книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

параметров жесткости, размеров и усилий натяжения тросика. С помощью этих соотношений можно установить деформацию каждого участка по от­ ношению к координатной системе, связанной с соответствующим жестким звеном. Для того чтобы определить конфигурацию системы в базовой сис­ теме координат, отнесенной к стойке, следует воспользоваться известными уравнениями преобразования координат.

4.14. Применение кватернионов в задачах кинематики манипуляторов

Известно, что всякое движение можно представить в виде суммы посту­ пательного и вращательного движений. Описание поступательного движе­ ния весьма простое; описание же вращательной составляющей, особенно в случае пространственного поворота, очень сложное. Поэтому ему придают особое значение.

Существуют три способа задания ориентации твердого тела и соответст­ венно три типа параметров, определяющих эту ориентацию. Два типа па­ раметров — направляющие косинусы и эйлеровы углы — были рас­ смотрены ранее. В случае использования направляющих косинусов задает­ ся положение каждой оси связанной системы координат. Эйлеровы углы используются при задании положения связанного базиса путем выполне­ ния трех последовательных плоских вращений. Сумма этих плоских вра­ щений дает результирующий пространственный поворот. Наконец, положение твердого тела может быть задано одним плоским поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку тела. Обосно­ вание возможности последнего способа задания ориентации содержится в теореме Эйлера о конечном повороте. Параметрами, определяющими век­ тор конечного поворота, являются так называемые параметры Родрига— Гамильтона.

Параметры Родрига—Гамильтона придают формулам теории конечного поворота более совершенный вид и позволяют перейти к наглядному и удобному аппарату кватернионов. Эти параметры одновременно являются компонентами кватерниона конечного поворота.

Кватернионами называются элементы арифметического четырехмерно­ го пространства, т.е. упорядоченные четверки вещественных чисел

умножение которых производится в определенном порядке.

Если рассматривать единицы 1, /, у, к как единичные векторы четырех­ мерного пространства, алгебра кватернионов сводится к формальной мате­ матической модели четырехмерной линейной алгебры, а кватернион (4.85) может быть представлен в виде

A = AQ1 + A j î + А 2у + А 3&.

Для того чтобы определить операцию умножения кватернионов, необ­

Умножение кватернионных единиц производится по следующей схеме:

кJ

При умножении двух единиц, расположенных по стрелке, получаем третью со знаком плюс, против стрелки — со знаком минус.

Единицы /, у, к можно отождествить с ортами трехмерного векторного пространства и в соответствии с этим рассматривать кватернион как сумму вещественного числа Л0 и вектора трехмерного пространства Л. Таким образом, подмножествами кватернионов являются вещественные числа (Л0, 0, 0, 0), комплексные числа (Л0, Л | , 0, 0) и векторы трехмерного пространства (0,Л |,Л 2,Л 3).

Алгебра кватернионов даст простой и удобный аппарат описания конеч­ ных поворотов в трехмерном пространстве. Конечный поворот на угол х вокруг оси, определенной единичным вектором <Г, можно представить ква­

Кватерниону (4.86) можно дать наглядную геометрическую интерпре­ тацию. Ему соответствует направленная дуга большого круга, расположен­ ного на сфере единичного радиуса. Дуга однозначно определяет плоскость, перпендикуляр к которой задаст направление вектора F, а длина дуги — угол %/2.

Геометрический смысл операции умножения кватернионов состоит в сложении направленных дуг на сфере, причем порядок сложения дуг обрат­ ный порядку умножения кватернионов.

Последовательность вращений эквивалентна одному вращению, а ква­ тернион результирующего вращения равен произведению кватернионов составляющих вращений. Порядок расстановки сомножителей зависит от того, относительно каких осей производятся повороты — неподвижных или связанных с телом. В случае поворотов вокруг неподвижных осей

Л= Л2 0 A j, вокруг связанных осей

Л= Л, о Л2 .

Пример. Попорот на 90° вокруг оси z, а затем поворот на 90° вокруг оси у для случая неподвижных осей можно представить в виде произведения кватернионов:

A - ( c o s 4 5 ° + s in45°*y ) ( c o s 4 5 ° + s i n 4 5 ° * £ ) - ( 1 / 2 + / / 2 + / / 2 + Л / 2 )

Результирующим является попорот на 120° покругоси, составляющей равные углы с осями

\У» z.

Вслучае, если попороты осуществляются покруг этих осей на те же углы, но в обратном

порядке, кватернион определяется произведением:

A - ( c o s 4 ^ + s i n 4 ^ >,A ) ( c o s 4 5°+sin4 5 ° * y ) " ( l / 2 - / / 2 t y / 2 + A:/2)

Как видим, это даст другой результат.

Преимущество кватернионов перед матрицами состоит в том, что ква­ тернион содержит только четыре компоненты, в то время как матрица вращения — девять. При перемножении двух матриц следует произвести 18 сложений и 27 умножений, а при перемножении кватернионов — 12 сложений и 16 умножений. Имеются и другие вычислительные и информа­ ционные преимущества кватернионов перед матрицами.

Кватернионы могут быть успешно использованы при решении кинема­ тических задач для пространственных механизмов с вращательным движе­ нием звеньев, в частности для решения прямой задачи кинематики манипулятора.

Рассмотрим для определенности многосуставную руку манипулятора, в которой соединение осуществляется трехподвижными кинематическими парами. Это наиболее общий случай, такая рука обладает высокой функци­ ональностью. Отсюда как частные случаи следуют схемы с одними враща­ тельными парами или с двухосными шарнирами, находящими применение на практике.

Как известно, решение прямой задачи предполагает реализацию рекур­ рентного алгоритма “накопления” кинематических параметров, характе­ ризующих движение звеньев. Основу его составляют стандартные вычисления, основанные на уравнениях сложения скоростей и ускорений, а также уравнениях преобразования координат. Решение этой задачи с использованием матричных операторов было приведено в § 4.8. Рассмотрим ее применительно к технике кватернионов.

Для определения абсолютной угловой скорости звена нужно сложить относительные угловые скорости. Пусть за основной базис принят непод­ вижный xyz, связанный со стойкой манипулятора. В кватернионной форме уравнение сложения скоростей имеет вид

о>2 = + Aj о П2 ° A j1,

где о>1 и о)2 — кватернионы, ассоциированные с вектором абсолютных углевых скоростей первого и второго звеньев; Ajo Çî2° А1!- отображение кватерниона П2 на базис xyz; П 2 — кватернион, ассоциированный с векто­ ром относительной угловой скорости связанной системы второго звена от­ носительно первого, взятый в связанной системе первого звена.

Для получения выражения для углового ускорения формулу сложения скоростей следует продифференцировать по времени. После ряда преобра­ зований получим

е 2 = G j + 2 Л j © П 2 о A J 1 + A j о Е2 0 A j 1 ,

где£2— кватернион, ассоциированный с вектором относительного углового ускорения.

Основное уравнение, используемое при определении положения кине­ матической цепи, — уравнение преобразования координат. В кватернионной форме оно выглядит следующим образом:

где г — кватернион, ассоциированный с вектором звена и выраженный в базовой системе координат; р — кватернион, ассоциированный с вектором звена в связанной системе; Л — кватернион поворота связанной системы относительно базовой.

Для определения положения каждого звена манипулятора следует про­ извести суммирование уравнения (4.87).

Продифференцировав уравнение (4.87) по времени и выполнив некото­ рые упрощения, получим

г = 2À о р о Л‘ 1,

г = 2Л о р о д 1 + 2À о р о А 1

Для осуществления управления ориентацией рабочего органа манипу­ лятора необходимо решить кинематические уравнения. Так, например, для робота с антропоморфной схемой отработка позйционирующих обобщен­ ных координат вызывает угловое движение объекта манипулирования. Для того чтобы сохранить ориентацию объекта неизменной, рабочему органу нужно придать угловую скорость, равную, но противоположную сумме угловых скоростей по позиционирующим координатам. Это осуществляет­ ся с помощью механизма ориентации. Такая же задача возникает при раз­ работке многих скоростных алгоритмов в случае контурного управления.

Кинематическими уравнениями называется уравнения, связывающие параметры ориентации твердого тела и их производные по времени с угло­ вой скоростью тела. Кинематические уравнения вытекают из определения оператора угловой скорости Л (и) :

Если в качестве параметров ориентации используются эйлеровы углы, из матричного уравнения (4.88) следуют три кинематических уравнения Эйлера (см. § 4.5).

Недостатком, ограничивающим использование эйлеровых углов при ре­ шении уравнений на ЭВМ, является вырождение этих уравнений при опре­ деленных значениях эйлеровых углов. Кинематическими параметрами, еввободными от этого недостатка, являются параметры Родрига—Гамиль­ тона, служащие компонентами кватерниона конечного поворота.

Кинематические уравнения в терминах кватернионов имеют вид

у/(Х^ + А| ) (Ag + А*)

Интегрируя уравнения (4. 90), а затем, подставляя значения Xs и Х5 (s = 0, 1, 2, 3) в выражения (4.92), находим законы управления для двига­ телей, осуществляющих повороты в шарнирах А, В, С.

При исследовании движений манипулятора возникает необходимость рассмотрения поворотов, осуществляемых за счет двухосной ориентации. Последняя представляет частный случай трехосной ориентации, обеспечи­ вающей произвольный конечный поворот.

Промышленные роботы последних модификаций строятся на базе шар­ нирных манипуляторов с антропоморфной схемой (см. рис. 4.23). Рука робота осуществляет пространственное движение за счет поворотов в шар­ нирах л4|, А2, Л3, причем, поскольку два последних шарнира имеют парал­ лельные оси, поворот в шарнирах А2 и Л3 эквивалентен одному повороту на суммарный угол <р =Ф2 +(Рз' Таким образом, рука робота, несущая рабочий орган, осуществляет конечйый поворот за счет двух поворотов вокруг орто­ гональных осей, т.е. имеет место двухосная ориентация. То же самое сле­ дует отнести к роботу со сферической системой координат.

Еще один пример дает механизм ориентации рабочего органа, выпол­ ненный на основе карданова подвеса с двумя управляемыми осями. В ряде случаев оказывается достаточной двухосная ориентация рабочего органа; при этом достигается и удешевление робота, но налагаются определенные ограничения на его технические возможности.

Представим ориентационное пространство в виде сферы, разбитой пра­ вым координатным триэдром xyz на восемь квадрантов (рис. 4.46). Посколь­ ку в каждом квадранте возможны три варианта расположения осей за счет их круговых перестановок (xyz, zxy, yzx), всего имеется 24 варианта ориен­ тации координатного триэдра. Выясним, какие из этих ориентаций дости­ жимы с помощью двухосного устройства ориентации (рис. 4.47).

Механизм имеет последовательность поворотов (р - 0. На рис. 4.48 пред­ ставлены положения связанной системы при выполнении поворотов, крат­ ных 90°.

Из анализа положений координатного триэдра (рис. 4.48) следует, что обеспечивается 16 положений (по два в каждом квадранте) и не обеспечи­ вается 8 положений. Это такие положения, при которых ось у совпадает с

осью z или направлена противоположно ей (см. рис. 4.47). Следовательно, ось у всегда остается в фронтальной плоскости, определяемой осями л:, у.

Каждое из 16 положений идентифицируется соответствующим кватер­ нионом конечного поворота:

Представим графически сложение поворотов на сфере. Последователь­ ные повороты#) и 0 представлены на рис. 4.49 дугами кватернионов А^ и Л#. Векторы Л и Л 0 совпадают с направлениями векторов конечных поворотов вокруг связанных осей z и у. Они перпендикулярны к плоскостям соответ­ ствующих больших кругов. Вектор X совпадает с направлением вектора результирующего конечного поворота.

Из рис. 4.49 видно, что если заданы конечный поворот Л и две оси z и у, то разложение поворота по указанным осям возможно лишь в том случае, когда длина дуги агсА определенная. При произвольном значении угла конечного поворота разложение невозможно и, следовательно, невозможна реализация этого конечного поворота.

Если плоскость большого круга кватерниона проходит через точку А , разложение вообще становится невозможным. Исключаются случаи, когда большой круг кватерниона Л совпадает с соответствующими кругами ква­ терниона Ау или AQ. При этом требуемый конечный поворот достигается поворотом вокруг одной оси.

Невозможно разложение на составляющие повороты, как следует из рис. 4.49, если ось X конечного поворота расположена в плоскости осей у, z (на рисунке заштрихована). Для всех векторов, расположенных в этой плоско­ сти, имеет место условие ортогональности с осью *, т.е. cosa = 0. Отсюда следует, что Х0 ф0, X j Ф0, X 2 ^ 0, X 3 Ф0, и кватернион имеет вид

A [XQ , 0, Х2 , Х3 ].

Среди приведенных выше кватернионов действительно отсутствуют кватернионы такого вида.