книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

ческий момент от неуравновешенной массы переносимого груза. С учетом остаточной статической неуравновешенности

Мст = k cmgrs cosa,

где кс — коэффициент статической неуравновешенности руки, согласно практическим данным, принимается 1,5; пг — масса груза; rs—постоянный радиус центра масс груза; a — угол наклона руки к горизонту.

Динамический момент Л/дин, преодолеваемый двигателем в случае вра­ щательного движения вокруг оси,

"дин = - Л , где / — момент инерции руки совместно с переносимым грузом относитель­

но центра вращения; е — угловое ускорение. Эту же формулу можно представить в виде

" д и н = - * д n r Se ’

где £д — коэффициент динамической неуравновешенности руки, учитыва­ ющий момент инерции вращающихся частей привода и самой руки без груза; по данным для существующих конструкций роботов типа “Юнимейт”, “Универсал-50” кд = 1,8—2,3.

Динамический момент зависит в первую очередь от углового ускорения е. Выбор допустимого значения е следует производить на основании имею­ щегося опыта эксплуатации роботов. На рис. 5.4 представлена осцилло­ грамма переносного движения руки робота. Она включает период разгона *р, установившего движения *уст, торможения tT. На рисунке v — скорость движения, а — ускорение, S — перемещение, LS — малые упругие колеба­ ния руки, Тп — полное время движения, включающее время успокоения рабочего органа.

Закон изменения скорости обычно принимается трапецеидальным, тог­ да разгон и замедление происходят с постоянным ускорением. Длины пути разгона и торможения принимают обычно равными и составляющими не­ которую часть общего перемещения:

<Рр = <РТ =

где к — коэффициент быстродействия.

6.ДИНАМИКА ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ

ИМАНИПУЛЯТОРОВ

6.1. Динамический анализ движения манипулятора

Рассмотрим вначале динамическую модель робота, предполагая, что его звенья абсолютно жесткие.

Для получения уравнений движения воспользуемся кинстостатииеским методом. Если в уравнениях (5.16) силы инерции выразить.через производ­ ные от обобщенных координат, получим уравнения движения манипулято­ ра, выраженные в неявной форме. Для представления их в форме, разрешенной относительно вторых производных обобщенных координат (нормальной форме) и пригодной для численного решения на ЭВМ, необ­ ходимо в структуре уравнений выделить элементы, содержащие только вторые производные. В этом и состоит наибольшая трудность получения уравнений движения исходя из принципа кинетостатики (принципа Д’Аламбера).

Вторые производные обобщенных координат содержатся в формулах (5.2) и (5.7) в операторе А (с) и векторе с. Данные зависимости установлены при исследовании кинематики манипулятора. Представим А/и/ и Fbti в вы­ ражении через обобщенные координаты и их производные, разделив эле­ менты, содержащие первые и вторые производные. Причем элементы, содержащие вторые производные, будем выделять индексом q в отличие от элементов, содержащих произведения и квадраты первых производных, выделенных индексом р:

Fи./ = Fи I.р + Fи I. q .

В матричной форме записи с использованием блочных матриц можно сформировать следующие блочные векторы:

где М°нр = n°q; М°ид = <r°ÿ; q, ij — первая и вторая производные вектора обобщенных координат; элементами вектора q служат скаляры q{t q2, qm: <7= [<7р q2....» qm rc°, <r°, v °, — квадратные блочные матрицы, их ненулевыми элементами являются векторы, в которых коэффициенты для выражения М $ и F$ есть производные от обобщенных координат.

Пусть, например, рассматривается шарнирный манипулятор. Тогда, ис-

пользуя первое уравнение (5.16) и равенства (6.1), уравн ен и е движения можно представить в виде

Введем обозначения: А=е°(т°А°1£ + \0 /2°)—матрица инерции; В=е°(т°тР+ +А°2°) — матрица скоростных сил; С=б>0т°— матрица моментов активных сил; D = е°Л° — матрица активных сил; М = Л ? — вектор моментов по обобщенным координатам. Теперь уравнение движения представляется в следующем виде:

Здесь /1, В, С, D — обычные квадратные матрицы со скалярными элементами. Размерность матриц определяется числом обобщенных координат меха­ нической системы манипулятора. Вектор М составлен из усилий, развива­

емых двигателями и приложенных к обобщенным координатам. Получена известная векторная форма записи системы линейных урав­

нений. Решая уравнение (6.3) относительно ÿ, —получим нормальную форму уравнения движения:

q = Л '1Uiq + СЛ/° + DF% + М )

Интегрируя тем или иным способом полученное уравнение, найдем ре­ шение, описывающее движение открытой кинематической цепи манипуля­ тора.

Главную трудность при этом способе вывода уравнений представляет получение матриц я0, <r°, v 0 ,/л°, особенно при увеличении числа обобщен­ ных координат.

Необходимость изучения взаимосвязанных движений по всем обобщен­ ным координатам возникает в тех случаях, когда осуществляется сложное пространственное движение объекта манипулирования с одновременным изменением его положения и ориентации. Однако на практике чаще всего производится движение с разделением по отдельным степеням подвижно­ сти, при этом двигатели включаются поочередно. Кроме того, в ряде случа­ ев при достаточной жесткости характеристик приводов можно пренебречь взаимовлиянием отдельных степеней подвижности.

Пример. Рассмотрим динамику шарнирного манипулятора, у которого одновременно вы­

полняется только движения плеча и предплечья. Схема нагружения манипулятора представ­ лена на рис. 6.1 .

Запишем уравнения равновесия участков кинематической цепи. Для участка 7—2

Произведя подстановку полученных выражений в уравнение моментов для участка 1—2, получим

Скалярные уравнения движения даны третьими строками матричных уравнений (6.4) и (6.5). Первые две строки — уравнения для определения реактивных моментов в кинематиче­ ских парах А\ и А2-

6.2. Обобщенная динамическая модель робота

Роботы представляют сложные и дорогие технические устройства, для разработки и исследования которых необходимо привлекать сложные ана­ литические методы и вычислительную технику. В целях оптимизации па­ раметров конструкции следует еще на стадии проектирования произ­ водить моделирование его поведения при различном управлении. Необхо­ димо убедиться в способности робота выполнять движения в нужном темпе, определить зону обслуживания, в которой реализуются требуемые техни­ ческие характеристики, установить взаимовлияние приводов в процессе движения, достигаемую точность, качество переходных процессов и т.д. Проверка на модели позволяет своевременно внести коррективы в приня­ тые технические решения, избежать излишних затрат на доводку конструк­ ции, ускорить процесс разработки.

Теоретическое исследование манипуляторов ведется на их динамиче­ ских моделях. Такая модель с определенной степенью приближения пред­ ставляет реальный объект и должна отражать только существенные с точки зрения решаемой задачи свойства механической системы.

Простейшая идеализированная динамическая модель реального меха­ низма представляется в виде механизма с жесткими звеньями. При этом все звенья рассматриваются как недеформируемые абсолютно твердые тела, а кинематические пары — выполненными без зазоров. Такая модель широко используется при предварительных расчетах кинематики и динамики ма­ нипуляторов.

Назначение основной механической части робота — исполнительного

где x(t) — вектор выходных координат, в качестве которых служат декар­ товы координаты характерных точек исполнительного органа и эйлеровы углы, определяющие ориентацию звеньев или рабочего органа; q(t) — век­ тор обобщенных координат манипулятора.

Функция (6.6) называется функцией положения, ее вид устанавливает­ ся при решении прямой задачи кинематики манипулятора. Она отражает основное свойство механизма — преобразование движения в соответствии с заложенной в его структуре программой.

Всякое движение связано сдинамическими эффектами. При проведении динамических расчетов используется зависимость движущих сил от кине­ матических характеристик движения в виде дифференциального уравне­ ния движения манипуляционной системы, имеющего обобщенный вид: