книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Операторы угловой скорости и углового ускорения можно найти согласно формулам (4.57). Однако вычисления будут проще, если поступить следующим образом. Отыскать векторы

абсолютной угловой скорости S/ и абсолютного углового ускорения ? /(7- 1 , 2 ,3) по формулам (4,58) и из их компонент образовать операторы А(0 /) и А(У t ):

Аналогичным образом получаются формулы для абсолютных угловых ускорений звеньев:

е 2 ■ £ | + Т?2 + А( 0 | ) П 2 *

Для скоростей точек Ai, А2 , A3 , А$ имеют место формулы, вытекающие из выражения (4.55):

Ускорения тех же точек подсчитываются по формулам

РА\ - ?Л2 - 0 ,

4.9.Обратная задача кинематики манипулятора

Приведенные выше рекуррентные соотношения (4.46), (4.55) — (4.58) позволяют определить положение, скорость и ускорения любых точек и звеньев манипулятора, если заданы обобщенные-координаты и их произ­ водные по времени. Рассмотрим обратную задачу: определим обобщенные координаты, их скорость и ускорение, если задано движение исполнитель­ ного звена манипулятора — кисти, несущей захватное устройство или инструмент.

В общем случае положение исполнительного звена задается шестью

эйлеровыми координатами: положением полюса, в качестве которого мо­ жет быть задан центр масс захватного устройства вместе с объектом мани­ пулирования, и тремя углами Эйлера, определяющими ориентацию захватного устройства связанной системы в неподвижном пространстве. Возникает шестимерная обратная задача по определению шести обобщен­ ных координат. Целесообразно максимально снизить размерность задачи. Для этого следует выяснить движение точек, максимально близко располо­ женных к началу кинематической цепи. Такая возможность обычно суще­ ствует благодаря тому, что присоединение кисти робота к несущей руке можно смоделировать сферической кинематической парой. Тогда, рассмат­ ривая кисть как твердое тело, осуществляющее предписанное пространст­ венное движение, по известным формулам кинематики определим движение центра сферической пары. Задача стала трехмерной: требуется определить три обобщенные координаты для трехзвенной кинематической цепи позиционирующих движений по заданным координатам исполни­ тельной точки. Для этого необходимо решить векторное уравнение

гл 0 — заданный радиус-вектор точки; f A — вектор-функция положения точки, найденная из решения прямой задачи.

Для численного решения уравнения (4.59) можно применить метод Ньютона. Предположим, что найденор-е приближение искомых координат q Pss [01(р\ ? 2(р)»<7з(р) I7Тогда следующее приближение можно представить

где W — матрица Якоби системы скалярных функций/j (^), / 2<<7>*/3(^)1

Матрица Якоби вычисляется при значениях qv соответствующих р-му приближению. При исследовании движения на границах рабочей зоны мо­ гут возникнуть затруднения в связи с вырождением матрицы W, а значит, и невозможностью решения линейного уравнения (4.60).

Для ортогональных манипуляторов существует возможность составле­ ния алгоритма решения обратной задачи, который более эффективен, чем

юз

метод последовательных приближений. Покажем это на примере шарнир­ ного манипулятора (рис. 4.23). Вданном случае система координат отлича­ ется от используемой для манипулятора, схема которого представлена на рис. 4.22.

Считаем, что известны параметры движения исполнительной точки 5, а также задан закон изменения ориентации рабочего органа в осях х, у, z. Это имеет место, например, для манипулятора, ведущего сварку по простран­ ственной траектории. Задача состоит в обеспечении перемещения свароч­ ной горелки по заданной траектории с заданной скоростью и в сохранении требуемого наклона горелки к поверхности сварки. В других случаях ори­ ентация рабочего органа может оставаться неизменной, но для этого ею все равно необходимо управлять.

Итак, определены движение точки S и сферическое движение связанной системыжоординат рабочего органа с началом в точке S. Воспользовавшись формулами кинематики для общего случая движения твердого тела, приведенными в§ 4.4, найдем движение точки Л4-центра сферического шарнира, соединяющего руку манипулятора с кистью:

= г с

T 4 r A S '

Что касается определения обобщенных координат механизма ориента­ ции, эта задача решается на основании приведенных в § 4.3 соотношений между направляющими косинусами и эйлеровыми углами.

Решение задачи ориентации обеспечивает переход к задаче позициони­ рования точки Л4: по заданному движению этой точки следует определить угловые кооординаты <рх, ф2, <Р$, их скорости и ускорения.

Рассмотрим проекцию манипулятора на плоскость ху (рис.4.24). Из

Рис. 4.23. К обратной задаче кинематики шарнирного манипулятора

Рис. 4.24. Схема для определения угла <рj (правосторонняя схема манипулятора)

простых геометрических соображений следует зависимость

Дифференцируя зависимость (4.61) по времени, находим выражение

(4.62) Рассматриваемую схему манипулятора можно назвать правосторонней.

Ее зеркальным отображением относительно главной плоскости манипу­ лятора, проходящей через оси jt(1 \ z(1), является левосторонняя схема. Для левосторонней схемы формула (4. 61) отличается лишь знаком /3:

<Р1 - <Р0 &

Для центральной схемы (А3 = 0) формулы (4.61) и (4.62) значительно упрощаются.

Последующим дифференцированием формулы (4.62) можно опреде­ лить угловое ускорение по координате(р^.

Для определения движения по координатам и следует рассмотреть движение эквивалентной кинематической цепи АВС в плоскости

На основании уравнений преобразования координат для плоскости и условий ортогональности (4.8) составляется система уравнений:

Здесь верхний индекс, указывающий на то, что проекции берутся на осях Л(1) и z(1), опущен. Параметры /3и /2определяют длины звеньев 3 и 2, кроме

того, введены обозначения aj j= cosa, Û2I= sina, причем a = ^ 3 + ^>2 ~ 2ir. Система (4.63) нелинейная, соответствующими преобразованиями ее

можно свести к квадратному уравнению, решение которого имеет вид

•ч

(4.64) Два знака перед радикалом указывают на наличие двух решений, соот­

ветствующих двум возможным конфигурациям кинематической цепи, обычно не переходящим одна в другую (их переход возможен только при особом положении манипулятора, когда звенья 2 и 3 вытянуты в одну линию). Для конфигурации, показанной на рис. 4.23, в уравнении (4.64) следует принять знак минус перед радикалом.

Для определения скоростей продифференцируем систему уравнений (4.63) по времени, получим линейную систему, в векторно-матричной за­ писи имеющую вид

Вычисление обратной матрицы производится по правилам, приведен­ ным в курсах линейной алгебры. Для данного случая матрица А'1 имеет вид

Дифференцируя уравнение (4.66) еще один раз, находим ускорения

Для определения Л3 полагаем, чтоu j = 0, и>2 т0. Тогда из рассмотрения системы рядовых зубчатых передач следует:

Итак, для механизма, показанного на рис. 4.25, установлена зависи­ мость

Скорость выходного вала есть линейная форма с постоянными коэффици­ ентами от скоростей входных звеньев. Эту связь можно представить с по­ мощью некоторой квадратной матрицы U передаточных коэффициентов:

Если принять z, = z2, z3 = z4, z5 = z6, z7 = z8, матрица передаточных коэффициентов приобретает частный вид:

Используя уравнение (4.69), можно найти скорости двигателей, обеспе­

Подобным же образом производится анализ дифференциальных схем передачи движения звеньям цепи позиционирования для манипуляторов типа, представленного на рис. 3.3. Характерной особенностью всех схем передачи движения посредством зубчатых колес является постоянство мат­ рицы передаточных коэффициентов, ее независимость от конфигурации манипулятора. Вторая особенность — кинематическая взаимосвязь движе­ ний отдельных звеньев, что усложняет управление манипулятором и явля­ ется существенным недостатком таких схем.

Если приводы звеньев разместить непосредственно в кинематических парах, то

по