VC!Z2 |
|
|
|
§ 10. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКУ
Для определения вертикальных напряжений в этом случае (рис. 11.1, XI) воспользуемся формулой
°2= — Р |
|
|
|
X |
|
—ъ |
|
|
|
X |
1 ^ |
1/ ^ г ехр( - “ |
) ^ |
(11.17) |
|
|
Как видно из этой формулы, решение сводится к отысканию со ответствующих данных плоской задачи. Подобная плоская задача была ранее рассмотрена. Поэтому выражение (11.17) принимает вид
а2
(11.18)
Формула (11.18) представляет в общем виде зависимость для определения вертикальных напряжений в грунтовом массиве от на грузки, равномерно распределенной по площади прямоугольника со сторонами 2b X 2а.
Горизонтальные нормальные напряжения:
(х-Ь)2
X
2vz2
- г ( [ ф Ш - ф ( т ? г ) ] -
-ТТкГ [<» + |
- ^ й г 1) - «'-•>И |
- |
-“к ? 1) ] 1x |
|
х И т £ ) - * Й * ) ] - |
|
|
Касательные |
напряжения: |
|
|
|
( |
- • |
№ |
* - ^ H - - * S t ) - “ ' H S t ) ] x
х[*(т7г)-ф(т# )]‘
§ 11. Н А П Р Я Ж Е Н И Я |
О Т П А Р А Б О Л И Ч Е С К О Й |
Н А Г Р У З К И , |
Р А С П Р Е Д Е Л Е Н Н О Й П О П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К У |
||
Пусть распределение нагрузки по площадке |
(рис. 11.1, XII) |
|
выражено зависимостью |
|
|
/( * ,* ) = |
p ( l - - J - ) ( l - - £ ■ ) . |
(11.19) |
Здесь нагрузка представлена как произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а вторая от у. Поэтому верти кальные напряжения также определяются как произведение двух функций, т. е.
, = - Р |
X |
|
—ь |
X |
( 11.20) |
Формула (11.20) представляет собой произведение двух анало гичных решений для вертикальных напряжений в плоской задаче