книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

вала, имеющего два участка с коэффициентами жесткости сх и с2, общий коэффициент жесткости

Жесткость зубчатой передачи определяется следующим образом. Если закрепить ступицу шестерни, а к зубчатому колесу приложить момент М 2, то вследствие контактной и изгибной деформации зубьев, а также дефор­ мации ободов обоих колес зубчатое колесо повернется на некоторый угол Л^2*Отношение с = М 2/к<р2 называется жесткостью зубчатой передачи, приведенной к зубчатому колесу. Жесткость зубчатой передачи, приведенная к шестерне, в i 2 раз меньше, так как Л/ j = М 2/ i {2>&Ч>i = *12^ 2 » где /| 2 — передаточное отношение от шестерни к колесу.

Для вычисления жесткости цилиндрической передачи можно пользо­ ваться эмпирической формулой:

с = k d 2b,

где с — жесткость, Н*м/рад; к — коэффициент пропорциональности, для стальных колес к - 3,75’ 109 Па; d — диаметр колеса, к которому приводится жесткость; b — ширина зубчатого венца.

Жесткость зубчатых передач обычно намного выше жесткости валов,.на которых они установлены.

Жесткость винтовой нарезки в продольном направлении определяется по формуле

с = * / в ,

где с — жесткость, Н -м '1; к — коэффициент пропорциональности, для стального винта и стальной гайки к = 2 *1012 Н /м3; FE— площадь поверх­ ности одного витка.

Жесткость стержня, работающего на растяжение—сжатие, с = EF/1,

где с — жесткость, Н м '1; Е — модуль продольной упругости, для стали Е= =2 • 1011Н • м '2; F — площадь поперечного сечения; I —длина стержня.

Жесткость упругих элементов — шпоночных соединений, муфт, цепных и реечных передач — можно найти в справочной литературе.

Для упрощения динамических моделей часто пользуются приемом при­ ведения, заменяя системы звеньев, целые механизмы одним звеном —зве­ ном приведения. Чтобы такая замена была возможна, звено приведения должно быть динамически эквивалентным заменяемому механизму. Усло­ вия динамической эквивалентности определяются следующими требовани­ ями:

1)кинетическая и потенциальная энергия звена приведения должна равняться кинетической и потенциальной энергии всего механизма;

2)работа, совершаемая силой, приложенной к звену приведения, на возможном перемещении должна равняться сумме работ всех действующих

сил, приложенных к механизму, на их возможных перемещениях. Указанные требования вытекают из того, что при составлении уравне­

ния движения в расчет принимаются только законы изменения кинетиче­ ской и потенциальной энергии и внешних сил, а не реальная схема механизма. При соблюдении этих условий и для механизма в целом, и для звена приведения справедливо одно и то же уравнение.

Для построения одномассовой динамической модели механизма следует выбрать звено приведения и определить его приведенные параметры: мо­ мент инерции (массу); коэффициент жесткости; коэффициент демпфиро­ вания, момент (силу).

Приведенным моментом инерции механизма называется условный мо­ мент инерции звена приведения, при котором его кинетическая энергия равна кинетической энергии всего механизма. Для зубчатого механизма (рис. 6.9), у которого звеном приведения является звено 7, приведенный момент инерции определяется по формуле

Где /у — моменты инерции колес, включая моменты инерции валов; — передаточные отношения от звена 7 к звену у.

Момент инерции зубчатого механизма — величина постоянная.

Для плоской рычажной системы (рис. 6.10), которая может служить в качестве исполнительного органа, приведенный момент инерции

где J 2s — момент инерции звена 2 относительно центра масс; о>2 —абсолют­ ная угловая скорость звена 2; — линейная скорость центра масс.

Приведенный момент инерции такого механизма — величина переменная, так как кинетическая энергия зависит от конфигурации системы.

Приведенным моментом называется условный момент, приложенный к звену приведения, работа которого на возмож­ ном перемещении равна сумме работ всех реальных внешних моментов, при­ ложенных к звеньям на их возможных перемещениях. Очевидно, что для зуб­

чатого механизма (см.рис. 6.9), к выходному валу которого приложен внеш­ ний момент А/, приведенный момент для звена приведения 1 Mnp=M Ï \4 , где /14 —передаточное отношение. Здесь jV/np —постоянная величина. Для рычажного механизма (см. рис. 6.10) приведенный момент зависит от кон­ фигурации системы.

Приведенным коэффициентом жесткости спрмеханизма называется же­ сткость звена приведения, имеющего ту же потенциальную энергию, что и весь механизм. Для зубчатого механизма это условие имеет вид

Пусть вал ротора двигателя (см. рис. 6.9) закреплен, а к исполнительно­ му звену приложен момент.Л/. Вследствие податливости упругих элементов вал исполнительного звена повернется. Полный угол его поворота Д ^ равен сумме углов поворотов, вызываемых податливостью каждого упруго­ го элемента, приведенных к валу исполнительного звена:

ь<рг = + ь<р'[2 + Д<р"з + Д<P 4I + Др'45 . (6.17)

Под действием внешнего момента М вал 4—5 повернется относительно звена 4 на угол Д^ 45 = Податливость зубчатой передачи 3—4 вызовет поворот колеса 4 на угол Д^ 34= Mcj|, где с34— жесткость зубчатой передачи, приведенная к валу колеса 4. Вал 2—3 нагружен моментом М' = =Mi 34, где /34 — передаточное отношение зубчатой передачи 3—4. Под действием этого момента вал закрутится на угол Д^ь3 = Мс2\~ , что вызовет

Произведя подстановку в выражение (6.17), находим полный угол пово­ рота звена 5:

ми деформациями, возникающими в процессе движения. Изучая свободные колебания, можно установить продолжительность периода затухания, ко­ торый нужно прибавить к общему времени цикла, определить амплитуды колебательных движений, дополнительные усилия, возникающие в кине­ матических парах, а также установить такие важные характеристики, как собственные частоты и собственные формы, которые необходимо знать при проектировании системы управления.

где а — вектор амплитуд; о> — собственная частота; <р— начальная фаза.

Уравнение (6.23) представляет векторную запись системы п линейных

Уравнение (6.24) является алгебраическим уравнением л-й степени от­ носительно (J2. Его корни определяют те частоты, при которых векторная функция (6.22) может служить решением уравнения (6.21).Частоты о> представляют собственные частоты, с которыми система может совершать гармонические колебания.

Каждой собственной частоте о>к (k = 1, 2, ...» п) соответствует набор амплитуд колебаний по обобщенным координатам, определяемых из урав­ нения (6.23). А поскольку оно однородное, значения амплитуд вычислены быть не могут, однако может быть найдено их соотношение:

где D/y — определитель, который получается из определителя det(C- а>2/) вычеркиванием произвольной /-й строки и у-го столбца, умноженный на

( - 1 )4 Вектор, составленный из амплитуд, соответствующих к-й частоте,

называется собственным вектором. Он определяет А:-ю собственную форму колебаний. Амплитуды ajk являются коэффициентами Л-й формы. Первая частота о>| и соответствующая ей первая форма колебаний называется ос­ новной, все остальные — высшими. Основная форма колебаний обычно не

имеет знаковых изменений амплитуд и поэтому является безузловой, у высших форм одна, две и более смены знаков амплитуд.

Для удобства использования собственный вектор нормируют. Нормиро­ вание может производиться разными способами. Если задаться значением одной амплитуды, все остальные могут быть выражены через нее с помощью соотношения (6.25). Так, если ахь = 1, то

а } к = Dl j ^ Dl 1

Иногда собственный вектор нормируют поотношению к матрице инерции aTkJ c k = 1

или исходя из условия

IKII - а1ак = *•

где ||а^|| — норма ьектора.

Изменение координат колебательной системы происходит по закону

qk = Û^C O S (O)^/ + (рк ), к = 1, п . (6.26)

Такие колебания называются собственными или гармониками, посколь­ ку происходят по гармоническому закону.

Общее решение уравнения (6.21) представляет сумму частных решений (6.22) и является линейной комбинацией гармонических колебаний по всем

Постоянные интегрирования Cy и <pj находятся из начальных условий (при/=0,0=0о» Q =Qo>' Таким образом, наиболее общее движение является суперпозицией п независимых гармонических движений, происходящих одновременно. Уравнение (6.27) описывает сложное движение, которое не является периодическим, если только ,...,о>;1 случайно не оказались соиз­ меримыми. Система может совершать гармоническое движение лишь при условии, что в исходном положении ей была задана одна из собственных форм.

Расчет колебаний для системы с п степенями свободы связан с раскры­ тием частотного детерминанта (6.24), что уже в случае п> 2 представляет

Матрица У'1С называется матрицей динамической податливости систе­ мы. Уравнение (6.28) сходно с уравнением (4.10). Собственные значения

матрицы /" 1С равны квадратам собственных частот системы, а собственные формы колебаний определены собственными векторами этой матрицы. Та­ ким образом, задача расчета колебаний сводится в основном к определению собственных значений матрицы динамической податливости. Один из ме­ тодов решения этой задачи — диагонализация матрицы J~XC (см. § 4.1). Имеется много других точных и приближенных методов определения соб­ ственных частот и собственных форм механической системы, существуют стандартные программы их решения на ЭВМ.

Рассмотрим способ приближенного определения собственных частот, основанный на предположениях о формах собственных колебаний. Будем исходить из уравнения (6.23), используя его для определения k-vi собствен­ ной частоты:

Выражение (6.29) носит название коэффициента Рэлея и служит для приближенного определения собственных частот. Коэффициент Рэлея яв­ ляется функцией вектора а Если известна к-я собственная форма, то, подставляя ее в (6.29), можно найти точную собственную частоту. Если подставить в (6.29) приближенные значения собственной формы, получим приближенную оценку собственной частоты, причем ошибка в определении собственной частоты равна с 2 при ошибке в определении собственной фор­ мы, равной е.

Такой способ определения собственных частот связан с “угадыванием” коэффициентов формы колебаний. Он часто применяется для оценки соб­ ственной частоты и, как показывают практические расчеты, дает хорошие результаты. Причем расчет дает оценку первой частоты сверху. Точное значение не превышает найденное по формуле (6.29).

Первая собственная частота является одной из важнейших характери­ стик системы и во многом определяет ее динамические свойства. Движение робота происходит в сравнительно низком темпе, поэтому в нем возбужда­ ются низкочастотные вынужденные колебания, переходящие затем в сво­ бодные. Зная первую собственную частоту, можно точно оценить свободные колебания робота.

Изучение вынужденных колебаний, колебаний сдемпфированием пред­ ставляет значительно более сложную задачу. Для ее решения целесообраз­ но воспользоваться приемом перехода к так называемым главным координатам.

От обычного уравнения (4.10), определяющего собственные значения матрицы, оно отличается тем, что в правой его части стоит не Л, а с*)2/. Совокупность уравнений (6.30) при различных собственных значениях А* я w*2 можно представить в виде одного матричного уравнения:

где А — диагональная матрица, составленная из собственных значений Л j,

Докажем, что матрица А — ортогональная. Запишем уравнение (6.23)

Умножим первое из них слева на af, а второе на ат.:

Транспонируем второе уравнение, принимая во внимание, что матрица С симметрическая, a J диагональная и, следовательно, Ст= С, Мт« М :

После подстановки уравнения (6.34) в первое уравнение (6.32) получим

Таким образом, доказано, что собственные векторы, из которых состав­ лена матрица А , ортогональны по отношению к матрице инерции и матрице жесткости, а также ортогональны в обычном смысле.

Произведем нормирование собственных векторов по отношению к мат­ рице инерции, при котором соблюдается условие

Возвратимся к матричному уравнению (6.31) и умножим его слева на Ат