книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Непосредственной проверкой легко доказать, что произведение A TJA дает единичную матрицу; при этом следует учитывать равенства (6.34)— (6.36). Тогда из выражения (6.37) следует

АТСА = А, т.е. подобное преобразование матрицы С с помощью матрицы А превращает

ее в диагональную матрицу Л, элементами которой являются собственные значения \ к.

Определенная указанным способом матрица А носит название модаль­ ной. Она играет фундаментальную роль в теории линейных колебаний. Метод исследования колебаний, основанный на использовании модальной матрицы, называется модальным анализом.

Используя матрицу А, произведем переход к новым координатам zy*, найденным из преобразования

q - A z .

Подставим новые координаты в уравнение (6.20) и умножим его слева

Согласно доказанному, матрица ATJA — единичная, АТСА =А —диа­ гональная . Матрица АТКА ~ K Zв общем случае полная, однако при слабой диссипации ее недиагональными элементами можно пренебречь. В таком

Поскольку Kz и Л — диагональные матрицы, уравнение (6,39) можно представить п независимыми дифференциальными уравнениями. Динами­ ческое исследование такой системы оказывается очень простым, так как сводится к анализу п систем с одной степенью свободы. Эти решения были рассмотрены раньше для свободных колебаний, колебаний с демпфирова­ нием, вынужденных колебаний. Отыскав их значения, обратным преобра­ зованием следует вернуться к прежним координатам q:

Новые координаты z , для которых матрицы инерции, жесткости и де­ мпфирования диагональные, называются главными координатами. Для пе­ рехода к ним следует знать матрицу А>т.е. собственные формы системы.

Упругие колебания в манипуляторах трудноустранимы, для этого тре­ буется жесткость конструкции на пределе технически возможной. Умень­ шение низкочастотных колебаний может быть осуществлено на уровне системы управления, при этом двигатели отрабатывают дополнительные управляющие сигналы, компенсирующие колебания механической систе­ мы. Для реализации такого способа необходимо наличие точной динамиче­ ской модели и возможность проведения вычислений в реальном масштабе времени.

Рост трения в кинематических парах увеличивает затухание, однако при этом могут возникнуть нежелательные явления, связанные с эффектом

сухого трения. Увеличение трения нежелательно и потому, что оно приво­ дит к снижению точности робота.

Уменьшения колебания можно добиться за счет статического и динами­ ческого уравновешивания звеньев манипулятора, устранения консольного расположения масс. Одной из основных мер, направленных на уменьшение колебаний, является возрастание жесткости элементов манипулятора, но без увеличения массы и размеров. Это позволяет одновременно добиться высокой статической точности и большой устойчивости к вибрациям, так как возбуждаются только высокочастотные вибрации с пренебрежимо ма­ лыми амплитудами. Повышение жесткости достигается путем выбора ра­ циональной формы поперечных сечений несущих конструкций, использования специальных конструкций манипуляторов с замкнутыми кинематическими цепями, применения жестких передаточных механиз­ мов, исключения волновых передач в последних ступенях передаточных механизмов.

Контрольные вопросы

1.Что представляет собой уравнение движения и как его можно получить из уравнения кинетостатического равновесия?

2.Что такое динамическая модель и для чего она служит? На основе каких уравнений составляется совокупная математическая модель?

3.Что представляет собой задача динамического анализа системы? Как она решается при

“жестком” приводе?

4.Что такое задача динамического синтеза? Всвязи с чем возникают динамические ошиб­ ки? Какими способами можно уменьшить динамическую ошибку?

5.Что представляет собой динамическая модель манипулятора, в которой учтены его

упругие свойства? Как проявляются упругие свойства при работе манипулятора?

6. Что представляет собой математическая модель одномассовой упругой модели? Приве­ дите соответствующие уравнения.

7. Каковы свойства одномассовой динамической модели упругой системы? Как она может быть использована при анализе манипулятора?

8. В чем состоит сущность принципа приведения системы кодномассовой модели? Чтотакое приведенная жесткость и приведенная податливость? Как определяется приведенная жест­ кость зубчатой передачи?

9.Что представляет собой математическая модель упругого многозвенного манипулятора?

10.Что такое собственные частоты и собственные формы колебаний? Как приближенно вычисляются собственные частоты?

11.Каковы основные меры борьбы с колебаниями манипулятора?

7.КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ МАНИПУЛЯТОРОВ

ИПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ

7.1.Источники ошибок позиционирования манипуляторов

ипромышленных роботов

Функциональное назначение манипулятора состоит в преобразовании координат относительного положения звеньев (входных координат) в коор­ динаты рабочего органа (выходные координаты). В реальном механизме в связи с неточностью отработки входных координат, вызванной как неточ­ ностью системы управления, так и неточностью изготовления и сборки механизмов приводов, наличием люфтов и ошибок размеров звеньев, де­ формированием звеньев под действием статической и динамической нагру­ зок, выходные координаты воспроизводятся с некоторой погрешностью. Поэтому возникает необходимость оценки точности манипуляторов и про­ мышленных роботов. Под точностью манипулятора понимается соответст­ вие действительного и расчетного законов движения рабочего органа. Важнейшей характеристикой точности манипулятора является точность позиционирования, характеризующаяся ошибкой, с которой воспроизво­ дится заданная позиция.

Требования, предъявляемые к точности робота, определяются условия­ ми его работы. Обычно для точных роботов грузоподъемностью до 20 кг достаточна точность позиционирования ±0,25 мм, для средних роботов грузоподъемностью до 75 кг — ±1 мм, при большой грузоподъемности допустима точность ±2 мм и более.

Ошибка позиционирования промышленного робота зависит от схемы манипулятора, качества исполнения его механической части, а также от системы приводов и управления.

Сравнение различных структурных схем манипуляторов показывает, что они неравнозначны в отношении точности. Наименьшая ошибка при­ суща роботам с прямоугольной системой координат. Она увеличивается у роботов с цилиндрической и сферической системой координат при той же эквивалентной точности изготовления элементов. В прямоугольной систе­ ме координат величина ошибки позиционирования не зависит от удаления исполнительной точки от начала координат и всюду в рабочем пространстве робота является величиной постоянной. При цилиндрической, сфериче­ ской, ангулярной системах координат эта ошибка возрастает с удалением точки от начала координат. Это обстоятельство обусловило преимущест­ венное применение роботов с прямоугольной системой координат на опера*-

циях, требующих повышенной точности, например при сборке. В то же время роботы со сферической системой координат обеспечивают более вы­ сокую жесткость и требуемую точность при повышенных динамических нагрузках. Таким образом, выбор схемы манипулятора с позиции точности является многовариантной задачей, требующей обстоятельного рассмотре­ ния на этапе проектирования.

Несовершенство механической части выражается в наличии так назы­ ваемых первичных погрешностей. К ним относятся погрешности, возника­ ющие при изготовлении и сборке деталей: отклонение размеров звеньев от номиналов, отклонение формы элементов кинематических пар, наличие люфтов, а также погрешности, возникающие в процессе эксплуатации изза изнашивания кинематических пар, наличия силовых и температурных деформаций и т.д.

Устройства приводов служат для того, чтобы путем силового воздейст­ вия перемещать исполнительный орган робота в соответствии с командны­ ми сигналами, поступающими от системы управления. Привод является следящей системой по положению, на вход которой поступает электриче­ ский сигнал, а выходом служит угловое или линейное перемещение. Обя­ зательный элемент следящей системы—датчик положения, фиксирующий отрабатываемую координату и вырабатывающий сигнал, который затем сравнивается с сигналом, поступающим от устройства управления. Пози­ ционный датчик абсолютного отсчета может быть как аналоговым, так и дискретным. Точность позиционирования такой системы ограничивается возможностями позиционного датчика, являющегося сложным и дорогим устройством.

Метод относительного отсчета позволяет упростить систему управления благодаря применению импульсного датчика. В отличие от позиционного информация от него поступает только в процессе движения в виде серии импульсов. Такой датчик информирует только о величине церемещения относительно предыдущего положения. Недостатком этого метода является возможность накопления ошибок.

В качестве датчиков обратной связи по положению или перемещению в системах управления промышленных роботов используются проволочные потенциометры, индуктивные (типа вращающихся трансформаторов) электрические машины, фотоэлектрические импульсные и кодовые изме­ рительные преобразователи, контактные и бесконтактные путевые микро­ выключатели.

Главными недостатками проволочных потенциометров являются низ­ кая точность измерения и надежность, обусловленные наличием контакт­ ной системы. Эти потенциометры могут использоваться там, где не тре­ буется высокая точность.

Точность следящего привода определяется прежде всего точностью дат­ чика обратной связи. В настоящее время возможно создание аналого-циф­

ровых преобразователей, работающих в качестве датчиков положения с разрешающей способностью 212. Поэтому реально достижимая точность отработки угловых координат составляет около 0,5 мин. Такая точность является ограниченной и не может обеспечить, например, точное прямо­ линейное перемещение исполнительной точки руки антропоморфного ро­ бота.

Требуемая точность следящего привода сварочного робота характеризу­ ется относительной ошибкой порядка К)"3,10'4. Реализация такой точности требует достаточно чувствительной системы для того, чтобы при столь малом отклонении выходной координаты от заданной возникал достаточно мощный управляющий сигнал. Это приводит к необходимости увеличения коэффициента усиления, а вместе с тем к увеличению динамических оши­ бок и неустойчивости системы. Простые следящие системы не могут обес­ печить такую точность. Поэтому, как правило, применяются системы с использованием обратных связей не только по положению, но и по скорости

иускорению.

Вхарактеристиках промышленных роботов точность позиционирования указывают в абсолютных единицах, однако этот показатель неприемлем для сравнительной оценки точности роботов. Под относительной погрешно­ стью позиционирования понимается отношение абсолютной погрешности позиционирования к максимальному расстоянию от оси ближайшей к осно­ ванию робота кинематической пары до границы рабочей зоны, выраженное

впроцентах. По относительной точности позиционирования различают четыре класса точности промышленных роботов: нулевого класса с относи­ тельной погрешностью позиционирования до 0,01, первого класса — 0,01 — 0,05, второго —0,05—0,1, третьего — свыше 0,1.

7.2.Точность пространственной кинематической цепи

Конфигурацию кинематической цепи, как всякой механической систе­ мы, можно задать с помощью обобщенных координат, в качестве которых выбирают как координаты относительного положения звеньев, так и коор­ динаты исполнительного звена в трехмерном евклидовом пространстве. Поэтому существуют две задачи, связанные с определением конфигура­ ции, — прямая и обратная.

В реальном механизме в связи с наличием первичных погрешностей отработка координат на входе кинематической цепи осуществляется с не­ которой погрешностью, следовательно, выходные координаты также имеют погрешность. В связи с этим возникает необходимость оценки точности кинематической цепи. Общий подход к решению этой задачи состоит в следующем. Пусть установлена зависимость, связывающая входные и вы­

где Je — векторная функция переменных q{i..., qn.

Допустим, что по указанным выше причинам вектор-аргумент g по­

Разложим первое слагаемое правой части выражения (7.2) в ряд Тейло­

где F1(q) — матрица, составленная из частных производных вектор-функ­ ции F(q) по компонентам вектора q (матрица Якоби).

В выражении (7.3) отброшены члены со старшими степенями Aq. По­ скольку Aq мало, учитывать их не имеет смысла. Тем самым достигается линеаризация функции (7.3).

Подставив выражение (7.3) в (7.2), получим уравнение для погрешности

служащее фундаментальной формулой линейной теории точности. Конкретизируем общую теорию, исходя из вида функции и типа реша­

емой задачи. Параметрами, характеризующими размеры звена манипуля­ тора и его относительное положение, являются длины звена /, плеча Л, угол сгиба ф, угол поворота <р(см. § 4.7). Если обе пары вращательные, что имеет место в шарнирных манипуляторах, размеры звена характеризуются пара­ метрами /, А, ф. Угол <р определяет относительное положение звена. Если одна пара, например Л2 (см. рис. 4.17), — поступательная, параметры /, ф, <р определяют размеры звена, a А — относительное положение. Таким образом, звено манипулятора может иметь три первичные погрешности размеров (А/, АЛ, Аф в первом случае и А/, Аф, А<р — во втором) и одну погрешность относительного положения (А<рили АЛсоответственно).

Как было отмечено выше, абсолютная погрешность функции, обуслов­ ленная погрешностью аргументов, равна ее приращению. При малых по­ грешностях приращения близки к дифференциалам. Заменяя приращения дифференциалами, мы учитываем только линейную часть приращения.

Продифференцируем вектор-функцию положения открытой кинемати­ ческой цепи (4.46) по всем ее аргументам:

dy,Ti — оператор дифференцирования по ф матрицы Tf.

Погрешность открытой кинематической цепи представляет полный дифференциал вектор-функции положения, где в качестве переменных параметров выступают ср, ф, /, h. Из анализа формулы (7.5) следует, что результирующая погрешность слагается из погрешностей, вносимых звень­ ями. При этом отсутствует взаимовлияние отдельных погрешностей, бла­ годаря чему можно определить каждую первичную погрешность, а результаты сложить. Если ограничиться исследованием неточности воспро­ изведения заданной функции положения, вызванной только ошибками от­ работки обобщенных координат, причем рассматривать шарнирный манипулятор с вращательными парами, то формула (7.5) приобретает про­ стой вид:

+

(7.6)

Выражение в квадратных скобках представляет погрешность ориента­ ции связанной системы координат /-го звена, обусловленную ошибками отработки обобщенных координат.

Полученные результаты базируются на линейной теории точности. Фи­ зическая интерпретация линеаризации состоит в том, что не учитывается изменение конфигурации кинематической цепи, происходящее из-за пер­ вичных погрешностей. Результирующая погрешность представляет линей­ ную комбинацию первичных погрешностей с коэффициентами, зависящими от конфигурации кинематической цепи. А это означает, что при прочих равных условиях точность позиционирования различна для разных точек рабочей зоны манипулятора.

Пример. Произведем оценку точностных показателей шарнирного манипулятора типа “Puma” или PM-01. Воспользуемся кинематической схемой, представленной на рис. 4.22, поскольку для нее ранее проводилось кинематическое исследование (см. § 4.8).

Для получения числовых оценок зададим размеры звеньев /2 - 0,432 м, /3 - 0,432 м, /13 - ■Ч),2м. Рассмотрим только одно положение манипулятора, заданное следующими значениями

обобщенных координат: у»i—0°, у>2 “ 90°, <р3 - 270°. Механизм ориентации соответствует схеме, представленной на рис. 1.9. Он реализует последовательность поворотов на углы

Эйлера в порядке jq — > г —> д*2. Будем рассматривать механизм ориентации при \ - 0°, у -270°, ц>2"0® Выберем на рабочем органе точку 5, определенную всистеме звена 4 вектором

Рис. 7.1. Схема к расчету ошибки позиционирования шарнирного манипулятора

PS- [0,1,0,0]г м. При этом манипулятор приобретает конфигурацию, показанную на рис. 7.1. Заданное положение манипулятора характеризуется матрицами ориентации звеньев: Т . — относительной ориентации

— абсолютной ориентации (в системе jry z )

атакже векторами звеньев

р1 - 0 , Р 2 - [0,432. 0, 0]Г,

рл- [0.432, 0. 0,2)Т,ps - [0,1.0. О ) Т.

Точное положение центра масс точки 5 рабочего органа в системе jcyz (см. рис. 4.22) определяется вектором

Для расчета ошибки позиционирования примем во внимание только погрешности отработ­ ки обобщенных координат. Будем считать приведенные погрешности всех угловых координат одинаковыми и равными, например, ±0,057° -0,001 рад. Вначале найдем погрешность пози­ ционирования, обусловленную только переносными степенями подвижности.

Применив формулу (7.6), получим

Для определения погрешности, обусловленной ориентирующими степенями подвижности (механизмом ориентации), следует воспользоваться формулой

^ < 3 >

- ^ 4)

Вектор погрешности d Ts(3) отнесен к связанной системе звена 5, относительно которого рассматривается матрица ориентации звена 4 \d т — дифференциал матрицы ориентации Г4 .

Ориентация рабочего органа задается эйлеровой последовательностью поворотов х\ — >z

—>Х2- В таком случае матрица т - X\ZX2- Выполнив перемножение матриц, найдем

Матрица d x получается дифференцированием матрицы т по обобщенным координатам ipi , у>, iff2 *Выполним дифференцирование и запишем матрицу dx поэлементно:

rf31 -rfV'r rf32“ dy2 d 33- 0.

Вычислим искомую погрешность

г0 , 0 0 0 1

О м

-0 , 0 0 0 1

иопределим ее в основной системе xyz:

Просуммировав найденную погрешность с той, чтодают переносные степени подвижности, получим оценку точности позиционирования точки S:

В данном примере для упрощения расчетов выбрано частное положение манипулятора. Подобным же образом можно исследовать его точность вдругих точках рабочей зоны. Очевид­ но, что для обеспечения паспортной точности манипулятора РМ-01 приведенная точность обобщенных координат должна быть значительно выше принятой в этом расчете.

7.3. Средства повышения точности манипуляторов

На точность манипуляторов в основном влияют следующие факторы: упругие деформации звеньев (нагрузка, собственный вес, место прило­

жения усилия, геометрические параметры, форма и материал несущих конструкций, расположение опор и баз) ;

смещения, вызванные наличием зазоров в опорах (величина зазоров, взаимное расположение опор, длина опорных баз) ;

кинематическая точность передач (количество зубчатых передач, точ­