книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfоткуда имеем первое уравнение |
|
Zj = 0. |
(9.11) |
Эта координата не зависит от величины напряжений, следовательно, все кривые пучком сходятся в эту точку.
Второе уравнение |
|
|
|
In |
Р |
= 0 ; |
(9.12) |
|
2TrvZjOz |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
р |
= 1 . |
(9.13) |
2Р-'Фг |
|
|
|
откуда |
|
|
|
’ ■ |
- / т |
£ г |
(9.14) |
|
|||
Из выражения (9.14) видно, что с уменьшением величины напря жения увеличивается координата точки, в которой кривая данного напряжения пересекает ось г.
§ 2. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ПРОИЗВОЛЬНО ЗАДАННОЙ НАГРУЗКИ
Для общего случая непрерывного изменения свойств среды по глубине и произвольно заданной нагрузки
F (r,* ,v)
|
2 |
|
Г |
/(?» *1)ехр / ------- ----------Y'jdv], (9.15) |
||||
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
J |
Ф(*) |
|
|
|
|
J |
*(*) |
|
где / (ср, т])— функция, описывающая |
нагрузку; |
|
|
|||||
г, |
т] — переменная |
интегрирования; |
точки; |
|
||||
а — координаты рассматриваемой |
|
|||||||
|
ср — независимая переменная интегрирования. |
|
||||||
Интегрируя по частям при переменной TJ, получим |
|
|||||||
|
<р. |
/[?. F(r, |
«. ?)]ехр |
2 F 2 (г, |
а, ср) |
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- / ( ? . 0 ) - |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
/Чг. а. 9) |
|
ехс Г |
27)2 |
|
|
|
|
|
Г |
а/(<р' |
ч) |
|
rfr/ rfcp. |
(9.16) |
||
|
|
|
|
■ U |
- |
|
|
|
|
1 |
" |
|
|
J 'Ж |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для общего случая изменения распределитель ной способности грунта по глубине и произвольно заданной на грузки вертикальные напряжения в грунтовом массиве могут быть определены по формулам (9.15) или (9.16). Если распределительная способность грунта линейно связана с глубиной, выражение (9.15) преобразуется к виду
9, F(r, а, 9)
= |
f /(?■ Tl)exp (— |
(9.17) |
ОО
при 8т]! = |
получим |
|
|
|
9, |
F (г, а, 9) |
|
|
3 г= '& Ь "1 <*р |
J / ( ь ,,)ехр(— £ г ) ^ - |
<9-18) |
оо
Преобразуя таким же путем выражение (9.16), имеем
°г ------^ ( г- |
у)]ехрj— - ' ^ |
т) ] - / ( у . |
0 ) - |
|
||
|
/г(/’. а. 9) |
0/(«Р. ч) |
e x p Г---- |
|
|
|
- |
I |
dr\d<o, |
(9.19) |
|||
dr, |
L |
2vz2 J |
|
|
||
где F (r, a, cp) — уравнение контура площади, по которой распреде лена нагрузка, при начале координат на одной вертикали с рассмат риваемой точкой.
Если нагрузка равномерно распределена по некоторой площади,
то выражение (9.17) примет вид |
|
|
|
||
|
о |
]о |
4exp (— £ - ) dv- |
(9.20) |
|
|
|
||||
тогда выражение (9.19) будет таким |
|
|
|||
Р |
j e |
X p ( - |
РЦГ, а, |
у) |
(9.21) |
2и |
2vz* |
) df — ?1 |
|||
Выше получено выражение для вертикальных напряжений от произвольно заданной нагрузки в цилиндрических координатах. В прямоугольных координатах это выражение будет таким:
+1> У-/7, (5)
/ ( ( , V) ехр [ - ( х >‘ |
11)2] dr,, (9.22) |
-ь у--/', |
|
где / (х, у) — функция, выражающая характер заданной нагрузки;
£,т] — переменные интегрирования по соответствующим осям;
F\ М — уравнение контура площадки, по которой распреде лена заданная нагрузка.
Если функцию нагрузки представить в виде произведений двух функций, одна из которых будет зависеть только от х, а вторая — от у, выражение (9.22) можно представить так:
(9.23)
где
Л ( х) - М у) = /(* . у)-
Для нагрузки, равномерно распределенной по некоторой пло щади, выражение (9.23) примет вид
I И -
где р — интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Для нагрузки, распределенной по прямоугольнику, зависимость
(9.23) можно представить как произведение выражений для рас пределения напряжений от двух полосовых нагрузок, т. е.
г+ь
х{ J |
(9'25) |
Для нагрузки, равномерно, распределенной,
■а
§ 3. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЗЕРНИСТОЙ ГРУНТОВОЙ СРЕДЫ
При рассмотрении безраспорной зернистой среды было показано, что уравнения равновесия Навье применимы для зернистой среды, если последняя способна распределять внешнее давление.
При составлении физических уравнений для зернистой грунто вой среды можно принять все положения, изложенные для безрас порной среды [60].
Для зернистой грунтовой среды разность вертикальных усилий на соседних частицах пропорциональна сдвигающему усилию, воз никающему в связующей их частице.
При этой предпосылке для плоской задачи безраспорной зерни стой среды
|
СЛ» |
да. |
|
2а |
дх |
при Ь = а |
|
д°2 |
|
, = — Сх — |
|
|
2 |
дх |
Произведение Сх |
в этом выражении постоянно и связано с ко |
|
эффициентом распределительной способности k. Изменение по глу бине коэффициента распределительной способности для зернистой среды равносильно увеличению размеров зерен, воспринимающих
внешнюю нагрузку. Поэтому в общем виде произведение Сх для
зернистой грунтовой среды следует принять зависящим от г. Тогда следуя Р. А. Муллеру, в общем виде
дх
Поскольку коэффициент распределительной способности для такой среды изменяется от слоя к слою, то
|
|
9 |
(г) = vz, |
(9.27) |
|
где v — коэффициент пропорциональности. |
|
||||
Учитывая |
(9.27), физическое |
уравнение для зернистой |
среды |
||
в плоской задаче примет вид |
|
|
|
||
|
1Х, |
— |
— |
да, |
(9.28) |
|
V Z ------ — . |
||||
|
2 |
|
|
дх |
|
Приведем |
уравнения равновесия для плоской задачи |
|
|||
|
дг |
, |
jhx; - + Z = 0; |
(9.29) |
|
|
|
дх |
|
|
|
|
д<>х |
, |
д'хг + X = 0. |
(9.30) |
|
|
дх |
|
дг |
|
|
Дифференцируя выражение (9.28) по х и подставляя производ ную в уравнение (9.29), получим (при Z = 0)
|
dzz |
дЪ г |
|
(9.31) |
|
-----— = VZ----- — |
|
||
|
дг |
дх2 |
|
|
Дифференцируя выражение (9.28) по 2, |
получим |
|
||
д'хг |
_Е |
да, |
д-а, |
(9.32) |
--- ----- vz------- |
||||
дг |
* |
дх |
дхдг |
|
Подставляя это значение производной в уравнение (9.30), имеем при X = 0
fo* |
- , |
дх |
+ |
VZ |
; |
|
(9.33) |
дх |
|
|
дхдг |
|
|
|
|
интегрируя по х, получим |
|
|
|
|
|
|
|
ах = |
',0г + |
vz ‘ |
дг |
+ Р(г). |
|
(9.34) |
|
где р (2) — произвольная функция |
интегрирования. |
|
|||||
Произвольную функцию р |
(г) определим при 2 -^оо, при любом |
||||||
х и любой внешней нагрузке ох -+ 0, |
з2^ 0 |
и |
-> 0. Дифферен |
||||
цируем по 2 зависимость (9.18); |
|
|
|
|
|
||
|
F(r, а, 9) |
|
|
|
|
|
|
о |
J |
/( ? .Ч > е * р ( - 1 £ Г) ч * | - |
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
У7 (Г, а, |
9 ) |
|
|
|
|
|
2 -v 2z 5- + |
j |
/ ( ? • |
Yl ) e x p ( — |
1 “ г ) т1З А 1- |
( 9 -3 5 ) |
||
Умножая на v2 и определяя предел получаемого выражения при
г-^оо, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
У7 (Л а, 9) |
|
limvz |
= lim |
|
|
|
z - * » |
d z |
г - , оо |
|
|
|
|
F(r, а, 9) |
|
|
|
|
j |
/ ( ’ ■ ч)ехр (— г £ г)^ * 1 |
= 0. (9-36) |
Подставляя |
граничные условия в выражение (9.34), |
получим |
||
Тогда |
|
Р(2) = 0 |
(9.37) |
|
|
|
|
||
д°2
дг
Для определения физического смысла коэффициента v рассмот рим задачу для вертикальной равномерно распределенной нагрузки, приложенной к зернистой полуплоскости. В этом случае для лю бого 2 величина вертикального напряжения о2 = р , т. е. интен
сивности внешней нагрузки. Следовательно, |
= 0. Тогда |
|
(9.39) |
Из этого соотношения видно, что v — коэффициент бокового давления (распора).
Таким образом, в отличие от безраспорной среды в зернистой грунтовой среде при равномерно распределенной нагрузке возни кает распор. Коэффициент бокового распора определяется лабора торным путем.
Из выражения (4.28) для заданной нагрузки x^2 = 0, поскольку
= _др_ __ Q
дх дх
Если учитывать вес среды, то в уравнениях равновесия необхо димо считать Z = Тогда, следуя Р. А. Муллеру, получим такую систему дифференциальных уравнений для определения напряжен ного состояния зернистой грунтовой среды:
да2 |
|
|
(9.40) |
дг |
дх2 |
|
|
|
|
||
|
дог |
|
(9.41) |
|
дх |
|
|
а х = v o 2-\- v z |
= v a 2+ |
v2z2 d*az |
(9.42) |
|
дг |
дх2 |
|
По аналогии для пространственной задачи получим следующие физические уравнения:
(9.43)
дх
(9.44)
Уравнения равновесия для пространственной задачи:
Jh - 4- |
л. |
4-Z=0- |
(9.45) |
|
дг |
дх |
ду |
^ |
|
дх |
4 _ _ ^ 4 . _ ^ 4 _ х = 0; |
(9.46) |
||
ду |
дг |
|
|
|
|
foxy |
&хУг |
|
|
ду |
дх |
дг |
Дифференцируя (9.43) по х , а (9.44) по у и подставляя в уравне ние (9.45), после преобразований при Z = 0 получим
|
|
|
|
даг |
|
|
|
|
+ |
ду2 |
У |
|
(9.48) |
|
|
|
|
дг |
|
|
дх2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференцируя по х уравнение (9.46), |
а по у |
уравнение (9.47) |
|||||||||||
и вычитая уравнение |
(9.47) |
из уравнения |
(9.46), |
получим |
|||||||||
|
|
д2°х |
_ |
дЬу |
, |
_д_ ( дхХ2 _ |
дхиг \ _ |
Q |
(9.49) |
||||
|
|
дх2 |
|
ду2 |
|
дг \ |
дх |
ду ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Используя зависимости (9.43) и (9.44), получим |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
I а Гуz(d2°> |
|
д2аг |
= О, |
|
||||
|
|
дх2 |
|
ду2 |
дг I |
[ ду2 |
|
дх2 ■И |
|
||||
д2ах |
д2ау |
у |
dh M |
|
|
дЪг |
+ |
V2 |
д*ог |
|
= 0. |
||
дх2 |
ду2 |
|
ду2 |
|
|
дх2 |
дгду2 |
дгдх2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
После некоторых преобразований |
|
|
|
|
|
||||||||
д2 |
( |
|
|
|
дс2 \ |
= |
д2 |
( |
— |
|
|
(9.50) |
|
---- |
|
о„ — vg — v2 —- |
) |
---- [ а |
|
дг |
|||||||
дх2 \ |
|
2 |
|
дг |
|
ду2 |
\ у |
|
|
||||
Подставляя из выражения (9.48) производную от ог в зависимость (9.50), получим
д2 |
( |
----------- |
\ |
дх2 |
|
II |
|
° Х ----- |
V a2 ---- |
|
х |
|
2 |
|
1 |
Q |
, 2 , 2 |
д Ь г |
\ |
v |
г |
~ д |
^ Г |
|
_ |
|
\ |
_ |
|
а » » ) |
|
|
_
дх2ду2
22 д^г
дх2ду2 ’
В этом выражении величина ог зависит от х, у, z и определяется из (9.48) при заданных граничных условиях. Неизвестными здесь являются ох и оу, которые также зависят от х , у , г. Следовательно, правая и левая части этого уравнения являются функциями пере менных *, у , z. Обозначим их через F (х, у , г). Тогда получим два дифференциальных уравнения
(°. — — ''2г2 |
= F (*. У> г); |
(9.51) |
(о, - ''«2 - А 2 |
= /'(* .» . г). |
(9.52) |
Одинаковые выражения в правых частях уравнений (9.51) и (9.52) получаются в результате дифференцирования разных зависи мостей по х и по у. Поэтому
°х — v°2 — |
(9 -53) |
откуда |
|
|
|
|
= |
м 2 + |
Л 2 |
. |
(9.54) |
|
|
|
О Х2 |
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.55) |
Сопоставив уравнения (9.46), (9.54) и (9.43), получим |
|
|||
= |
X = |
V7 |
дхду |
(9.56) |
|
|
|
|
|
Полученные зависимости позволяют путем дифференцирования выражений для вертикальных напряжений определить все состав ляющие напряженного состояния зернистого грунтового массива.
§4. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
Вцилиндрических координатах уравнения равновесия для осе симметричной задачи имеют вид
r - ^ - |
+ - ^ ( r ^ ) |
+ Z = 0-, |
(9.57) |
dz |
дг |
|
|
|
+ |
= |
(9.58) |
где Z; R — объемные силы.
В двух уравнениях имеется три неизвестных, что не позволяет решить эти уравнения. Необходимо дополнительное физическое уравнение. Им будет [60| соотношение между касательными и вер
тикальными напряжениями |
|
V = - v 2 ^ . |
(9.59) |
ОГ |
|
Подставляя это значение т2, в уравнение (9.57) при Z = 0, после некоторых преобразований получим
= v2
дг |
V dr2 “Г г дг ) ' |
Поскольку нами рассматривается среда, не воспринимающая растягивающих усилий, то для сосредоточенной вертикальной на грузки справедливо условие а0 = 0.
Учитывая это из второго уравнения равновесия при R = 0, по лучим соотношение между горизонтальными и касательными на пряжениями
|
± - ( г ° г) + |
г ^ - |
= 0. |
|
(9.61) |
|
Можно доказать, что этому уравнению и выражению (9.59) удов |
||||||
летворяет соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
Ог = V02 + |
v2Z2 дг2 |
|
|
(9.62) |
|
Это равенство аналогично связи между |
ох и а2, а также оу и а2 |
|||||
и справедливо для любой нагрузки. Далее |
из соотношения |
|
||||
|
° х + ° у = °г + ° 0 |
|
|
( 9 -6 3 ) |
||
определим общую зависимость для а0 при любой нагрузке. |
|
|||||
Подставляя в это выражение значения ах, ау, а2, получим |
|
|||||
272 |
д2Дг |
д2аг |
vo2+ |
d2jz |
|
|
V02 + v2Z! |
дх2 + va2+ v2z s |
ду2 = |
v2Z2 dr2 + a Q. |
(9.64) |
||
Из геометрических соотношений, используемых в теории упру гости, известно, что при переходе от декартовых координат к ци линдрическим должно соблюдаться равенство
д2/ |
|
д2/ |
_ д 2/ |
1 |
д/ |
(9.65) |
||
дх2 |
|
ду2 |
|
dr2 |
г |
дг |
||
|
|
|
||||||
Если в уравнении |
(9.64) предположить, |
что |
|
|||||
|
|
|
+ |
А « - L i b , |
(9.66) |
|||
то получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
д2аг |
, |
д2зг |
__ |
д2<зг . |
1 |
даг |
(9.67) |
|
дх2 |
+ |
ду2 |
~ |
дг2 + |
~ |
~д7~ * |
||
|
||||||||
Нетрудно видеть, что уравнения (9.65) и (9.67) тождественны, если аг = / . Таким образом, для а0 может быть принята зависимость
(9.67). Для сосредоточенной вертикальной нагрузки это выражение совпадает с ранее принятым, т. е. о0 = 0,
Г л а в а 10
НАПРЯЖЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНОЙ ЗЕРНИСТОЙ ГРУНТОВОЙ СРЕДЕ
§ 1. ОБЩИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ СЛОИСТОГО ЗЕРНИСТОГО ОСНОВАНИЯ
При решении задачи о распределении напряжений в любой мно гослойной среде, в том числе и зернистой, существенными являются условия на границах слоев. Принятыми на границах слоев усло виями в дальнейшем определяется само решение.
В литературе имеется много решений теории упругости для тел, в которых на границе раздела плоско-параллельных слоев ка сательные напряжения принимаются равными нулю. Этим самым по существу на границе раздела как бы вводится дополнительная нагрузка, снимающая существующие касательные напряжения. Принимаются и другие гипотезы, сущность которых также сводится или к непосредственному приложению каких-либо сил на границе или к приложению их через ограничение перемещений. Исходя из сказанного, при решении задачи о распределении напряжений в зер нистой грунтовой среде положим, что вертикальные напряжения в верхнем слое в силу передачи усилий от частицы к частице через точки контактов распределяются, как в однородном массиве, а на границе двух слоев определяются величиной, зависящей от тол
щины слоя и распределяющей способности |
среды при заданной |
внешней нагрузке, т. е. |
|
° * - + F ( h , v), |
(10.1) |
а горизонтальные нормальные и касательные напряжения для пло ской задачи определяются из соотношений
т~ = |
yh |
а, ; |
(10.2) |
|
|||
O ,= V0j + |
V%* |
дЬ*~'‘ . |
(10.3) |
х2 дх*
Соответственно для пространственной задачи имеем
и д^->1 |
; |
(10.4) |
|
~хг = — v/i |
— — |
||
|
дх |
|
|
~ ,h |
ду |
' |
(10.5) |
|
|||