книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfгде Рп (z, t) — произвольная функция интегрирования.
гг |
|
а?к |
- О, |
д~и |
Л |
|
|
|
|
|
||
При |
X ->оо — - |
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|||
F |
|
дл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx -> 0. |
|
Следовательно |
Р п (z, |
0 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|||
Тогда выражение (14.34) примет вид |
|
|
|
|||||||||
— ---- |
% \ /~ —-— ехр (--------------------------------- |
2 |
V |
2x;z* |
|
F \ |
— \ dx. |
(14.35) |
||||
dx |
V dt2 |
|
|
к |
J |
|
2vz2 ) |
|
||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
дзх |
|
d2u |
|
(14.36) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
dx2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d2u |
p |
d2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1h? |
~E |
~dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
P(i) |
|
|
|
|
|
|
|
(14.37) |
||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нагрузки, распределенной по полосе, поперечные колебания |
||||||||||||
выразятся зависимостью |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d2u |
р |
d2u |
_ |
|
|
|
|
|
|
л-ъ |
|
|
dx2 |
Е |
dt2 |
~ |
|
|
|
|
|
Р1(0__ |
|
|
|
|
|
|
(* -е)2 |
(14.38) |
|||
|
j ^ а 0 )[ |
|
Ю2ехр^ |
|||||||||
z3£ | / 2-v |
|
2vz2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для подвижной нагрузки уравнение колебаний выразится так:
d2u |
|
|
|
|
+b |
Р |
a 2u _ |
|
|
J P .(E)X |
|
dx2 |
Е |
dt2 |
23£]/2r.v |
|
|
X {[* — *0(0 — E]8 exp |
^ |
^ |
—) dx| dE. (14.39) |
||
Касательные напряжения, а следовательно, и повороты при ко лебаниях, определим из уравнения (14.12)
д'хг |
_ _ _ / |
дсх _ |
а2^ \ |
(14.40) |
|
дх |
\ |
dz |
? dt2 ) |
||
|
Из выражения (14.23) подставим в правую часть возмущающую функцию для сосредоточенной вертикальной силы
^ f = p w / i r exp ( - ^ r ) - |
<и -41) |
*xz = |
р (0 | / |
| |
ехР (— - 7 ^ г ) dx + Рп (г’ |
0; |
(14.42) |
|||
я |
0; |
ххг -> 0; |
J ехр ^---- ^ |
|
|
|
|
|
Следовательно, Рп (г, 0 = |
0; |
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
^ 2= - Р ( 0 | / ' - ^ г | е х р ( - - ^ г |
)<&. |
|
(14.43) |
||||
Для нагрузки, распределенной по полосе, |
|
|
|
|||||
|
|
л ь |
|
|
|
|
|
|
■'« = p i( 0 |
j |
-Ра(=) [ j ехр (— |
<Л2~ Г |
) & ] ds- |
(14-44) |
|||
|
|
—Ь |
|
|
|
|
|
|
Для распределенной и подвижной нагрузок |
|
|
|
|||||
*a = Pi(t) j |
Рг(?)[ J |
ехр ( - ^ |
W- |
{12 j |
Д, |
(14.45) |
||
-
где х0 (t) — координата положения нагрузки как функция времени.
§ 2. С В Я З Ь М Е Ж Д У К О М П О Н Е Н Т А М И Н А П Р Я Ж Е Н И Я В П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н О Й З А Д А Ч Е . У Р А В Н Е Н И Я Д И Н А М И К И
В П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н О Й З А Д А Ч Е
По аналогии с формулой (14.11) и соотношениями между напря жениями для статической нагрузки получим следующие зависимо сти между касательными и вертикальными напряжениями в дина мике:
— |
I( zxz \ — |
— |
1 |
|
|
r |
d2w \ |
(14.46) |
||
dz |
1 |
) |
дх |
1 |
дг |
~~9~ЫГ ) |
|
|||
|
\ |
|
|
|||||||
dz |
f— ) |
|
( |
д;г |
|
|
d2w \ |
(14.47) |
||
ду |
1Vdz |
~ |
9~W~) |
|||||||
1 |
VZ ) |
|
||||||||
д |
( |
Ъи |
* |
(д*г |
~ |
Р |
d2w ' |
(14.48) |
||
dz |
|
/ |
дхду |
\ |
дг |
dt2 |
||||
|
|
|||||||||
Уравнения равновесия для пространственной задачи при равенстве объемных сил нулю;
д°2 |
, |
дхгУ |
дххг |
__ |
д Ъ . |
(14.49) |
дг |
|
ду |
дх |
|
dt2 |
|
|
|
|
||||
д°х |
, |
дхху |
дххг |
= |
д 2ц , |
(14.50) |
дх |
|
ду |
dz |
|
dt2 |
|
|
|
|
||||
д3</ |
I |
|
1 |
__ 0 |
д2с |
(14.51) |
|
|
|
|
|
|
ду |
Эх "И дг |
‘ д /2 ' |
Разделив обе части уравнения (14.49) на vz, получим
|
д |
(* гу \ |
I |
|
|
= |
____ 1 |
( |
д°г |
Q |
д'-ю |
|
(14.52) |
|
ду |
\ vz / |
|
дх \ vz |
/ |
vz |
\ |
dz |
‘ |
dt2 )■ |
|
|
|
Продифференцируем выражение (14.52) по г: |
|
|
|
||||||||||
д2 |
(2I L ) + ^ - I 2 |
^ |
) = ----*_ Г_!_ / |
|
_ |
р!* _ ) ] . |
(14.53) |
||||||
dydz |
V\ vzV2 / |
дхдг |
V |
vz |
/ |
Зг |
[ vz \ |
dz |
r dt* /| |
' |
' |
||
Продифференцируем уравнения (14.46) по х и (14.47) по у и сло жим их:
д* |
№ |
д2 |
I -,ги \ |
д2 |
( dzz |
д Ъ |
дхдг |
+ -дудг \ vz J |
дх2 |
\ 1дгГ |
- 1р dt2 |
||
|
|
д2 |
I дзг |
d2w \ |
(14.54) |
|
|
|
~ ~ д у 2 \ д г |
Р dt2 ) ' |
|||
|
|
|
||||
Левые части уравнений (14.53) и (14.54) одинаковы, следовательно
' дзг |
•о— |
'll |
- |
Л _ ( |
d’- |
d2w \ . |
^ дг |
р dt* |
) J |
|
дх* |
д. |
Р1 Г ) + |
, |
е* |
dz |
~ |
d2w \ |
(14.55) |
|
~Г |
ду* 1 |
9 ~dt2 |
) |
|
||
Разделив и умножив правую часть этого уравнения на vz, получим
г - ч » * |
d2w |
d2w |
L vz \ дг |
~dt2 |
~дР~ )] |
(14.56)
Воспользовавшись обозначением (14.19), имеем
+ JV A . |
(14.57) |
дг |
\ дх2 |
ду2/ |
Решение уравнения (14.57) при граничных условиях
/= — Р (t), при z = 0, х = 0, у = 0, т. е. в точке приложения сосредоточенной динамической нагрузки;
/= 0, при z = 0, х Ф 0, у Ф 0, т. е. во всех остальных точках поверхности массива;
/-►О при л с -^ + оо; |
у-> ± оо |
|
||
имеет вид |
|
|
|
|
f = |
- p ( t ) i |
b ^ { |
- J4 £ - \ ’ |
(14-58) |
или, подставив |
из (14.19) |
значение /, получим |
|
|
Умножая на vz, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
j ^ |
_ p^ |
= _ p |
W _ L exp ( _ _ * ± i q . |
(14.60) |
|||||
dz |
1 dt2 |
w |
2nz |
K \ |
|
2vz2 |
/ |
|
|
Сопоставив соотношения (14.24) и (14.62), получим |
|
|
|||||||
d2w |
___ р |
d2w __ |
1 |
__ 1 _ |
exp |
/ __ |
x2+ y2\ |
(14.61) |
|
dz2 |
E |
dt2 |
' 2KEZ |
|
l |
2vz2 |
) • |
|
|
Для процесса колебаний в пространственной задаче получено также неоднородное уравнение гиперболического типа, которое выражает вынужденные колебания массива. При этом правая часть уравнения (14.61) соответствует области, в которой грунт при ди намике приходит в возмущение.
Если представить нагрузку как произведение функции, завися
щей только от времени, и функции, зависящей |
от переменных х |
и у> т. е. |
|
у), |
(14.62) |
уравнение колебаний для нагрузки, распределенной по некоторой площади, будет иметь вид
d2w |
р |
d2w |
|
~dz2 |
F |
dt2 ~ |
|
4)exp(----- (* ~ S),2;i y~ " )2J K |
(14-63) |
||
где F — площадь, по которой распределена нагрузка.
Уравнение колебаний грунтового основания от подвижной на
грузки имеет вид |
|
|
|
|
|
d 2 w ___Р |
d*w _ |
р m |
_ 1 |
v |
|
dz2 |
Е |
dt2 |
|
2-nEz |
X |
ч)ехр(------(* - |
X„ (t) - |
6)» + (у- |
УоОТ ~ l)L j dF. (14.64) |
||
F
Из выражений (14.46), (14.47), (14.48) и (14.60) находим зависи мости для касательных напряжений
- 5 - W — |
«1,-65> |
ИЛИ |
|
+ P , ( t . x , y ) . |
(14.66) |
При 2 ^со ; ^ - > 0 ; |
|
ВИД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz. |
(14.67) |
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.68) |
На основе выражений |
(14.48) |
и (14.60), |
имеем |
|
|
||||||
dz \ |
W |
) |
|
дхду |
L |
_ ! _ е х р |
( - |
i l i a |
' l l . |
(14.69) |
|
|
2r.z |
F V |
2vza |
) J |
|
||||||
Интегрируя |
по z, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
T.vy |
__ |
(1 |
a2 |
r |
P ( < ) 2 « eXP( |
■ |
|
|
|
||
v2Z2 |
|
J |
dxdy [ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ PK(t, |
X , |
y). |
|
|
|
(14.70) |
При г - > o o |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 ; |
r |
|
|
|
|
|
|
0, |
||
V2z2 |
J |
dxdy [ - p w i |
exp( - |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
следовательно Рк (t, |
х, у) |
= 0. Тогда |
|
|
|
|
|
||||
|
*У ‘ |
|
|
|
|
|
|
|
dz. |
(14.71) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для решения задачи о поперечных колебаниях воспользуемся уравнениями равновесия (14.50) и (14.51). Из уравнения (14.50)
имеем |
dJx |
_ |
д2и _ |
дтл.у |
д~хг |
|
|
/14 72\ |
|
|
|
||||||
|
дх |
9 |
dt2 |
ду |
dz |
|
|
К •) |
Дифференцируем по у выражение (14.71), по z (14.67) и подста |
||||||||
вив в уравнение (14.72), имеем |
|
|
|
|
|
|||
dx |
r dt2 |
2TL J |
f _ £ _ r p ( 0 e x p ( - i ! ± ! q |
i & - |
||||
dxdy2 L |
|
V |
2vz2 |
j J |
|
|||
|
- i r - I r h ^ K - T S 4) ] - |
|
<“ •” > |
|||||
Аналогичным образом преобразуем уравнение (14.51):
d<sy |
d2v _ |
dy |
9 dt2 |
Учитывая, что
V2Z
2* .
V a |
- [ P ( 0 e x p ( - ^ ± f ) ] . |
(14.74) |
2K~ dy |
|
|
^ J L = E — |
(14.75) |
|
dx |
dxs |
|
(14.76)
ду ду2
уравнения (14.73) и (14.74) относительно переменных и и v примут вид
+ - £ - [ P M „ p ( - ^ ± f ) ] ) ; |
(14.77) |
Для нагрузки, распределенной по площади F , эти уравнения преобразуются к виду
д2и |
р д2и |
_ |
vPt |
|
|
ч ) х |
|
|
'дх2 |
~E~~dt2 |
~ ~ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
X |
аз |
|
(- |
( x - W + i y - r f |
н |
d F |
+ |
|
г ехР |
|
|
||||||
[ j |
дхду2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 > |
. й 4 » 1 . 4 р ( - |
» |
- " > |
» ( (14.79) |
||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 i |
|
^ч* |
( ~ |
U ~ № M |
~ ' " |
|
) |
+ |
+|я,С; |
|
|
|
|
|
|
(14.80) |
|
Вводя переменные во времени координаты положения нагрузки, получим уравнения колебаний от подвижной нагрузки
* “ = _ J ^ / v z f p . ( S ; ч )Х
дх2 Е dt2 2-Е \ J “V
X |
аз |
\Х — ДГр ( 0 — е]2 + [у — </,, (t) — Tj] |
И |
d F + |
|
||||
[ J l S r exp ( - |
2vZ2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
d2v |
p |
d2v |
ri) |
: |
|
|
|
~ду* |
T |
dt2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
exp |
|
[ * - * n ( 0 - 6 Р |
+ [ у - у ц ( 0 - Г | ] а |
* | d f |
+ |
|
[ дудх2 |
|
|
2vZ 2 |
|
|
|
+ |
f />.(«; |
4 ) - ^ - exp |
[■У—*0(Q—е]а+\У—Уо(0—у,]3 dM , |
(14.82) |
|||
|
|
|
|
|
2vz2 |
|
|
где |
dF = |
d;d/j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
15 |
|
|
СРАВНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫ Х РЕЗУЛЬТАТОВ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ И ТЕОРИЕЙ УПРУГОСТИ
§ 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Для проверки теоретических результатов используем экспери ментальные данные, полученные различными исследователями [8, 12, 57, 73, 84, 107]. Основные сведения об этих экспериментах при ведены в табл. 15.1.
§ 2. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ДАННЫХ С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ ИЛЛИНОЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
При проведении опытов в Иллинойском университете, помимо изучения распределения напряжений, одновременно велись наблю дения за движением частиц; грунт под штампом при испытании на ходился в предельном состоянии. Это обстоятельство вызывало пе рераспределение напряжений по подошве штампа. Однако характер распределения давления по подошве штампа неизвестен. Поэтому для построения теоретических кривых поступим так. Положим, что в предельном состоянии распределение напряжений по подошве штампа имеет колоколообразную эпюру и выражается уравнением
где Ря — давление по подошве штампа; Р — заданная нагрузка в кг\
Наименование опытов |
Год |
|
|
|
|
н место их проведения |
проведе |
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
Опыты |
Штейнера |
|
Сухой песок; |
толщина от |
Нагрузка на |
Кика |
|
|
3,3 до 12 см |
|
штамп 31 кг |
Опыты Штрошнейдера |
1909—1911 |
Сухой песок; толщина от 2 |
50 г |
||
|
|
|
до 5 см |
|
|
Опыты |
Иллннойского |
1910-1915 |
Мелкий сухой |
песок; тол |
4000 кг |
университета |
|
щина 15,2; 30,5 н 45,7 см |
|
||
Способ регистрации напряжений
Рычажные весы; шня 1,5 см
В дно ящика заделывалась стеклянная капсула, затянутая резиновой мембраной. Капсула заполнялась водой. Давление измерялось по уровню спирта в трубке, соединенной с капсу лой промежуточной трубкой, за полненной вазелином
Грунт укладывался на массив ную бетонную плиту размерами 220x225X 40 см. Давление изме рялось с помощью рычажных весов; диаметр поршня 10,5 см
Опыты Пенсильванской |
1913—1914 |
Опыты проводились с тре |
Нагрузка на |
Деревянный |
Испытания |
проводились в |
|||||||||
технической школы |
|
мя |
видами |
грунтов. |
Песок |
штамп изменя |
штамп размером |
ящике |
с размерами 1,8 X 1,5 X |
||||||
|
|
речной средней окатанности. |
лась |
от 136 до |
30.5X30,5X8.9 см |
X 0,6. |
Рычажные весы. Размер |
||||||||
|
|
Глинистая |
смесь (85% глины, |
2450 кг, |
возрастая |
|
поршня 30,5 X 30,5 см |
||||||||
|
|
10% песка, 5% суглинистого): |
ступенями по |
|
|
|
|
||||||||
|
|
влажность |
11,3%. |
Объемный |
450 кг |
|
|
|
|
||||||
|
|
вес |
при укладке |
1,2 г1сма, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
в |
уплотненном |
|
состоянии |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1,5 г[см*. Угол естественного |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
откоса |
38,5°. |
Суглинистая |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
смесь |
содержала |
глинистую |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
смесь |
и 22% |
гравия; |
влаж |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ность |
13,6%. |
Объемный вес |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
при |
укладке |
7 |
= |
1,07; после |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
испытаний |
|
7= |
1,38 |
г]смЛ. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Угол |
естественного |
откоса |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
40,5°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опыты Американской
ассоциации гражданских инженеров
1917—1924 Песок сы состава
Размер
фракции в мм
6—2,5
2,5—1.2
1.2—0,8
0.8—0,6
0,6—0,5
0.5—0.3
0,3—0,2
0.2—0.1
ющего |
Среднее давление |
Металлические |
|
|
на подошву |
||
|
штампы |
||
|
штампа колеба |
d = 20,3 и |
|
|
лось |
от 0,4 до |
d = 34,3 см |
|
2,5 кг 1см*. При |
|
|
Содержание |
d = |
34,3 см |
|
Р = 2270 кг. При |
|
||
в % |
d = |
20.3 см |
|
|
Р = |
1800 кг |
|
Песок |
Р - |
5650 и |
Шпалы |
|
Щебень |
см |
|||
Гравий (от 6 до 38 мм) |
Р - |
3400 кг |
15X25X224 |
Герметически закупоренная коробка диаметром 14 см. сое
диненная с баллоном сжатого
воздуха.
При прогибе латунной мем браны на 2.0025 мм замыкалась электрическая цепь, размыка ние которой осуществлялось сжатым воздухом, по давлению
которого измерялась величина напряжений
Пружинный динамометр за кладывался в грунт. Показания снимались по мессурам, соеди
ненным с пружинным динамо метром
