книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfПодставляя в эту формулу значение вероятности из формулы (7.1), получим
з |
з |
з |
|
|
= |
4 In- j — 1 = 4 -0 ,4 1 — 1 = 0,64. |
|
(7.3) |
|
ГГ |
|
в пределах |
71 ^ |
2 |
При положении второго контакта |
— % а < — те |
|||
устойчивое положение частицы будет обеспечено при любом возмож ном положении точки приложения активной силы.
Для этого случая вероятность устойчивости частицы
|
71 — а |
= 1, |
|
(7.4) |
<72 |
= TZ— а |
|
||
где <72 — вероятность устойчивости |
частицы при — |
< а < |
— тс. |
|
При положении второго |
|
2 |
а |
тс для |
контакта в пределах — тс |
||||
третьего контакта нет ни одной точки приложения активной силы, соответствующей устойчивому положению частицы. Вероятность устойчивого положения частицы для этого случая определится за висимостью
</3 = ^ |
= 0. |
(7.5) |
|
2 |
|
где <7з — вероятность устойчивости частицы при — тс-<а<тс. |
||
Таким образом, при различном |
положении второго |
контакта |
у частицы будет различная вероятность статической устойчивости. При определении вероятности устойчивости частицы мы условно ограничивали для каждого из рассмотренных выше случаев поло жение второго контакта. В действительности второй контакт с оди наковой вероятностью может быть расположен в каждом из рассмот ренных пределов. Вероятность устойчивости частицы без ограниче ния области расположения второго контакта можно определить как среднее арифметическое из значения вероятности устойчивости частицы при частных случаях расположения второго контакта, т. е.
q = + ^ + Чз- = 0,64+ 1+ 0 = 0,55. |
(7.6) |
Следовательно, при трех рабочих контактах у частицы в 55 слу чаях из 100 можно ожидать статически устойчивого положения ее и почти в 45 случаях — статически неустойчивого положения.
Определим вероятность статической устойчивости частицы с че тырьмя рабочими контактами. Для решения данного вопроса три рабочих контакта закрепим в предельном состоянии, а полй>кенИе четвертого контакта будем менять в пределах возможного (иа рис. 7.8 контакты обозначены римскими цифрами). Положе ние IV контакта определяется
углом а, который може? измв-
2 - ниться отнуля до — тс. Б этих
пределах изменения угДа а IV контакт с одинаковой вероят ностью может быть располо жен в любой точке на по верхности частицы. Следова тельно, вероятность статиче ской устойчивости частицы при наличии у нее четырех рабочих контактов
|
|
|
|
Т * =1- |
(7'7) |
|||
|
|
Если у частицы |
пять |
ра |
||||
|
|
бочих |
контактов, один |
кон |
||||
|
|
такт |
оказывается |
лишним, |
||||
|
|
так как для |
статической |
ус |
||||
|
|
тойчивости достаточно четы |
||||||
|
|
рех, |
которые |
закреплены в |
||||
|
|
предельном |
состоянии |
друг |
||||
|
|
относительно друга. |
|
кон |
||||
|
|
Положение |
пятого |
|||||
|
|
такта |
определяется |
относи |
||||
|
|
тельно закрепленных контак |
||||||
|
|
тов углом о с , |
|
который может |
||||
|
|
изменяться в пределах от нуля |
||||||
Рис. 7.8. Схема к расчету вероятности |
до-^- . При любом положении |
|||||||
пятого контакта частица будет |
||||||||
статической |
устойчивости частицы |
|||||||
а — при четырех |
рабочих контактах; 6 — при |
находиться в состоянии стати |
||||||
пяти рабочих контактах |
ческого равновесия. Тогда ве |
|||||||
роятность статической устойчивости частицы при наличии у нее пяти рабочих контактов
(7-8)
Для частицы с шестью рабочими контактами вероятность стати ческой устойчивости такая же, как и у частиц с четырьмя и пятью контактами, и равна единице.
С целью сопоставления геометрических условий образования различных структур со статической устойчивостью их под нагруз кой составим табл. 7.3.
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3 |
Число рабочих |
Вероятность |
|
Наиболее вероятное |
|||
образования из |
|
|||||
контактов у частицы |
геометрических |
|
число рабочих |
|||
|
соображений |
|
контактов у частицы |
|||
Шесть |
<720 |
< |
< |
924 |
1 |
|
Пять |
<725 |
< |
< |
<724 |
1 |
— |
Четыре |
|
<724 |
1 |
Четыре |
||
Три |
<723 ~ |
|
<724 |
0,55 |
— |
|
Два |
Я22 < |
< |
Я24 |
0 |
|
|
Вероятность образования той или другой структуры из геомет рических соображений сравнивается с вероятностью образования структуры с четырьмя рабочими контактами у частицы; для плоской задачи наибольшей вероятностью обладает структура, у которой частицы имеют по четыре рабочих контакта. К этому выводу можно также прийти, если за наиболее вероятное число контактов у частиц принять среднее арифметическое из числа всех возможных струк турных образований, т. е.
уу _ 6 + 5 + 4 4-3 + 2 _ ^ |
(7.9) |
|
5 |
||
|
где N — среднее наиболее вероятное число рабочих контактов у частицы.
При пространственном расположении частиц одинакового раз мера и шарообразной формы наиболее плотной упаковкой считается гексагональная, при которой каждая частица касается двенадцати других частиц. При этом, однако, взаимное расположение частиц, окружающих данную частицу, может быть разнообразным, так как эти двенадцать частиц укладываются относительно тринадцатой с не которым промежутком. Строго теоретического решения задача о наиболее плотной пространственной упаковке шаров одинакового размера пока не имеет [87, 95]. Поэтому по аналогии с плоской задачей за наиболее плотную упаковку без строгого математиче ского обоснования принимают пока гексагональную упаковку [77]. Эта наиболее плотная упаковка частиц является редчайшей [33].
Самой рыхлой упаковкой частиц одинакового размера шарооб разной формы в пространственном расположении их будет такая, у которой каждая частица имеет четыре рабочих контакта. Эта упа ковка с точки зрения статической устойчивости является маловеро ятной. Следовательно, число контактов у частицы в данном случае может изменяться от четырех до двенадцати. Поскольку в плоской задаче наиболее вероятным числом рабочих контактов у частицы
является среднее арифметическое из всех практически возможны** то можно считать, что в случае пространственного расположения частиц наибольшей вероятностью обладает появление в структуре частиц со средним числом контактов, т. е.
N = |
12+ ]1 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + |
5 + 4 __ ^ |
^ до) |
где N — среднее |
наиболее вероятное число |
рабочих контактов у |
|
частиц в случае их пространственного расположения. |
|
||
Таким образом, для пространственной задачи наиболее типич ным будет наличие у частиц восьми рабочих контактов. Это под тверждается экспериментами [68].
На рис. 7.9 изображены различные варианты упаковки зеренПри уплотнении материала число частиц с восемью и более рабочими контактами возрастет, а при сдвигах (вследствие разуплотнения материала) — уменьшается.
Рассмотрим ориентировку и взаимное положение зерен призма тической, цилиндрической и эллипсовидной структуры.
Для плоской задачи частицу этих структур можно представить в виде прямоугольника. Тогда задача об ориентировке частиц в маесиве сведется к определению вероятности того, какая из сторон прямоугольника займет горизонтальное положение. При этом на положение частиц помимо геометрического размера и положения центра тяжести будут оказывать влияние и другие факторы: напри мер, взаимодействие частиц друг с другом, влияние инерционных сил при высыпании, влияние скорости движения среды (воздуха или воды), вязкость среды и т. д.
Однако в первом приближении можно принять, что определяю щими факторами будут их геометрические размеры и положение центра тяжести каждой из них.
Если каждая частица состоит из одного материала (а это соот ветствует действительности в подавляющем большинстве случаев), то вероятность ориентировки частицы кубовидной, цилиндрической или плитовидной формы будет определяться относительными гео метрическими размерами частиц по взаимно перпендикулярным на правлениям.
На рис. 7.10 изображена частица при опирании на горизонталь ную плоскость углом, через который проходит линия действия силы тяжести; в этом положении частица находится в неустойчивом рав новесии. Поэтому при решении задачи о вероятности опирания ча стицы на плоскость большей или меньшей стороной достаточно рас смотреть изменение положения частицы относительно одного из
ееуглов.
Рассмотрим изменение углов + и с+, определяющих положение
частицы в момент касания ее горизонтальной поверхности. Если поворачивать частицу вокруг точки О, то легко установить, что
Число |
Схема структуры пространственного тела из частиц |
конт о |
среднего (эффективного) разм ера |
тоб у |
|
частицы |
|
12
$ Щ
8
.
Рис. 7.9. Схема различного взаимного расположения частиц среднего раз мера при образовании зернистого тела
угол а |
изменяется от нуля до |
В таких же пределах изменяется |
||||
И уГО Л |
0-п\ |
эти углы дополняют друг друга до |
2 |
следовательно, |
||
j ------------------------------------ |
J |
— 1- J - - — - |
|
|||
можем рассматривать один из этих углов, в частности, угол, приле гающий к большей стороне частицы. При падении частица с одинаковой вероятностью может в момент ка сания горизонтальной поверхности принимать любые значения угла ая
в пределах от нуля до - |
Если |
1г ~ |
а — |
1 - Г |
ы - У |
|
/ |
|
|
|
> < |
0 |
<Х = 0 |
< * г Г |
|
1 |
|
/ У / / / / / / / / / / ' " /
0
Рис. 7.10. Схема к определению вероятности положения частицы в массиве при разных ее разме рах по взаимно-перпендикуляр ным направлениям
а — неустойчивое равновесие; б — опирлнис частицы на меньшую грань; в — то же, на большую грань
этот угол будет меньше величины угла, определяющего положение не устойчивого равновесия, то час тица займет горизонтальное поло жение большей своей стороной. На оборот, если он будет больше зна чения, определяющего положение неустойчивого равновесия, то час тица будет опираться на горизон тальную поверхность своей меньшей стороной.
Из положения неустойчивого равновесия определим значение угла ап. Поскольку направление
действия силы веса в данном слу чае совпадает с диагональю пря моугольника, изображающего ча стицу, то величину угла, опреде ляющего это характерное состоя ние частицы, можно определить как отношение сторон, т. е.
‘8 “. = Т |
’ |
(7.11) |
откуда |
|
|
ая= arctg - |
|
(7.12) |
где ат— значение угла, определяющего положение неустойчивого
равновесия частицы.
В пределах изменения этого угла от О до полученного значе ния частица при дальнейшем падении будет ложиться на гори зонтальную поверхность своей большей стороной. Следовательно, вероятность того, что частица будет опираться своей большей
стороной на горизонтальную поверхность, определится выраже нием
Чв = ~г arctg -2-. |
(7.13) |
|
'• |
О |
|
Вероятность же того, что частица будет опираться на горизон тальную поверхность меньшей стороной, определится зависимостью
? М = |
1 — <?б = ■— - ^ - a r c tg - 2 - . |
(7.14) |
Вероятность того, |
что частица меньшей стороной |
будет опи |
раться на горизонтальную поверхность, можно определить также тождественным зависимости (7.14) выражением
9M= 4 - a r c tg 4 - |
(7.15) |
Проанализируем приведенные формулы. Из зависимости (7.13) видно, что по мере относительного увеличения геометрических разме ров зерен вероятность укладки частицы большей стороной возрастает.
При — >-оо или b -> 0 вероятность qQ 1. Из этого следует, что
частицы в виде листочков будут с какой угодно большой вероятно стью стремиться занять горизонтальное положение. При этом ве роятность опирания частицы на малую сторону стремится к нулю. Однако? даже в этом случае при относительно малом размере сто роны Ь, поскольку она не равна нулю, вероятность опирания на малую сторону частицы, как бы она ни была мала, не становится равной нулю. Из этого вытекает, что даже при относительно малом размере меньшей стороны частицы возможность опирания ее на эту сторону не исключена.
Из сказанного вытекает, что при неодинаковых размерах зерен по взаимно-перпендикулярным направлениям более вероятным бу дет такое расположение частиц, при котором их большая сторона горизонтальна. Этот вывод для глинистых грунтов подтверждается некоторыми теоретическими соображениями и экспериментальными данными, полученными Г. И. Покровским [69, 72 J. При одновре менном падении большого числа частиц процесс образования струк туры будет значительно сложнее рассмотренного выше.
§ 4. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧАСТИЦ И ДЛЯ ВСЕГО МАССИВА
При решении вопроса о выборе расчетной схемы как для каждой частицы, так и для всего массива, в силу огромного многообразия взаимного положения зерен невозможно установить строгие коли чественные соотношения для каждого зерна в отдельности.
На основе анализа различных случаев взаимного расположе ния частиц покажем, что при решении вопроса о распределении вертикальных напряжений в плоской задаче все частицы среднего
(эффективного) размера можно рассматривать как диски на дВуХ опорах.
На рис. 7.11 представлены расчетные схемы для зерен кубоВИд_ ной, шарообразной и эллипсовидной формы при наличии у них Ше_ сти, пяти, четырех и трех рабочих контактов. Наличие растра сказывается в появлении горизонтальной составляющей, кот^рая создает момент и тем самым изменяет величину вертикальных опор ных реакций. Однако влияние горизонтальной составляющей на величину вертикальных реакций можно учесть путем переноса т^чки приложения силы так, чтобы момент от горизонтальной составдяю_ щей относительно опорных точек был равен нулю. При таком по ложении активной силы опорные реакции будут определяться ве. личиной вертикальной составляющей и точкой приложения ее от носительно опор. Влияние силы трения данной частицы о соседние также можно учесть переносом точки приложения нагрузки.
Рассмотрим структуру с шестью рабочими контактами у каждого зерна. Для установления качественной стороны участия каждого зерна в передаче усилий выбраны две частицы, одна из которых на. ходится с правой, а другая 1 — с левой стороны от линии действия внешней силы. На частицу 1 передается активное усилие от частицы А, расположенной ближе к точке приложения нагрузки. Частица у опирается на две частицы 2 и 3\ кроме того, она взаимодействует с частицами С и О. С правой стороны от линии действия нагрузки на частицу 4 передается активная сила от частицы Б. Частица 4 опирается на частицы 5 и б и соприкасается с частицами О и. D. Активные силы к частицам 1 и 4 приложены под углом к горизонту. За счет трения рассматриваемые частицы вовлекают в распределе ние усилий соседние частицы. При этом роль в распределении уси лий соседних частиц различна: если частицы С и D, расположенные дальше от линии действия силы, лишь частично передают приходя щиеся на них за счет трения усилия на выбранные опорные зерна 2 и 6, то частица О полностью передает усилия на опорные зерна 3 и 5.
Таким образом, при составлении расчетной схемы влияние тре ния с частицей О можно не учитывать. Заменив для каждой из рас сматриваемых частиц 1 и 4 опорные зерна опорами, получим диск, расположенный на двух опорах. Переносом точки приложения ак тивной силы учитываем влияние горизонтальной составляющей ее и силы трения о соседнюю частицу на вертикальные опорные реак ции. Расчетная схема для частицы с пятью рабочими контактами будет отличаться от схемы с четырьмя контактами точкой приложе ния активной силы.
Расчетные схемы для частиц с четырьмя и тремя рабочими кон тактами от приведенных выше также будут отличаться лишь точкой приложения активной силы.
Таким образом, для решения вопроса о распределении верти кальных усилий в грунтовом массиве, образованном из зерен
[i,u. 7 Ц . Расчетные схемы частиц при различном положении их в зернистой среде
(структурных агрегатов) кубовидной, шарообразной и эллипсовидной формы, за расчетную схему для каждой частицы я плоской задаче может быть принят жесткий диск на двух опорах. Активная сила к расчетному диску прикладывается при этом Случайно.
Аналогично можно рассмотреть- и пространственное взаимное расположение частиц и установить для них расчетные схемы. При этом для плотнейшей гексагональной упаковки При 12 Рабочих контактах и для упаковки при четырех контактах получим расчет ную схему для каждой частицы в виде жесткого диска, опирающе гося на три частицы.
Для наиболее вероятной упаковки при восьми рабочих контак тах у частицы (упаковка в виде тетраэдра) получим расчетную схему в виде жесткого диска на четырех опорах. Распределение усилий между опорами отдельного зерна будет носить при этом, как и в плоской задаче, случайный характер.
В итоге можно отметить, что при исследовании характер# рас пределения средних значений напряжений реальный зернистый грунт может быть заменен зернистой средой, состоящей из частиц среднего эффективного размера. Принцип осреднения может быть использован в данном случае и в отношении условий передачи уси лий от частицы к частице. Так, для эквивалентной зернистой среды, состоящей из частиц среднего размера, передача усилий от каждой частицы осуществляется в среднем на две частицы в плоской и на четыре в пространственной задаче. При этих условиях, а также при замене сил взаимодействия между двумя частицами равнодей ствующей, приложенной в точечном контакте, каждую частицу можно рассматривать как элемент, имеющий две опоры в плоской задаче и четыре — в пространственной задаче. Распределение уси лий между опорами в общем случае осуществляется неравномерно и оценивается коэффициентом неравномерности передачи усилий k , который определяется как отношение плеча, более удаленного от линии действия внешней нагрузки llt к плечу, ближе расположен ному к этой линии /2 (рис. 7.12), т. е.
к = 11/1г. |
(7.16) |
Расчетная схема для всего зернистого грунтового основания мо жет быть представлена совокупностью элементарных схем, у кото рых частицы каждого более удаленного от точки приложения внеш ней нагрузки ряда являются опорами для частиц, расположенных в предыдущем ряду. Такая расчетная схема позволит при исследо вании характера распределения напряжений производить анализ, начиная от точки приложения нагрузки.
Зернистые грунтовые системы могут быть распорными и безраспорными. С точки зрения расчетной схемы безраспорные системы характеризуются постоянным средним значением коэффициента неравномерности передачи усилий для любой частицы, независимо