книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Рис. 6.2. Механические характеристики двигателя постоянного тока: а — рабочие; б — ре­ гулировочные

На рис. 6.2 показаны семейства статических характеристик двигателя постоянного тока.

Динамическая характеристика электродвигателя учитывает инерцион­ ность электромагнитных процессов, происходящих в его электрической цепи. Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением она имеет вид

тМ + М = г и S<i>. (6.9) Здесь т — электромагнитная постоянная времени, с; М — производная

от момента на валу двигателя.

Параметры т, г, S определяются электрическими характеристиками и конструкцией двигателя:

где Ля и Ья — активное сопротивление и индуктивность якоря; к —коэффи­ циент’пропорциональности, зависящий от конструктивных параметров двигателя; Ф — магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения.

Статическая характеристика двигателя получается из выражения (6.9) при т = 0, а при т = 0 и М =0 идеальная характеристика имеет вид

Она же является характеристикой холостого хода двигателя. Двигатели формируют управляющие моменты, которые, как правило,

недостаточны для преодоления рабочей нагрузки. Поэтому они повышают­ ся с помощью механических передач — редукторов. После преобразования в редукторах моменты передают движение на соответствующие звенья ис­ полнительного органа робота. Двигатели вместе с редукторами образуют силовые модули. Схема силового модуля представлена на рис. 6.3, вде М0 — момент, развиваемый двигателем; М — момент, прилагаемый к исполни­ тельному звену; Р — редуктор с передаточным отношением /р, причем ip = =М/М0;<р— угол поворота вала двигателя; q — угол поворота исполнитель­ ного звена (обобщенная координата) ; С-упругость механической пе-

Рис. 6.3. Схема силового модуля

редачи и соединительных элементов (в рассматриваемой жесткой модели упругость во внимание не принимается). Связь мс*ду углами поворота <ри q имеет вид линейной зависимости:

Силовой модуль представляет самостоятельную функциональную часть робота, вход которой связан с системой управления, а выход — с исполни­ тельным органом.

Функция положения (6.6), уравнение движения (6.7), уравнения двига­ телей (6.8) образуют совокупную математическую модель робота, исполь­ зуемую для решения задач динамического анализа и синтеза.

При динамическом анализе предполагается, что закон изменения вход­ ных параметров двигателей и(1) (программное управление) задан, требует­ ся определить законы изменения выходных координат хЦ) (программное движение). Кроме того, задачей динамического анализа является опреде­ ление движущих сил и моментов, необходимых для осуществления про­ граммного движения, и реакцией в кинематических парах. Исходя из максимальных значений движущих моментов, выбираются двигатели, по нагрузкам в кинематических парах рассчитывается прочность и жесткость конструкции.

Для решения таких задач следует интегрировать уравнение движения (6.7) совместно с уравнениями приводов. Это даст как значения обобщен­ ных координат, так и значения обобщенных сил. При “жестком” приводе, что наиболее характерно для промышленных роботов, в качестве характе­ ристики двигателя можно принять идеальную характеристику (6.10). Тогда необходимость в интегрировании отпадает. Подставляя законы программ­ ного управления с учетом характеристики силового модуля (6.11) в функ­ цию положения (6.6), определим программное движение лс(0. Диф­ ференцируя функцию положения, находим скорости и ускорения програм­ много движения. Уравнения движения (6.7) используются только для оп­ ределения усилий по обобщенным координатам.

В том случае, когда характеристики двигателей отличаются от идеаль­ ных, возникает еще одна задача динамического анализа — определение динамических ошибок. Под динамическими ошибками понимаются

отклонения законов движения исполнительного органа от программного движения. В жесткой модели робота динамические ошибки вызываются действиями механической системы на двигатели. Задача определения ди­ намических ошибок сводится к интегрированию уравнений движения ме­ ханической системы совместно с уравнениями динамических харак­ теристик двигателей.

Целью динамического синтеза является получение законов движения исполнительного органа, удовлетворяющих определенным техническим требованиям. В частности, к задачам динамического синтеза относится определение законов изменения входных параметров двигателей us (t) при заданном программном движении.

Последовательность решения этой задачи такова. Сначала определяется движение по обобщенным координатам qs:

qs (t ) = f ( x ( î ) ),

т.е. решается обратная задача кинематики. Скалярные функции gs (t) оп­ ределяют законы программного движения, отнесенные к обобщенным ко­ ординатам, а функции ф$(0 >найденные из выражения

Vs = * р г ^

(где ipS — передаточные отношения силовых модулей), — законы програм­ много движения двигателя. Зная ф$у на основе идеальных характеристик двигателей (6.10) можно определить законы программного управления us {t).

В силу неидеальности характеристики реальное движение при найден­ ном управлении отличается от программного на значение динамической ошибки. Чем меньше динамическая ошибка, тем выше качество системы.

Управление будет найдено более точно, если использовать динамиче­ скую характеристику. В этом случае вначале нужно из уравнения движе­ ния исполнительной системы (6.7) найти движущие силы, обеспечивающие заданное программное движение, а затем на основании динамических ха­ рактеристик определить программное управление. Если система управле­ ния формирует управляющие воздействия в соответствии с найденным законом, программные движения будут осуществляться без динамических ошибок.

В реальных системах динамические ошибки всегда имеют место в силу случайных факторов, а также в силу того, что динамическая модель пред­ ставляет лишь приближение к реальной системе. Основным методом умень­ шения динамических ошибок является введение в систему управления обратных связей, что также относится к задаче динамического синтеза.

На рис. 6.4 представлена функциональная схема управления одной обобщенной координатой робота с использованием обратных связей. На схеме обозначены двигатель Д, исполнительный орган М ; система управ­ ления СУ, программное управляющее воздействие UQ, дополнительный

сигнал обратной связи Uo c.

Система управления получает информацию о действительных измене­ ниях координат и формирует на ее основе дополнительное управляющее воздействие U0 с, которое складывается с программным управлением £/0 и действует в направлении уменьшения динамической ошибки. В системах с электроприводом используется тахометричсская обратная связь. Отклоне­ ние мгновенного значения угловой скорости ротора от программного значе­ ния фиксируется тахометром, установленным на валу двигателя и фиксирующим сигнал, пропорциональный этому отклонению. Сигнал, прошедший через усилитель, складывается с входным управляющим на­ пряжением и подается на электродвигатель. Таким образом осуществляет­ ся поддержание заданной угловой скорости с определенной степенью отклонения.

6.3. Одномассовая упругая приведенная модель силового модуля

Более точно свойства реальной механической системы описываются с помощью динамической модели, учитывающей упругость звеньев.

Манипулятор — это система твердых тел, соединенных между собой кинематическими связями, которые реализуются в виде двигателей, уста­ новленных на предыдущих звеньях передаточных механизмов и соедини­ тельных элементов. Условно эти связи представляются в виде приводных кинематических пар и наделяются упругоинерционными характеристика­ ми, соответствующими характеристикам заменяемых ими реальных сис­ тем.

Все без исключения элементы манипулятора обладают упругими свой­ ствами, однако вклад, вносимый ими в общие упругие свойства манипуля­ тора, может быть различным. В конструкциях современных роботов жесткость звеньев исполнительного органа значительно выше жесткости передаточных механизмов и других элементов кинематических пар. Поэ­ тому с достаточной точностью динамическую модель манипулятора можно представить в виде системы абсолютно твердых тел, соединенных посредст­ вом упругих кинематических пар.

Под действием нагрузки происходит упругая деформация манипулято­ ра, в результате чего возникают ошибки позиционирования. В зависимости

от вида нагрузки различают статические и динамические ошибки. К стати­ ческим относятся ошибки, вызванные силами тяжести, они оказывают зна­ чительное влияние на общую точность позиционирования! Динамические ошибки возникают в процессе движения и отражаются на точности воспро­ изводимой траектории. Другой важной особенностью поведения упругого манипулятора являются колебания, происходящие как во время движения, так и по его окончании. При определенных условиях в манипуляторе воз­ можно возникновение резонансных явлений, однако вероятность их неве­ лика из-за низкочастотности возмущений.

Упругие колебания сопровождают основное движение манипулятора на фазе разгона, установившегося движения и торможения, однако наиболее существенно их проявление при торможении вблизи конечной позиции и после окончания движения. Они отражаются на быстродействии манипуля­ тора, так как необходимо время на затухание колебаний. Установлено, что время затухания составляет 5—15 периодов свободных колебаний.

Двигатель и исполнительный орган представляют две связанные между собой динамические системы. Двигатель, момент которого убывает с уве­ личением скорости, оказывает демпфирующее воздействие на колебания в системе. Демпфирующие свойства двигателя связаны с электрическими процессами и рассеиванием теплоты при колебании ротора. Учитывая ди­ намику приводов, можно изменить частоту системы, увеличивая эффект затухания.

При проектировании робота важную задачу представляет определение частотных свойств системы с целью согласования диапазона рабочих частот системы управления с частотными свойствами манипулятора. Сущность управления с обратной связью заключается в том, что система находится в неустойчивом состоянии и достигает равновесного положения только после некоторых колебаний. Система, стремясь к устойчивому состоянию, ‘‘про­ скакивает” это положение и продолжает совершать колебания с уменьша­ ющейся амплитудой. Если система недодемпфирована, колебания не затухают долго. Поэтому при разработке систем управления необходим анализ полной динамической модели системы с учетом упругости манипу­ лятора.

тельной системы с одной степенью свободы представлена на рис. 6.5. Этот случай возможен, если деформации подчинены закону Гука (F= cq), а сила трения пропорциональна скорости (Ф = kq).

Физическая природа механических колебаний связана с упругоинерци­ онными свойствами твердых тел. При выведении системы из равновесного состояния возникает упругая сила, стремящаяся возвратить тело в исходное состояние. Под действием этой силы тело начинает двигаться к положению равновесия, но по причине инерционности “проскакивает” его и движется дальше. При этом знак упругой силы меняется, тело постепенно останав­ ливается, а затем, двигаясь в направлении равновесия, снова “проскакива­ ет” его и т.д. Этим свойством обладают не только твердые тела, но и системы с кинематическими связями, т.е. механизмы и машины.

Математической моделью динамической системы служит дифференци­ альное уравнение. Линейным колебательным системам соответствуют ли­ нейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение движения массы т (рис. 6.5) получается из уравнения Ньютона:

где/3 — коэффициент демпфирования: /3 =к/ (2т) ;и — собственная частота при отсутствии демпфирования; к — передаточный коэффициент; q — обобщенная координата (выходная величина); x(t) — некоторая функция времени (входная величина).

При свободных колебаниях и отсутствии вязкого трения уравнение (6.12) принимает вид

q + u 2q = 0.

Его решением служит функция

q = q QCOSCL)/ + qQ/ ( u s i nut ),

где q0 и q0 — начальные условия при t - 0.

Таким образом, движение представляется суммой двух гармонических колебаний с амплитудами qQи q0/u и одинаковой частотой о>. Его можно представить одним гармоническим движением:

q = /tcos (ut + <р) ,

где А = i q2 + q2/u\ <р= arctg [%/ (uq$) ].

При свободных колебаниях с демпфированием уравнение (6.12) имеет вид

q + 2(Bq + uq = 0.

Его решением служит функция

H

Рис. 6.6. Колебательный процесс с большим демпфированием

где а>* = Nо>2 - /32 — собственная частота с учетом демпфирования, при малом демпфировании о>* = и).

В выражении (6.13) амплитуда колебаний е'Р1 представляет убываю­ щую экспоненциальную функцию, что указывает на затухание свободных колебаний с течением времени. Быстрота затухания зависит от коэффици­ ента демпфирования /3. При большом демпфировании движение превраща­ ется в быстрозатухающий апериодический процесс (рис. 6.6). По периоду колебания Т и амплитудам А х и Л2 можно вычислить логарифмический декремент затухания ô = ln(Al/A 2) 9а затем коэффициент демпфирования

/3 = 207.

Рассмотрим случай колебаний без демпфирования с гармоническим воз­

Первые два слагаемых описывают свободные колебания с частотой о>. При наличии хотя бы малого демпфирования они постепенно затухают. Третье слагаемое характеризует установившийся режим вынужденных ко­ лебаний, которые происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте возбуждения, и амплитудой

к

Амплитуда А уреличивается по мере приближения частоты возбуждения р к собственной частоте и>. Когда р = о>, наступает резонанс. Однако в связи с присутствием демпфирующего элемента амплитуда не достигает беско­ нечно большого значения.

Коэффициентом динамичности называется отношение амплитуды вы­ нужденных колебаний к максимальному перемещению, вызываемому ста­ тическим действием силы. Из уравнения (6.14) следует, что при статическом приложении силы (<у = 0) q = к/р2. Следовательно, отношение амплитуд

На рис. 6.7 показано изменение абсолютного значения коэффициента динамичности в зависимости от отношения р /о>. При малых значениях р/о>, т.е. в случае, когда частота возмущающей силы мала по сравнению с часто­ той свободных колебаний, коэффициент динамичности близок к единице и перемещения такие же, как при статическом действии силы. Коэффициент динамичности возрастает при приближении к резонансу. Вслучае перехода через резонанс коэффициент динамичности уменьшается и |— при соотно­ шении р/о> = 4 2° вновь становится равным единице. При дальнейшем уве­ личении частоты р он уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что если возбуждение происходит с высокой частотой по отношению к собствен­ ной частоте, то колебания малы и тело можно считать неподвижным.

Динамическая система силового модуля, представленного на рис. 6.3, состоит из ротора двигателя, редуктора, соединительного вала, исполни­ тельного звена. Предположим, что упругие и демпфирующие свойства си­ стемы сосредоточены в соединительном звене.

Это двухмассовая динамическая система, соединенная упругим валом (рис. 6.8). Она характеризуется системой уравнений

где / j — момент инерции двигателя и редуктора, приведенный к выходу редуктора; (Pi — угол поворота выходного вала редуктора; <рj = ïp<p;k- коэффициент вязкого трения ; q — угол поворота исполнительного звена ; с — коэффициент жесткости упругого вала; М j — момент, развиваемый двигателем, приведенный к выходу редуктора: Mj = /рМ0; /2 — момент инерции исполнительного звена; М 2— момент внешних сил, приложенных к исполнительному звену.

Введем новую переменную Ф = Q V, •

Кроме того, предположим, что у двигателя жесткая характеристика и его

Рис. 6.7. Зависимость коэффициспРис. 6.8. Двухмассовая динамическая модель та динамичности от р/а)

Это уравнение можно было бы получить сразу, если рассматривать ротор двигателя заторможенным, а за ф принять координату, определяю­ щую малые перемещения исполнительного органа относительно положе­ ния равновесия.

Уравнение (6.16) является уравнением движения колебательного типа. В таком случае силовой модуль представляет колебательную систему с одной степенью свободы. Колебательноедвижение накладывается на основ­ ное движение исполнительного звена, искажая его. Зная частоту и ампли­ туду колебаний, можно оценить точность его перемещения.

6.4. Характеристики упругих элементов

При построении упругой модели манипулятора необходимо знать упру­ гие характеристики его элементов. Как уже отмечалось, наибольшее зна­ чение имеют упругие свойства передаточных механизмов, в состав которых входят валы, зубчатые колеса, стержни, работающие на сжатие—растяже­ ние, шпонки и шлицевые соединения и т.п.

Рассмотрим вал, работающий на кручение. Представим, что левый его конец закреплен, а к правому приложен крутящий момент М. Под дейст­ вием этого момента правый конец вала повернется на угол закручивания А<р. При малых деформациях угол А<рпропорционален моменту М. Отноше­ ние с=М/Ь<р называется коэффициентом жесткости (жесткостью) упруго­ го вала, а е=Д<р/М— коэффициентом податливости (податливостью) вала. Для вала постоянного сечения

с = n d 4G

3 2 1

где с — жесткость,Н м/рад; d —диаметр вала; G— модуль сдвига, для стали G=8*1010 Па; I — длина вала.

Податливость вала является величиной, обратной жесткости. Если вал ступенчатый, податливости складываются, а общая жесткость определяет­ ся как величина, обратная суммарной податливости. Так, например, для