книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Ч= u i / u i ’

где щ — передаточное отношение редуктора /-го привода. Следовательно, матрица U в этом случае является диагональной:

U = di a g [ 1/ы j , 1/ и 2 , .. 1/ и п1 ,

а движение звеньев кинематически развязано.

Достигнуть развязки движений можно и в случае размещения приводов на основании. Для этого следует ввести дополнительные механизмы кинематчиеской развязки движений, размещенные между двигателями и вход­ ными валами передаточных механизмов. Они служат для преобразования скоростей двигателей 6>= UpG>Mi где йм = [о)М1, и>м2, ...» ^мп] и должны быть подобраны с таким расчетом, чтобы матрица U^ - UU^ результирую­ щего преобразования скоростей была диагональной. Нетрудно установить, что в таком случае матрица £/р не может быть диагональной, а это означает, что механизм развязки движений может быть только дифференциальным.

В качестве примера рассмотрим тслеманипулятор “ЛЕММА”, предназ­ наченный для работы на борту космического корабля “ШАТТЛ” (рис. 4.26). Манипулятор обладает шестью степенями подвижности. Приводной блок антропоморфной руки, содержащий четыре двигателя, помещен вблизи стойки, чтобы обеспечить статическое равновесие руки в поле тяготения. Размещение двигателей у основания руки позволяет уменьшить габариты звеньев и тем самым улучшить обзор рабочей зоны, что особенно важно для телеуправляемого манипулятора. Передача движения к звеньям через шар­ ниры манипулятора производится с помощью системы коаксиальных кони­ ческих передач (рис. 4.27). Связь угловых скоростей о)3,..., w6 входных валов и скоростей <у3 , ..., q6 обобщенных координат выражается зависимо­ стью

Скорость каждой обобщенной координаты является функцией скоростей двух входных валов, поэтому движения звеньев кинематически взаимосвя­ заны. Эта взаимосвязь может быть компенсирована соответствующим уп­ равлением двигателями. Закон управления определяется с помощью уравнения (4.70). Однако в данной конструкции оказалось более удобным произвести компенсацию взаимовлияния чисто механическими средства­ ми. С этой целью в приводном блоке размещен специальный дифференци­ альный зубчатый механизм, связывающий двигатели сприводными валами руки (рис. 4.28). Механизм содержит систему конических дифференциалов с тремя водилами и девятью сателлитами. Связь между скоростями колес на входе и выходе определяется зависимостью

ill

где u Mi — угловые скорости на входе.

Подставив зависимость (4.72) в (4.71) и выполнив умножение матриц, получим

С помощью диагональной матрицы передаточных коэффициентов мож­ но рассчитать зависимость, согласно которой обеспечивается движение по каждой обобщенной координате только от одного двигателя.

Передача движения к звеньям может осуществляться с помощью рычаж­ ных механизмов, образующих в таком случае вместе с основными звеньями манипулятора сложную дифференциальную схему с замкнутыми контура­ ми. В отличие от рассмотренных выше схем с зубчатыми дифференциалами передаточные коэффициенты зависят от конфигурации кинематической цепи. Так, например, для схемы манипулятора, представленной на рис.3.4, скорости обобщенных координат связаны со скоростями двигателей зависи­ мостью

где k22(Q2^ ^23^3*» ^33^ 2»Уз* — передаточные коэффициенты рычажных систем, включая кулисные механизмы.

В том случае, когда используются шарнирные параллелограммы или другие механизмы, обладающие постоянной передаточной функцией, пе­ редаточные коэффициенты уже не зависят от конфигурации манипулято­ ра. Уравнения (4.73) позволяют найти законы управления двигателями, обеспечивающие требуемое движение обобщенных координат.

4.11. Передаточные механизмы на основе плоских четырехзвенников

Ранее отмечалось, что в механизмах манипуляторов наряду с открыты­ ми кинематическими цепями используются и замкнутые. Так, например, в роботе “Asea” и ряде других с такой же схемой преобразование движения

из

Рис. 4.29. Четырехзпенные рычажные механизмы: а — пространственныw; 6 — плоский

цепь, введя еще одну пару 5-го класса между звеном 3и стойкой. Получим я = 1 8 , т = 17,1> = 1. Это механизм с одной степенью подвижности.

На рис. 4.29, б представлена схема плоского шарнирного четырехзвенника. Для него п = 18, т = 20, v = -2. Эта система статически неопределима. Если рассматривать идеальный плоский механизм, следует пользоваться обобщенными координатами для плоскости. В таком случае эйлеровы коор­ динаты вырождаются в две координаты начала и угол поворота связанной системы. Для вращательной пары в случае плоскости координаты начала связаны двумя уравнениями. В рассматриваемой плоской задаче п = 9, т = =8, v = 1. Таким образом, для задания положения механизма достаточно указать одну обобщенную координату.

Конфигурацию кинематической цепи плоского шарнирного четырехзвенника можно задать тремя координатами абсолютного положения (р{, ^ 2»<Рз- В качестве независимой обобщенной координаты можно принять любую из них, например угол Тогда <р2 и 9>з становятся избыточными обобщенными координатами.

Запишем уравнения связи

Исключив из этих уравнений координаты начал связанных систем (то­ чек Л и В), получим два уравнения:

Эти уравнения в данном случае можно было получить геометрическим путем, учитывая замкнутость контура кинематической цепи.

Составим якобиеву матрицу системы (4.75):

Если, например, отличен от нуля якобиан

то координаты <р2 и Я>ъ М0ГУТ быть явно выражены через <рj . Случай, когда якобиан равен нулю, исключителен. Он описывается уравнением

- / 2 / 3sinv>2co s p 2 + / 2/ 3cos^>2s i n p 2 = О,

которое удовлетворяется при <р2=(Рз> т.е. если звенья 2 и 3 вытягиваются в одну линию. Такое положение механизма, характеризующееся снижением ранга матрицы Ж и приводящее к вырождению системы (4.75), называется особым.

Ту же задачу можно решить и в других обобщенных координатах, на­ пример с использованием направляющих косинусов. Нетрудно убедиться, что условие разрешимости системы уравнений связей остается прежним, т.е. <р2*<р3.

Для решения задачи о скоростях и ускорениях следует продифференци­ ровать исходную систему (4.74). При этом будут получены линейные сис­ темы относительно неизвестных параметров скоростей и ускорений, которые удобно представить в виде линейных преобразований.

Вышеописанная процедура введения уравнений связей, исключения ча­ сти уравнений и координат не обязательно должна воспроизводиться при решении частных задач. Руководствуясь особенностями механизма и ис­ пользуя лишь необходимые уравнения связей, следует сразу получить сис­ тему минимальной размерности. Трудности вычисления имеют место только при решении задачи о положениях, они связаны с существенной нелинейностью системы ^4.74). Изложенный общий метод при исследова-

ного механизма

нии частных структур приводит к удобным конечным формулам, которые могут быть использованы в инженерных задачах при исследовании кинема­ тики замкнутых стержневых механизмов, применяемых в манипуляторах, а также других вопросов. В частности, задача для плоского четырехзвенника уже была рассмотрена выше при решении обратной задачи. Приведем без вывода формулы для расчета других четырехзвенных механизмов, на­ ходящих применение в кинематике манипуляторов. Формулы даются в матричных символах, обозначение геометрических и кинематических параметров поясняется на рисунках.

Для кривошипа (рис.4.30):

Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.31):

Vy = w-'vx, Ïïy = IГ ' й х,

где

v*= [ -^л.Ул.О ] r , vy = [ â n , à2i, XB’] T,

3 „ = С а 1 1 » ^ 2 1 ’ ХВ -1

Для кулисного механизма (рис. 4.32):