книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfГоризонтальные нормальные напряжения:
у bz У 2л |
: \(у + а) ехр |
<‘>(У2г+а)г ) — |
||
- 1г/ - а ) ехр ( - |
[Ф |
У ^ - |
Ф ( у |
т ^ ) ] ' (6'4и) |
§ 7. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ, |
||||
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ |
ПО |
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ |
ПЛОЩАДКЕ |
|
Пусть нагрузка (рис. 6.5) выражается зависимостью /(*-</) = Я ( 1 - f ) ( l - £ ) .
Вертикальные напряжения для такой нагрузки определяются за висимостью
+ (>_ ^ р (_ м ^ ) ] ) (( , _ £ . _
- Й [ Ф] 7 Г ^ ) - - Ф('7 Г ^ ) ] -
~ ~ ^ У й г [ * У + а'1'^ Р{ |
У г |
“ ) + |
р"с- 65Расчетнзя |
|||
V |
у L |
4 |
\ тч |
' |
схема |
к определению |
+ |
/ |
а (и л_ |
(6.41) |
напряжений от на- |
||
(а — £/) ехр [---уКУ~1~ |
I I . |
грузки, |
распределен- |
|||
|
\ |
2z |
/ JJ |
|
ной на |
площади пря |
Касательные напряжения: |
моугольника по за- |
кону параболы |
’* - т ( - ; И ф (7 г |
^ ) - ф (т г ^ ) ] + |
|
+ к * Ы ' - 7 - i ) [ “ p ( - |
«Л (х — ьу |
X |
( - 2г |
[ф (7 Г ^ - ф ('7 Г ^ ) ] -
~T V i [ (i,+a)exp(- i 'V }1)+
+ {y — a) exp I— |
^ + |
(6.42) |
\ |
2z |
|
“IT |
|
X |
|
|
|
X I |
|
|
- i 1/Щ<'+»'Ч-^)+ |
|
|
+ (x — b) exp |
+ |
(6.43) |
X
X { - U ° ( ? W V^ - * ( 7 T V 4 +
+ и = ( ' - ^ - й [ “ р { - ^ ) -
- e x p ( - |
(6.44) |
2z |
|
Горизонтальные нормальные напряжения: |
|
P |
|
. ( 4 P [®(W ^ ) - ® ( W |
^ “ )]+ |
+^ ? [“p(-MSJL)— p ( - ^ ) ] -
-<'-«»' (- ^ ) ] | ((■•- £■- £)[*№ N -
- * ( W N 1- i V = ;[< '+ '“»“ p ( - n - - ) +
+ й , - д „ р ( - а * ± Л ) ] ] : |
(6.45) |
|
• . Ч |
{ ф [ * ( ' 7 Г ^ ) - ф(7 Г>/Г-)] + |
+ |
t f i _ |
Ге„р ( _ ■ ! > * * [ _ „ р ( _ *_tfcl£>L)] - |
■У /2: y«
a f c i ! ! ) ] ) { (, - £ |
- £ ) [ |
» |
V ^ ) ] - |
||
- Ф ( 7 Г ^ ) ] - |
7 |
[<* + |
« « Р ( - |
|
+ |
+ |
( * - f r ) e x p ( - |
l'-, ( 2z+ft)2)])- |
|
(6-46) |
|
Приведенными формулами определяется напряженное состояние зернистого безраепорного основания от параболической нагрузки, распределенной по площади прямоугольника.
§ 8. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ по п л о щ а ди к ру га
Для решения этой задачи (рис. 6.6) лучше воспользоваться цилиндрическими координатами. Положим ах = а = а, т. е. рассмат риваем изотропную среду по направлениям осей х и у. Тогда урав нение (3.56) примет вид
|
/д2°г |
, dzaz \ |
(6.47) |
|
дг |
2а \ дх2 |
ду* ) ' |
||
|
Соответствующим образом будут преобразованы зависимости
(3.49), (3.50), (3.51}> (3.52) и (3.62) |
|
|
||
^хг |
1 до, |
(6.48) |
||
о д * |
||||
|
2а |
дх |
|
|
т |
____ |
ду |
(6.49) |
|
уг |
2а |
’ |
||
ху |
_ J_ д*о2 t |
(6.50) |
||
4а2 дхду * |
||||
|
||||
_ |
1 |
d2qz |
(6.51) |
|
°X ~~ 4a2 |
ал-2 |
|
||
|
1 |
дЧг |
(6.52) |
|
y |
4o2 |
dy2 |
||
|
||||
Приведенная система уравнений позволяет в цилиндрических координатах получить следующую равносильную первой систему
|
I |
|
Г/у?7/г. |
дифференциальных уравнений: |
|
|||||
|
|
дог _ |
1 /д2аг |
, |
1 дзЛ |
(6.53) |
||||
|
|
~дг ~ |
\"а^"+ Т~ Иг) ’ |
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
ага2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.54) |
||
|
|
|
|
|
|
|
4а2 |
дг2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. |
6.6. |
Расчетная |
|
— |
1 |
d°z . |
(6.55) |
|||
|
0 |
4га2 |
дг |
’ |
|
|||||
схема |
к определению |
|
_ |
|
1 да2 |
|
||||
напряжений |
от |
на |
|
|
(6.56) |
|||||
грузки, |
равномерно |
|
1~ |
~~~2а~дг |
||||||
|
|
|||||||||
распределенной |
по |
|
|
|
|
|
|
|||
площади |
круга |
|
|
, = |
^ = °- |
|
(6.57) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следуя Б. С. Радовскому, проинтегрируем уравнение (6.53) для аг при следующих условиях
(0 при r > R
N О |
о t •ч |
8 |
о2->0 И — —> 0 |
при Г -> о о . |
|
|
дг |
|
Используя преобразование Лапласа
F(r, s) = f oz(r, z)exp(— sz)dz>
О
уравнение (6.53) можно представить так:
+ J_d_F±j) _ 2sa (r_s) _ / |L j = 0.
(6.58)
(6.59)
(6.60)
(6.61)
(6.62)
Это модифицированное уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид
F ( r , s ) - J- ^ - = А1„ ( ] /2 етг) + ВК„ (]/2 м Я ), |
(6.63) |
где /0(]/2sar) и Ко()/2sar) — функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого порядкаот чисто мнимого аргу мента;
А и В — постоянные интегрирования. Определяя постоянные из условия (6.58), а также преобразован
ных условий (6.59) и (6.60), получим Лапласово изображение искомой
функции о2 (г, |
z): |
|
|
|
при 0 < |
г < |
R |
|
|
F(r, |
s ) = ^ - [ l - « ] ^ 2 M / 0(VA2OTr)/C1(>A2 ^ ^ )]; |
(6.64) |
||
и при г > |
R |
|
|
|
F(r, |
s) = -j- Я |
Ко ( l/2 V v ) , |
(6.65) |
|
где /[ ( ] / 2saR) |
и /C1( y ’2sar) — функции |
Бесселя соответственно |
||
первого и второго рода первого порядка от чисто мнимого аргумента. Используя формулу обращения Меллина, получим
|
т + * ° ° |
|
____ |
|
|
____ |
|
o2(r, z) = |
Г |
—R]/r2saI0{y^2sarSj K1[\^2saR)]exp(sz)dz. |
|||||
|
|
S |
|
|
|
|
(6.66) |
В результате интегрирования, выполненного Б. С. Радовским, |
|||||||
, (г. г) = |
pRo. | J0 [ У 2Par) |
[ У 2paR ) |
ex^ (g |
;) dp (6.67) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
o2(r> z) = pR J |
У0(г, *) */*(/?*) exp |
|
(6.68) |
||||
где J0(x, r), |
(Rx) — функции Бесселя первого рода соответственно |
||||||
нулевого и первого порядка. |
|
|
|
касательных |
|||
Используя выражения (6.56) и (6.68), получим для |
|||||||
напряжений |
г) = Sexp( |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(6.69) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
°о (г- |
da2 |
__ |
1 |
z • |
(6.70) |
|
|
dr |
|
2a r r’ |
|||
|
|
|
|
||||
получим |
|
|
pR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.71) |
|
°о (г, г) = — -it— exp |
|
|
|
||||
4 arz
95
- £ “ ■>(- [ ( ' + i ) '■ (" г ) - * ' - ( т ) ] -
(6.72)
Выражениями (6.68), (6.69), (6.71) и (6.72) определяется напря женное состояние безраспорной зернистой среды от нагрузки, рав
номерно распределенной по площади круга. |
т. е. при г = О, |
|
Для точек, находящихся на оси симметрии, |
||
эти выражения приводятся к |
виду |
|
|
|
(6.73) |
|
|
(6.74) |
\ Л |
° ’ *) = °- |
(6.75) |
§ 9. ОСАДКА БЕЗРАСПОРНОГО МАССИВА ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПОЛОСЕ
Для нагрузки, распределенной по полосе шириной 2b (рис. 6.7),
осадка массива без учета влияния веса грунта |
|
||
h |
+ь |
__ |
|
'“T J* j |
а2 (X- $)2у . |
(6.76) |
|
2г |
|
||
В случае нагрузки, равномерно распределенной по полосе, за висимость (6.76) принимает вид для точек с координатой х;
У<х(х-Ь) dz. (6.77)
Уг
Разобьем интеграл выражения (6.77) на сумму двух интегралов. Тогда
(6.78)
о |
о |
Рассмотрим первый интеграл:
/1По |
( 6 ' 7 9 ) |
Проинтегрируем это выражение по частям, для чего обозначим
|
|
dz = dv\ |
(6.80) |
|
Ф ( П |
^ + »)) ==Ц |
(6.81) |
|
|
Vz |
|
Интегрируя выражение |
(6.80) и дифференцируя выражение |
||
|
|
|
(6.82) |
___ _______ |
(6.83) |
||
/ 2 ъ г У г |
' |
||
Тогда интеграл |
(6.79) |
|
|
преобразуем |
|
|
|
1г = гФ ( Уа(х + Ь) |
л |
|
|
+ |
|
|
|
V* |
|
|
|
|
а (х + |
6)2 |
(6.84) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(6.84) |
был |
рассмотрен |
в |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||
предыдущем |
|
параграфе. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому, |
подставляя |
пре- |
|
|
|
|
2 |
|
к 0ПРед^®”й“ |
|||||
делы, |
получим |
|
|
|
Рис. 6.7. |
Расчетная схема |
||||||||
/ |
НФ / Кд (* + 6)\ |
|
|
осадки массива ограниченной мощности от |
||||||||||
|
|
нагрузки, |
равномерно |
распределенной по |
||||||||||
+ 2 |
^ |
+ |
4,{ 1/ |
1 |
„ |
р |
( _ |
^ |
) - |
^ ( |
« |
+ 6) |
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
-ф |
/}ЛГ(*_+6) |
|
|
|
(6.85) |
|||
По |
аналогии |
|
|
|
(* |
Vh. |
|
выражения |
(6.78) |
|||||
решается второй |
интеграл |
|||||||||||||
, , _ м > ( е ^ р й ) + |
|
2 |
- « j j / i |
« р |
|
|
- |
|||||||
- * £ ( . - » > [ i - « ( * ^ f a ) ] j - |
<6 -86) |
Подставляя значения вычисленных интегралов в выражение (6.78), получим зависимость для деформаций массива
ph_ , ( У * { х + Ь ) \ |
ф ( У * ( х - Ь ) \ |
+ |
|
' 2Е |
{ Vh J |
( ут ) |
|
+ р У а (х + Ь)
<■+*»['- ф ^ * 1 ) ] ) -
(6.87)
§10. ОСАДКА БЕЗРАСПОРНОЙ СРЕДЫ ОТ НАГРУЗКИ, РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛОЩАДКЕ
Общее выражение для осадки (рис. 6.8) имеет вид:
h |
___ |
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
о |
|
|
|
|
|
|
х [ф [ | / |
^4</ + a ) J - < I > J j / |
{ у - а ) da. (6.88) |
||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г~-(x + b) = t-, |
|
(6.89) |
||
|
|
^ _ аА(х + Ь)* , |
|
(6.90) |
||
|
|
|
t* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = - |
2«АХ+ Ь)Ч dt = _ ^M + bY |
(6.91) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
z = 0 |
/j = |
оо; |
|
(6.92) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
г = Л |
ti = |
Y |
(•* + 6). |
|
Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
]/ а-±.(х + Ь)
w = - - P - |
Г |
2а* (* + *>)2 |
[ Ф М _ Ф ( ^ , ) ] X |
4Е |
J |
з |
|
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
|
dt. |
(6.93) |
Для интегрирования |
по частям обозначим |
при ау = ах |
|
|||
|
|
|
2dt . |
1 |
|
(6.94) |
|
|
-------= dv\ |
v = — ; |
|
||
|
|
|
i3 |
/2 |
|
|
|
[ф « > |
- ф ( |
S |
i |
' ) ] - “ ■ |
(6.95) |
Дифференцируя (6.95), |
|
|
|
|||
имеем |
|
|
|
|
|
|
du = |
е х р ( - / 2)— |
|
|
|
|
|
|
2 х — Ь |
( |
|
|
|
|
“ |
F T — »“ Р Г |
|
|
|
|
|
-фШ -'+
+[ф('> - ф (771) ')] х
x I S ' S i “ p(_
(у + g)2 |
^2j _ |
|
(х + ьу |
|
|
2 у —а |
|
|
V * х + Ь « р [ — |
|
|
1 —fl\2 |
]K < 6-96) |
|
- ( h i ; ) v |
Рис. 6.8. Расчетная схема к определению |
|
Тогда выражение (6.93) |
осадки от нагрузки, равномерно распреде |
|
ленной по площади прямоугольника |
||
примет вид
У“£ (, + »)
- S > H K ) V ) W '
После подстановки пределов осадка будет равна
х [ф ( / т < ' + й> ) - ф ( / т < ‘' - “>) -
] / — (x+b)
у гь< '+ «
После некоторых преобразований получим
w= M h К / |
? |
(д:+б)) - ф ( |
/ ? |
(" |
- б) |
|
X [ ф ( у А т |
<!,+'‘)) _ ф |
( ] / т г < !' |
- ,,)) - |
|||
2-ф(* + 6)г |
| > |
р ( - « ф |
( 1 ± |
| < |
) , 1 |
, - |
,6'97)
(6.98)
X
юо